Larry_Eppes's Trivia Collection Site

1963 年, 美国数学家乌兰教授发现, 按照逆时针方向转着圈往方格子里填写自然数, 然后又把质数划去, 发现质数喜欢排成直线.乌兰教授进一步用计算机验证至 65000, 质数排成直线的性质仍旧出现.

三角函数三角恒等式1 \sum_{k=1}^{n}k\sin k\alpha=\frac{(n+1)\sin n\alpha-n\sin\left((n+1)\alpha\right)}{4\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}; \sum_{k=1}^{n}k\cos k\alpha=\frac{(n+1)\cos n\alpha-n\cos\left((n+1)\alpha\right)-1}{4\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}; \sum_{k=1}^{n}\sin\left[\alpha+(k-1)d\right]=\frac{\sin\frac{nd}{2}\sin\left(\alpha+\frac{n-1}{2}d\right)}{\sin\frac{d}{2}},\quad d\ne0; \sum_{k=1}^{n}\cos\left[\alpha+(k-1)d\right]=\frac{\sin\frac{nd}{2}\cos\left(\alpha+\frac{n-1}{2}d\right)}{\sin\frac{d}{2}},\quad d\ne0; \sum_{k=1}^{n}\sin k\alpha=\frac{\sin\frac{n\alpha}{2}\cdot\sin\frac{n+1}{2}\alpha}{\sin\frac{\alpha}{2}}; \sum_{k=1}^{n}\cos k\alpha=\frac{\sin\frac{n\alpha}{2}\cdot\cos\frac{n+1}{2}\alpha}{\sin\frac{\alpha}{2}}; \sum_{k=1}^{n}\sin\left(2k-1\right)\alpha=\frac{1-\cos\left(2n\alpha\right)}{2\sin\alpha}; \sum_{k=1}^{n}\cos\left(2k-1\right)\alpha=\frac{\sin2n\alpha}{2\sin\alpha}; \prod_{k=1}^{n}\cos\frac{k\pi}{2n+1}=\frac{1}{2^{n}}; \prod_{k=1}^{n}\sin\frac{k\pi}{2n+1}=\frac{\sqrt{2n+1}}{ ...

MMA 内置的函数帮助文档MMA 安装好后自带的说明文档在 path/to/mma/version/Documentation/ChineseSimplified 中, Packages 是内置的包文件夹, 在 MMA 中按 F1 出现的帮助文档大多来自 System 文件夹中. System 文件夹中有数据样本, 笔记样本页, 用户指南, 一些问题的处理方法专题笔记, 参考页面和教程类笔记页. = 与 := 的区别这段主要讲函数定义时, = 与 := 的区别. 先看两段代码 123456ClearAll[f];x = 3;f[x_] := 5 x;f[5]?f(*25*) 然而 123456ClearAll[f];x = 3;f[x_] = 5 x;f[5]?f(*15*) 在 MMA 中, := 用于延时计算, 也就是当左边表达式出现时, 先用右边表达式替换, 然后重新计算表达式的值. 而 = 则在函数定义时就将右边表达式的值算好赋值给左边, 函数定义中的参数 x_ 其实并没有起任何作用, 表示函数的定义域是任意表达式. 在上面用 = 定义的函数的自变量是一种模式, _ 是模式匹配符号. 比如将上面的定义换成 f[x_String]=5x, 则只有 f 作用在字符串上时, 函数的值才会是 15, 否则就不计算其值. 而事实上, 将 x_String 中的 x 删去也无妨, 因为它并不起任何作用. 123456ClearAll[f];x = 3;f[x_String] = 5 x;f[5]f["5"]?f 有时我们需要进行函数迭代运算, 迭代过程中的某些函数值可能会经常被计算, 比如 12345ClearAll[FibonacciF];FibonacciF[1] = FibonacciF[2] = 1;FibonacciF[n_ /; n > 2] := FibonacciF[n - 1] + FibonacciF[n - 2];?FibonacciFTracePrint[FibonacciF[5]] 其中 TracePrint 打印出 MMA 在计算 FibonacciF[5] 时的计算过程. 如果要计算前几个 Fibonacci 数列的值, 位于前面的 FibonacciF[n] 会被重复计算多次. 为了避免重复计算造成的资源浪费, ...

