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MMA 内置的函数帮助文档MMA 安装好后自带的说明文档在 path/to/mma/version/Documentation/ChineseSimplified 中, Packages 是内置的包文件夹, 在 MMA 中按 F1 出现的帮助文档大多来自 System 文件夹中. System 文件夹中有数据样本, 笔记样本页, 用户指南, 一些问题的处理方法专题笔记, 参考页面和教程类笔记页. = 与 := 的区别这段主要讲函数定义时, = 与 := 的区别. 先看两段代码 123456ClearAll[f];x = 3;f[x_] := 5 x;f[5]?f(*25*) 然而 123456ClearAll[f];x = 3;f[x_] = 5 x;f[5]?f(*15*) 在 MMA 中, := 用于延时计算, 也就是当左边表达式出现时, 先用右边表达式替换, 然后重新计算表达式的值. 而 = 则在函数定义时就将右边表达式的值算好赋值给左边, 函数定义中的参数 x_ 其实并没有起任何作用, 表示函数的定义域是任意表达式. 在上面用 = 定义的函数的自变量是一种模式, _ 是模式匹配符号. 比如将上面的定义换成 f[x_String]=5x, 则只有 f 作用在字符串上时, 函数的值才会是 15, 否则就不计算其值. 而事实上, 将 x_String 中的 x 删去也无妨, 因为它并不起任何作用. 123456ClearAll[f];x = 3;f[x_String] = 5 x;f[5]f["5"]?f 有时我们需要进行函数迭代运算, 迭代过程中的某些函数值可能会经常被计算, 比如 12345ClearAll[FibonacciF];FibonacciF[1] = FibonacciF[2] = 1;FibonacciF[n_ /; n > 2] := FibonacciF[n - 1] + FibonacciF[n - 2];?FibonacciFTracePrint[FibonacciF[5]] 其中 TracePrint 打印出 MMA 在计算 FibonacciF[5] 时的计算过程. 如果要计算前几个 Fibonacci 数列的值, 位于前面的 FibonacciF[n] 会被重复计算多次. 为了避免重复计算造成的资源浪费, ...

2022 年 221. 计算(1). $\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right)^{1/n}$.(2). $\lim_{x\to\infty}\left(\cos\frac{1}{x}\right)^{x^{2}}$.(3). $\int\frac{x\ue^{x}}{(1+x)^{2}}\ud x$.(4). 设$f(x)$可微, $y=f(\ln x)\ue^{f(x)}$, 求$\ud y$.(5). 设$f(x)\in C(\RR)$, 令$F(t)=\int_{1}^{t}\ud y\int_{y}^{t}f(x)\ud x$, 求$F’(t)$. 提示 (1). 1^{1/n}\le\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right)^{1/n}\le n^{1/n}\to1,由迫敛性可知, 极限为$1$. (2). 做变量替换$\frac{1}{x}=t$, 有 \lim_{x\to\infty}\left(\cos\frac{1}{x}\right)^{x^{2}}=\lim_{t\to0}\left(\cos t\right)^{1/t^{2}},而由洛必达法则可知 \lim_{t\to0}\ln(\cos t)^{1/t^{2}}=\lim_{t\to0}\frac{\ln\cos t}{t^{2}}=\lim_{t\to0}\frac{-\tan t}{2t}=-\frac{1}{2}.于是 \lim_{x\to\infty}\left(\cos\frac{1}{x}\right)^{x^{2}}=\ue^{-\frac{1}{2}}.(3). \text{原式}=-\int x\ue^{x}\ud\left(\frac{1}{1+x}\right)=-\frac{x\ue^{x}}{1+x}+\int\frac{1}{1+x}\cdot(x+1)\ue^{x}\ud x=\frac{\ue^{x}}{1+x}+C.(4). 直接求导有: \begin{align*} \ud y & =\ud\left(f(\ln x)\ue^{f(x)}\right)\\ & =\ud\left(f(\ln x ...

