连续函数概念中的反例
仅在一点连续的函数仅在一点连续的函数: 设函数$f:\RR\to\RR$定义为
f(x)=\begin{cases}
x, & x\in\QQ,\\
-x, & x\notin\QQ,
\end{cases}则$f$在$x=0$处连续, 在$x\in\RR\setminus\left\{ 0\right\} $处不连续.
证明
证明: 使用如下关于连续函数的刻画: $f$在点$a\in\RR$处连续, 当且仅当, 对于任意满足$\lim_{k\to\infty}x_{k}=a$的实数列$\left(x_{k}\right)\subseteq\RR$,总有
\lim_{k\to\infty}f(x_{k})=f(a).$f$在$x=0$处连续: 若$x_{k}$收敛于$0$, 则
\lim_{k\to\infty}\left|f(x_{k})\right|=\lim_{k\to\infty}\left|f(x_{k})\right|=\lim_{k\to\infty}\left|x_{k}\right|=0.假设$a\ne0$. 则存在无理数$x_{1},x_{2},\cdots$收敛于$a$. 比如这样的序列$\left(x_{n}\right)_{n}$可以按如下方式构造:
当$a\notin\QQ$时, 取$x_{k}=a+1/k$.
当$a\in\QQ$时, 取$x_{k}=a+\sqrt{2}/k$.
对于这样的序列$\left(x_{n}\right)$, 我们有
\lim_{k\to\infty}f(x_{k})=-\lim_{k\to\infty}x_{k}=-a.另一方面, 可以构造有理数$y_{1},y_{2},\cdots$收敛于$a$. 因为当$a\notin\QQ$时, 用$\QQ$在$\RR$中的稠密性;当$a\in\QQ$时, 取$y_{k}=x_{k}+1/k$. 这时有
\lim_{k\to\infty}f(y_{k})=\lim_{k\to\infty}y_{k}=a.由于$a\ne0$时, $a\ne-a$. 所以$f$在$a$处不连续.
微分概念中的反例
反例: 不能是某个函数导数的函数.由达布介值定理, 这样的函数不能有第一类间断点, 所以符号函数即为反例.
反例: 仅在一点可导的函数.
f(x)=\begin{cases}
x^{2}, & x\in\QQ\\
0, & x\not\in\QQ
\end{cases}只在$x=0$处可导.其它例子
设函数$f:\RR\to\RR$定义如下:
f(x)=\begin{cases}
x, & x\in\QQ,\\
-x, & x\not\in\QQ.
\end{cases}则$f$只在一点处连续. 设$g:\RR\to\RR$定义为
g(x)=f(x)x.则$g$只在$x=0$处可导. 这是因为
g'(0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h)h-f(0)0}{h}=\lim_{h\to0}f(h)=0.如果$g$在某个$x\ne0$处连续, 则$f(x)=g(x)/x$在点$x$处也连续, 而这是不可能的.
反例: $f(x)$在点$x_{0}$可导, 不一定有$f(x)$在$x_{0}$点的领域内的每个点处可导.同上
反例: 在任何点的导数都不存在的函数.
f(x)=\begin{cases}
x, & x\in\QQ\\
0, & x\not\in\QQ
\end{cases}另外还有处处连续处处不可导的Weierstrass函数.
反例: $f(x)$在一点可导必然在该点连续, 反之不真.同上, 或者$f(x)=|x|$处处连续, 但在$x=0$处不可导, 又比如
f(x)=\begin{cases}
x, & x\le0,\\
x\sin\frac{\pi}{x}, & x>0,
\end{cases}在$x=0$处连续, 但在$x=0$处不可导.
反例: 在$n$个点($n\in\NN$)处不可导的连续函数.$f(x)=\left(|x-a_{1}|+|x-a_{2}|+\cdots+|x-a_{n}|\right).$
反例: 处处连续处处不可导函数.处处连续, 无处单调, 处处不可导函数:
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}f_{n}(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{f_{1}(4^{n-1}x)}{4^{n-1}},\quad x\in\RR,其中
f_{1}(x)=\begin ...
