定理

定理: 若$f(x)=f_nx^n+\cdots+f_0$是整系数多项式, $f_i\in\ZZ$且$f(x)$有有理根$x=a/b$, 其中$\mathrm{gcd}(a,b)=1$, 则$a\mid f_0$且$b\mid f_n$. 证明 根据条件 0=f(a/b)\Longrightarrow 0=b^{n}f(a/b)=f_{n}a^{n}+f_{n-1}a^{n-1}b+\cdots+f_{1}ab^{n-1}+f_{0}b^{n},因此 (\overbrace{f_{n}a^{n-1}+f_{n-1}a^{n-2}b+\cdots+f_{1}b^{n-1}}^{\text{an integer}})a=-f_{0}b^{n},所以由$\mathrm{gcd}(a,b)=1$, 有 $a\left|b^{n}f_{0}\Longrightarrow a\right|f_{0}$. 同理, $b\mid a^{n}f_{n}\Longrightarrow b\mid f_{n}$.

问题: 设$\frac{m}{n}\in\QQ^{+}$, 其中$\mathrm{gcd}(m,n)=1$, 设$q_{1},q_{2},\cdots,q_{s}$是$n$的素因子. 则 f\left(\frac{m}{n}\right)=\frac{m^{2}n^{2}}{q_{1}q_{2}\cdots q_{s}}是$\QQ^{+}\to\NN$的双射. 提示 由于$\mathrm{gcd}(m,n)=1$, 所以$m,n$没有公共素因子, 设$m=p_{1}^{\alpha_{1}}\cdots p_{r}^{\alpha_{r}}$, $\alpha_{i}>0$; $n=q_{1}^{\beta_{1}}\cdots q_{s}^{\beta_{s}}$, $\beta_{i}>0$.则 \frac{m^{2}n^{2}}{q_{1}\cdots q_{s}}=p_{1}^{2\alpha_{1}}\cdots p_{r}^{2\alpha_{r}}q_{1}^{2\beta_{1}-1}\cdots q_{s}^{2\beta_{s}-1}\in\NN.而对于任意的自然数$N$, 由算术基本定理, 可以表示素数幂的乘积, 将$N$中素因子出现偶数次的开方, 得到$m$, 将$N$中素因子出现奇数次的每个加一再开方得到$n$. 由算术基本定理分解的唯一性, 知道这样得到的$m,n$也是唯一的. 而不同的自然数$N$, 按照上面操作得到的$m,n$也是不同的, 所以对于任意的$N$, 其在$f$下的原像$\frac{m}{n}$是唯一的. 由此$f$是$\QQ^{+}\to\NN$的双射.

Sylvester-Gallai Theoremcite: For any $n$ points in $\RR^{2}$, not all collinear, there exists a line passing through exactly two of them. Proof: Pick any $2$ points and draw a line $\ell$ through them: suppose a $3$rd point lies on the line (else we are done) and pick the closest point $p\notin\ell$ to the line, at a distance $\delta$say. Of our $3$ points in $\ell$, a pair lies on one side of $p$: draw a line $\ell’$ through $p$ and the furthest of the pair from $p$. The distance $\delta’$ between $\ell’$ and the second point is less than $\delta$. cite. https://math.stackexchange.com/questions/699002 ↩

导数极限定理导数极限定理和Darboux介值定理之间还是有区别的, 如果承认下面的定理中函数$f(x)$在$x=x_0$处的可导性, 用Darboux介值定理很容证明极限式子 f'(x_{0})=\lim_{x\to x_{0}}f'(x).但如果不提$f(x)$在$x=x_0$处的可导性, 则只能从拉格朗日中值定理来证明. graph TD; A[拉格朗日中值定理]-->B[导数极限定理]; D[达布介值定理]-->B; 定理: 设函数$f$在点$x_{0}$的某领域$U(x_{0})$内连续, 在$U^{\circ}(x_{0})$内可导, 且极限$\lim_{x\to x_{0}}f’(x)$存在,则$f$在点$x_{0}$可导, 且 f'(x_{0})=\lim_{x\to x_{0}}f'(x).证明: 分别按左右导数给出证明. (1) 任取$x\in U_{+}^{\circ}(x_{0})$, $f(x)$在$[x_{0},x]$上满足拉格朗日定理的条件, 则存在$\xi\in(x_{0},x)$, 使得 \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=f'(\xi).由于$x_{0}<\xi<x$, 所以当$x\to x_{0}^{+}$时, 有$\xi\to x_{0}^{+}$, 对上式两边取极限, 便得 \lim_{x\to x_{0}^{+}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=\lim_{x\to x_{0}^{+}}f'(\xi)=f'(x_{0}+0).(2) 同理可得 f'_{-}(x_{0})=f'(x_{0}-0).因为$\lim_{x\to x_{0}}f’(x)=k$存在, 所以$f’(x_{0}+0)=f’(x_{0}-0)=k$, 从而$f’_{+}(x_{0})=f’_{-}(x_{0})=k$, 即$f’(x_{0})=k$.