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南开大学2012 年1. (15分) 求极限 $\lim_{x\rightarrow\infty}x^{m}\int_{0}^{\frac{1}{x}}\sin t^{2}\mathrm{\ud}t$, 其中 $m$ 为任意整数. 提示 \begin{aligned} \text { 原式 } & =\lim _{x \rightarrow+\infty} x^m \int_0^{\frac{1}{x}} \sin t^2 \ud t \\ & =\lim _{y \rightarrow 0} \frac{1}{y^m} \int_0^y \sin t^2 \ud t \\ & =\lim _{y \rightarrow 0} \frac{\sin y^2}{m y^{m-1}} \end{aligned}故: \text { 原式 }= \begin{cases}0, & m3, m \in \ZZ\end{cases} 2. (20分) 计算积分 $\iint_{D}\sqrt{\left|y-x^{2}\right| }\ud x\mathrm{\ud}y$, 其中 $D=\{(x,y);-1\le x\le1,0\le y\le1\}$. 提示 \begin{aligned}\text { 原式 } & =\iint_D \sqrt{\left|y-x^2\right|} \ud x \ud y \\& =\int_{-1}^1 \ud x \int_{x^2}^1 \sqrt{y-x^2} \ud y+\int_{-1}^1 \ud x \int_0^{x^2} \sqrt{x^2-y} \ud y \\& =\frac{2}{3} \int_{-1}^1\left(1-x^2\right)^{\frac{3}{2}} \ud x+\frac{2}{3} \int_{-1}^1\left(x^2\right)^{\frac{3}{2}} \ud x \\& =\frac{4}{3} \int_0^1\left(1-x^2\right)^{\frac{3}{2}} \ud x+\frac{4}{3} \int_0^1 x^3 \ud x\qquad (\text{令 }x=\sin t) \\& ...

南京大学2023 年1. (10 分) 求极限 \lim_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{5^{\frac{1}{n}}}{n+1}+\frac{5^{\frac{2}{n}}}{n+\frac{1}{2}}+\cdots+\frac{5^{\frac{n}{n}}}{n+\frac{1}{n}}\right). 2. (20 分) (1). (10 分) 设 $C$ 为三维空间中环绕 $z$ 轴一周的光滑简单闭曲线 (与 $z$ 轴无交点), 其定向与 $z$ 轴成右手系, 记 (P, Q, R)=\left(\frac{-y}{x^2+y^2}, \frac{x}{x^2+y^2}, 0\right),求 $\int_C P \ud x+Q \ud y+R \ud z$.(2). (10 分) 设 $S$ 为三维空间中半径为 $R$ 的球面, $\mathbb{R}^3 \backslash\{0\}$ 中光滑向量场 \vec{F}(x, y, z)=f(\|\vec{r}\|) \vec{r},其中 $\vec{r}=(x, y, z)$, $f$ 只依赖于 $|\vec{r}|$, $\vec{n}$ 为 $S$ 上单位外法向量. 若 $\int_S \vec{F} \cdot \vec{n} \ud \sigma$ 不依赖于 $R$, 求证: 存在常数 $C$ 使得 f(\|\vec{r}\|)=C\|\vec{r}\|^{-3}. 3. (15 分) 求 $y=x^2$ 到 $x-y=2$ 距离的最小值. 4. (15 分) 设 $B_1$ 为单位圆, $a, b \in \mathbb{R}$ 且 $a^2+b^2>1$. 求证: f(a, b)=\iint_{B_1} \ln \left[\left(x_1-a\right)^2+\left(x_2-b\right)^2\right] \mathrm{d} x_1 \ud x_2,只依赖于 $\sqrt{a^2+b^2}$, 并求其值. 5. (15 分) $f(x)$ 在 $(-1,1)$ 上 $2 k+2$ 阶连续可微, $k \in \mathbb{N}$ 满足 f^{(i)}(0)=0,0 \leq i \leq 2 k \t ...