2022 年 221. 计算(1). $\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right)^{1/n}$.(2). $\lim_{x\to\infty}\left(\cos\frac{1}{x}\right)^{x^{2}}$.(3). $\int\frac{x\ue^{x}}{(1+x)^{2}}\ud x$.(4). 设$f(x)$可微, $y=f(\ln x)\ue^{f(x)}$, 求$\ud y$.(5). 设$f(x)\in C(\RR)$, 令$F(t)=\int_{1}^{t}\ud y\int_{y}^{t}f(x)\ud x$, 求$F’(t)$. 提示 (1). 1^{1/n}\le\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right)^{1/n}\le n^{1/n}\to1,由迫敛性可知, 极限为$1$. (2). 做变量替换$\frac{1}{x}=t$, 有 \lim_{x\to\infty}\left(\cos\frac{1}{x}\right)^{x^{2}}=\lim_{t\to0}\left(\cos t\right)^{1/t^{2}},而由洛必达法则可知 \lim_{t\to0}\ln(\cos t)^{1/t^{2}}=\lim_{t\to0}\frac{\ln\cos t}{t^{2}}=\lim_{t\to0}\frac{-\tan t}{2t}=-\frac{1}{2}.于是 \lim_{x\to\infty}\left(\cos\frac{1}{x}\right)^{x^{2}}=\ue^{-\frac{1}{2}}.(3). \text{原式}=-\int x\ue^{x}\ud\left(\frac{1}{1+x}\right)=-\frac{x\ue^{x}}{1+x}+\int\frac{1}{1+x}\cdot(x+1)\ue^{x}\ud x=\frac{\ue^{x}}{1+x}+C.(4). 直接求导有: \begin{align*} \ud y & =\ud\left(f(\ln x)\ue^{f(x)}\right)\\ & =\ud\left(f(\ln x ...

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南开大学2012 年1. (15分) 求极限 $\lim_{x\rightarrow\infty}x^{m}\int_{0}^{\frac{1}{x}}\sin t^{2}\mathrm{\ud}t$, 其中 $m$ 为任意整数. 提示 \begin{aligned} \text { 原式 } & =\lim _{x \rightarrow+\infty} x^m \int_0^{\frac{1}{x}} \sin t^2 \ud t \\ & =\lim _{y \rightarrow 0} \frac{1}{y^m} \int_0^y \sin t^2 \ud t \\ & =\lim _{y \rightarrow 0} \frac{\sin y^2}{m y^{m-1}} \end{aligned}故: \text { 原式 }= \begin{cases}0, & m3, m \in \ZZ\end{cases} 2. (20分) 计算积分 $\iint_{D}\sqrt{\left|y-x^{2}\right| }\ud x\mathrm{\ud}y$, 其中 $D=\{(x,y);-1\le x\le1,0\le y\le1\}$. 提示 \begin{aligned}\text { 原式 } & =\iint_D \sqrt{\left|y-x^2\right|} \ud x \ud y \\& =\int_{-1}^1 \ud x \int_{x^2}^1 \sqrt{y-x^2} \ud y+\int_{-1}^1 \ud x \int_0^{x^2} \sqrt{x^2-y} \ud y \\& =\frac{2}{3} \int_{-1}^1\left(1-x^2\right)^{\frac{3}{2}} \ud x+\frac{2}{3} \int_{-1}^1\left(x^2\right)^{\frac{3}{2}} \ud x \\& =\frac{4}{3} \int_0^1\left(1-x^2\right)^{\frac{3}{2}} \ud x+\frac{4}{3} \int_0^1 x^3 \ud x\qquad (\text{令 }x=\sin t) \\& ...