书中很多术语看起来挺”外星人”语言的, 按照我初次阅读完的内容理解, 下面定理所说的协调的与现代常说的相容性是一个意思. 阅读需要知道的定义: 句子: 一个合式公式$X$, 若不包含任何变量的自由出现, 就称为一个句子. 合式公式按照以下步骤构造 若$X$是一个原子公式, 则$[X]$是一个合式公式 若$X$和$Y$是合式公式, 则$[\lnot X]$, $[X\lor Y]$, $[X\land Y]$, $[X\supset Y]$, $[X\equiv Y]$是合式公式 若$X$是一个合式公式, 而$y$(代表任意的变量)不在$X$的量词中出现, 也就是说$X$不包含$(\exists y)$或$(\forall y)$, 则$[(\exists y)X]$和$[(\forall y)X]$是合式公式. 前束范式: 在$L$中的一个合式公式$X$, 若$X$是有原子公式先经逻辑连接符(可以没有)再经量词(也可以没有)作用而构成, 则称$X$是前述范式. 协调的: 一个句子集若有一个模型, 就称为协调的. 超滤: 设$D$是$I$的子集族, 且满足: (i) $\varnothing\notin D$; (ii) 若$A\in D$, $B\in D$, 则$A\cap B\in D$; (iii) 若$A\in D$且$A\subset B\subset I$, 则$B\in D$; (iv) 若任何$A\subset I$, 或者有$A\in D$或者有$I-A\in D$. 则称$D$是$I$上的一个超滤(ultrafilter). 或说是$I$的子集族组成的Boole代数中的极大对偶理想. graph LR; A[合式公式]-->|先经逻辑连接符再经量词作用成|E[前束范式]; F[原子公式]-->|加括号,逻辑连接词,量词|A; A-->|不出现任何变量|B[句子]; B-->|有模型的句子集|G[协调的]; 定理: 令$K$是一个句子集, 若$K$的每个有穷子集是协调的, 则$K$是协调的. 证明: Step 1: 不妨设$K$的一切句子都是前束范式, 否则用前束范式定理将相应的句子替换为等价的前束范式的句子, 得到新的句子集$K_{0}$. 若$K$的每个有穷子集是协调的, 且$K_{0}’$是$K_{0}$的一个有 ...

定理: Euler求和公式: 设函数$f\in C^1[0,+\infty)$, 则有 \begin{align*} \sum_{k=1}^{n}f(k) & =\int_{0}^{n}f(x)\ud x+\frac{f(n)-f(0)}{2}+\int_{0}^{n}\left\langle x\right\rangle f'(x)\ud x\\ & =\int_{1}^{n}f(x)\ud x+\frac{f(n)+f(1)}{2}+\int_{1}^{n}\left\langle x\right\rangle f'(x)\ud x \end{align*}其中$\left\langle x\right\rangle =\left\{ x\right\} -\frac{1}{2}$. 证明: 使用RS积分, 由于 \ud[x]=\sum_{k\in\mathrm{Dom}(x)}\delta(x-k)\ud x,所以 \begin{align*} \sum_{k=1}^{n}f(k) & =\int_{0+}^{n+}f(x)\ud[x]\\ & =\int_{0}^{n}f(x)\ud x-\int_{0+}^{n+}f(x)\ud\left\{ x\right\} \\ & =\int_{0}^{n}f(x)\ud x-\int_{0+}^{n+}f(x)\ud\left(\left\{ x\right\} -\frac{1}{2}\right)\\ & =\int_{0}^{n}f(x)\ud x-\left\langle x\right\rangle f(x)\mid_{0+}^{n+}+\int_{0+}^{n+}\left\langle x\right\rangle f'(x)\ud x\\ & =\int_{0}^{n}f(x)\ud x+\frac{f(n)-f(0)}{2}+\int_{0}^{n}\left\langle x\right\rangle f'(x)\ud x. \end{align*} 通常的证法: 将区间$[0,n]$划分为长度为$1$的小区间$[k-1,k]$, ($k=1,2,\cdots,n$), 则 \int_{k-1}^{k}\left\langle x\right\rangle f'(x) ...