关于东方财富的逐笔还原数据东方财富手机 APP 端有一个逐笔还原功能, 一般在东方财富月均资产在 1w 以上可以免费领取 Level 2 分时成交明细和 十档盘口与千档盘口, 不同的交易标的对应不同的盘口数量. 同时除了逐笔还原数据外, 还有买一和卖一的 全息队列, 交易分布 和 逐笔委托 数据. 现在对逐笔还原数据和分时成交数据进行比较. 为了能看明白其中的原理, 这里选一个交易不那么活跃的来进行分析. 11:05 分为主动卖出交易, 从逐笔还原来看, 交易委卖价格 16.91 是 盘口的买一价, 为主卖立即成交. 而从逐笔还原的买单列并结合超级复盘的盘口看, 这 12 手卖单是由 10手中剩余的 1 手, 5 个 1 手和 154 手中的 6 手组成. 其中逐笔还原图中 154 手处向左的箭头表示之后还有撮合. 这个 154 手是合计了之后的撮合成交的手数之和, 最后一笔撮合的 154 手会显示向右的箭头, 中间的撮合部分左右箭头都显示, 在这笔成交中只有 6 手, 154 手的委托买一手数可能更大, 只是撮合成交了 154 手而已. 对于主动买入的逐笔交易还原也是类似的. 一种交易方式: 从逐笔还原来看, 很难看出主力的意图, 买卖的单子可能都是主力挂的, 有些挂单可以被撤掉. 比如在卖一挂出 1w 手委卖单, 然后以买一价逐笔买入, 如果卖一是分笔挂单的, 又可以逐笔撤去未成交的挂单. 这可以用于伪造成交量和委比. (交易大户的交易手续费比散户的更低, 忽略不计.) 需要注意的是, 因为分时成交数据是逐笔还原中的数据每隔 3 秒的快照, 所以要考虑 3 秒内逐笔还原内有两笔不同方向的成交明细, 则分时成交快照取最后一笔的成交价并合集 3 秒内成交的手数之和. 这隐藏了另一个方向的撮合手数, 好在这中交易不多见(?). 全息数据是对成交数据的对应关系进行展示, 可以看大单小单流入流出. 数据要是能够完全反应主力，那么这样的指标就不存在. 问题: 东方财富的分时成交逐笔还原怎么看? 炒股票应该看远一点，分析题材和概念，盘口主要是感受买卖双方力量强弱。 综合来看, 分时成交数据里可能会有买卖方向不对的数据, 从逐笔还原数据中可以分析到精确的买卖净量. 不过这种不一致发生的数据量应当是比较小的, 所以可以假设分时成交数据仍然是正确的, 做数据分析时 ...

随缘更新解答, 长期更新的博文. 北京大学2021 年哦, 北京大学从2021年之后不再招研究生了. 好耶(x) 2020 年一. (15分) 设$f(x)$在$[a,b]$上上半连续, 即$\forall x_{0}\in[a,b]$皆有上极限$\limsup\limits_{x\to x_{0}}f(x)\le f(x_{0})$. (端点处只考虑单侧极限). 问: $f(x)$在$[a,b]$上必有最大值? 给出证明或举出反例. 提示 上半连续函数在有界闭区间上必有最大值.由$\limsup\limits_{x\to x_{0}}f(x)\le f(x_{0})$知, 对于任意的$\varepsilon>0$, 存在$\delta>0$使得对于任意的$x\in[a,b]$, 当$\left|x-x_{0}\right|<\delta$时, 有 f(x)