南京大学2023 年1. (10 分) 求极限 \lim_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{5^{\frac{1}{n}}}{n+1}+\frac{5^{\frac{2}{n}}}{n+\frac{1}{2}}+\cdots+\frac{5^{\frac{n}{n}}}{n+\frac{1}{n}}\right). 2. (20 分) (1). (10 分) 设 $C$ 为三维空间中环绕 $z$ 轴一周的光滑简单闭曲线 (与 $z$ 轴无交点), 其定向与 $z$ 轴成右手系, 记 (P, Q, R)=\left(\frac{-y}{x^2+y^2}, \frac{x}{x^2+y^2}, 0\right),求 $\int_C P \ud x+Q \ud y+R \ud z$.(2). (10 分) 设 $S$ 为三维空间中半径为 $R$ 的球面, $\mathbb{R}^3 \backslash\{0\}$ 中光滑向量场 \vec{F}(x, y, z)=f(\|\vec{r}\|) \vec{r},其中 $\vec{r}=(x, y, z)$, $f$ 只依赖于 $|\vec{r}|$, $\vec{n}$ 为 $S$ 上单位外法向量. 若 $\int_S \vec{F} \cdot \vec{n} \ud \sigma$ 不依赖于 $R$, 求证: 存在常数 $C$ 使得 f(\|\vec{r}\|)=C\|\vec{r}\|^{-3}. 3. (15 分) 求 $y=x^2$ 到 $x-y=2$ 距离的最小值. 4. (15 分) 设 $B_1$ 为单位圆, $a, b \in \mathbb{R}$ 且 $a^2+b^2>1$. 求证: f(a, b)=\iint_{B_1} \ln \left[\left(x_1-a\right)^2+\left(x_2-b\right)^2\right] \mathrm{d} x_1 \ud x_2,只依赖于 $\sqrt{a^2+b^2}$, 并求其值. 5. (15 分) $f(x)$ 在 $(-1,1)$ 上 $2 k+2$ 阶连续可微, $k \in \mathbb{N}$ 满足 f^{(i)}(0)=0,0 \leq i \leq 2 k \t ...

关于东方财富的逐笔还原数据东方财富手机 APP 端有一个逐笔还原功能, 一般在东方财富月均资产在 1w 以上可以免费领取 Level 2 分时成交明细和 十档盘口与千档盘口, 不同的交易标的对应不同的盘口数量. 同时除了逐笔还原数据外, 还有买一和卖一的 全息队列, 交易分布 和 逐笔委托 数据. 现在对逐笔还原数据和分时成交数据进行比较. 为了能看明白其中的原理, 这里选一个交易不那么活跃的来进行分析. 11:05 分为主动卖出交易, 从逐笔还原来看, 交易委卖价格 16.91 是 盘口的买一价, 为主卖立即成交. 而从逐笔还原的买单列并结合超级复盘的盘口看, 这 12 手卖单是由 10手中剩余的 1 手, 5 个 1 手和 154 手中的 6 手组成. 其中逐笔还原图中 154 手处向左的箭头表示之后还有撮合. 这个 154 手是合计了之后的撮合成交的手数之和, 最后一笔撮合的 154 手会显示向右的箭头, 中间的撮合部分左右箭头都显示, 在这笔成交中只有 6 手, 154 手的委托买一手数可能更大, 只是撮合成交了 154 手而已. 对于主动买入的逐笔交易还原也是类似的. 一种交易方式: 从逐笔还原来看, 很难看出主力的意图, 买卖的单子可能都是主力挂的, 有些挂单可以被撤掉. 比如在卖一挂出 1w 手委卖单, 然后以买一价逐笔买入, 如果卖一是分笔挂单的, 又可以逐笔撤去未成交的挂单. 这可以用于伪造成交量和委比. (交易大户的交易手续费比散户的更低, 忽略不计.) 需要注意的是, 因为分时成交数据是逐笔还原中的数据每隔 3 秒的快照, 所以要考虑 3 秒内逐笔还原内有两笔不同方向的成交明细, 则分时成交快照取最后一笔的成交价并合集 3 秒内成交的手数之和. 这隐藏了另一个方向的撮合手数, 好在这中交易不多见(?). 全息数据是对成交数据的对应关系进行展示, 可以看大单小单流入流出. 数据要是能够完全反应主力，那么这样的指标就不存在. 问题: 东方财富的分时成交逐笔还原怎么看? 炒股票应该看远一点，分析题材和概念，盘口主要是感受买卖双方力量强弱。 综合来看, 分时成交数据里可能会有买卖方向不对的数据, 从逐笔还原数据中可以分析到精确的买卖净量. 不过这种不一致发生的数据量应当是比较小的, 所以可以假设分时成交数据仍然是正确的, 做数据分析时 ...

