抽象代数问题集
这是一个长期建设问题集, 其中引文格式MSE4469237表示的意思是math.stackexchange.com中的问题编号为4469237
问题: MSE4469237 设$A$为$\QQ$的任意子集, 函数$f(x)=\frac{1}{x(x-1)}$, 对于任意两个集合$A,B$,
A+B=\left\{ a+b:a\in A,\ b\in B\right\} .按以下规则递归的定义$S_{n}[A]$:
$S_{0}[A]=A+\ZZ$;
$S_{n+1}[A]=S_{n}[A]\cup\left(f(S_{n}[A]\setminus\{0,1\})+\ZZ\right)$.
定义
S[A]\coloneqq\bigcup_{n=0}^{\infty}S_{n}[A];\qquad U=f(\QQ\setminus\{0,1\})+\ZZ.证明或否定以下结论:
对于任何素数$p>3$, $\frac{2}{p}\not\in U$; $\frac{2}{3}\in U$;
对于任何素数$p$, $1<r<p-1$, $\frac{r}{p}\not\in U$;
$S[\{0\}]=U$; (hint: 取$x=\frac{2}{13}\not\in U$知$-\frac{15}{22}\in S[x]\subseteq U$,但是$-\frac{15}{22}\not\in S[\{0\}]$);
$S[U^{c}]=\QQ$.
hint: 任取$\frac{r}{s}\in\QQ$, 只需要考虑$\frac{r}{s}\in U$的情况, 此时存在$\frac{a}{b}\in\QQ$,$k\in\ZZ$使得
f\left(\frac{a}{b}\right)=\frac{b^{2}}{a(a-b)}=\frac{r}{s}+k=\frac{r+ks}{s},利用$(a,b)=1$, $(r,s)=1$, 得到$\left|a(a-b)\right|=\left|s\right|$.所以
\left|b\right|=\left|b-a+a\right|\le\left|b-a\right|+\left|a\right|\le\left|(b-a)a\right|=\left|s\right|,\qu ...