反证法+整数的性质定理: 若$a$和$b$为正整数, 则$a^{1/b}$要么是无理数, 要么是整数. 提示 若$a^{1/b}=x/y$, 其中$y\not\mid x$, 则$a=\left(a^{1/b}\right)^{b}=x^{b}/y^{b}$不是整数, (因为$y^{b}\not\mid x^{b}$), 这与$a$是整数矛盾. 反证法+唯一因子分解假设$\sqrt{2}$可以写成不可约分数$\frac{p}{q}$, 其中$p,q$都是正整数. 则$2q^{2}=p^{2}$. 由于$p^{2}$和$q^{2}$的因子$2$都是偶数个, 所以$2q^{2}$有奇数个因子$2$, 由于唯一因子分解的唯一性, $p^{2}$只有偶数个因子$2$, 它不可能等于$p^{2}$. 反证法+余数如果$\sqrt{2}$是有理数, 则有分数表示$a/b$, 取$b$是$\sqrt{2}$的分数表示中分母最小的. 则 a^{2}=2b^{2}.考虑$a^{2}$的末位数字, 它只可能是$0,1,4,5,6,9$中的一个. 而$2b^{2}$的末位数字只有$0,2,8$三种情况. 如果$a^{2}$与$2b^{2}$相等, 则它们有相同的末位数, 这个末位数只能是$0$. 所以$a$的末位数字只能是$0$, 而$b$的末位数字只能是$0$或$5$, 无论哪种情况, $a$和$b$都能被$5$整除, 从而$\frac{a/5}{b/5}$也是$\sqrt{2}$的分数表示. 因为$b/5<b$, 这与$b$是$\sqrt{2}$的分数表示中分母最小的选择矛盾. 这种方法在证明$2^{1/3}$的无理性时变得简洁. 设$2^{1/3}$是既约分数$a/b$, 则$2a^{3}=b^{3}$, 考虑模7同余, 由于整数的立方模7同余的结果只有$0,1$或$6$, 因此$a,b$模7必然均为$0$, 这与$a/b$是既约分数矛盾. 反证法+Bezout公式$\sqrt{2}$是无理数的证明是下面定理的推论. 定理: 对于$n\in\NN$. 如果$r=\sqrt{n}$是有理数, 则$r$是整数. 提示 设$r=a/b$为有理数, 其中$\mathrm{gcd}(a,b)=1$, 则有Bezout公式, 存在整数$c,d\in\ZZ$, ...

Problem 23A perfect number is a number for which the sum of its proper divisors is exactly equal to the number. For example, the sum of the proper divisors of $28$ would be $1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28$, which means that $28$ is a perfect number. A number $n$ is called deficient if the sum of its proper divisors is less than $n$ and it is called abundant if this sum exceeds $n$. As $12$ is the smallest abundant number, $1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16$, the smallest number that can be written as the sum of two abundant numbers is $24$. By mathematical analysis, it can be shown that all integers greater than $28123$ can be written as the sum of two abundant numbers. However, this upper limit cannot be reduced any further by analysis even though it is known that the greatest number that cannot be expressed as the sum of two abundant numbers is less than this limit. Find the sum of all the positive integers which cannot be written as the sum of two abundant numbers. 123456abundant = Select[Range[28123 ...

定理: 若$f(x)=f_nx^n+\cdots+f_0$是整系数多项式, $f_i\in\ZZ$且$f(x)$有有理根$x=a/b$, 其中$\mathrm{gcd}(a,b)=1$, 则$a\mid f_0$且$b\mid f_n$. 证明 根据条件 0=f(a/b)\Longrightarrow 0=b^{n}f(a/b)=f_{n}a^{n}+f_{n-1}a^{n-1}b+\cdots+f_{1}ab^{n-1}+f_{0}b^{n},因此 (\overbrace{f_{n}a^{n-1}+f_{n-1}a^{n-2}b+\cdots+f_{1}b^{n-1}}^{\text{an integer}})a=-f_{0}b^{n},所以由$\mathrm{gcd}(a,b)=1$, 有 $a\left|b^{n}f_{0}\Longrightarrow a\right|f_{0}$. 同理, $b\mid a^{n}f_{n}\Longrightarrow b\mid f_{n}$.