随缘更新解答, 长期更新的博文. 北京大学2021 年哦, 北京大学从2021年之后不再招研究生了. 好耶(x) 2020 年一. (15分) 设$f(x)$在$[a,b]$上上半连续, 即$\forall x_{0}\in[a,b]$皆有上极限$\limsup\limits_{x\to x_{0}}f(x)\le f(x_{0})$. (端点处只考虑单侧极限). 问: $f(x)$在$[a,b]$上必有最大值? 给出证明或举出反例. 提示 上半连续函数在有界闭区间上必有最大值.由$\limsup\limits_{x\to x_{0}}f(x)\le f(x_{0})$知, 对于任意的$\varepsilon>0$, 存在$\delta>0$使得对于任意的$x\in[a,b]$, 当$\left|x-x_{0}\right|<\delta$时, 有 f(x)

反证法+整数的性质定理: 若$a$和$b$为正整数, 则$a^{1/b}$要么是无理数, 要么是整数. 提示 若$a^{1/b}=x/y$, 其中$y\not\mid x$, 则$a=\left(a^{1/b}\right)^{b}=x^{b}/y^{b}$不是整数, (因为$y^{b}\not\mid x^{b}$), 这与$a$是整数矛盾. 反证法+唯一因子分解假设$\sqrt{2}$可以写成不可约分数$\frac{p}{q}$, 其中$p,q$都是正整数. 则$2q^{2}=p^{2}$. 由于$p^{2}$和$q^{2}$的因子$2$都是偶数个, 所以$2q^{2}$有奇数个因子$2$, 由于唯一因子分解的唯一性, $p^{2}$只有偶数个因子$2$, 它不可能等于$p^{2}$. 反证法+余数如果$\sqrt{2}$是有理数, 则有分数表示$a/b$, 取$b$是$\sqrt{2}$的分数表示中分母最小的. 则 a^{2}=2b^{2}.考虑$a^{2}$的末位数字, 它只可能是$0,1,4,5,6,9$中的一个. 而$2b^{2}$的末位数字只有$0,2,8$三种情况. 如果$a^{2}$与$2b^{2}$相等, 则它们有相同的末位数, 这个末位数只能是$0$. 所以$a$的末位数字只能是$0$, 而$b$的末位数字只能是$0$或$5$, 无论哪种情况, $a$和$b$都能被$5$整除, 从而$\frac{a/5}{b/5}$也是$\sqrt{2}$的分数表示. 因为$b/5<b$, 这与$b$是$\sqrt{2}$的分数表示中分母最小的选择矛盾. 这种方法在证明$2^{1/3}$的无理性时变得简洁. 设$2^{1/3}$是既约分数$a/b$, 则$2a^{3}=b^{3}$, 考虑模7同余, 由于整数的立方模7同余的结果只有$0,1$或$6$, 因此$a,b$模7必然均为$0$, 这与$a/b$是既约分数矛盾. 反证法+Bezout公式$\sqrt{2}$是无理数的证明是下面定理的推论. 定理: 对于$n\in\NN$. 如果$r=\sqrt{n}$是有理数, 则$r$是整数. 提示 设$r=a/b$为有理数, 其中$\mathrm{gcd}(a,b)=1$, 则有Bezout公式, 存在整数$c,d\in\ZZ$, ...