高等数学

函数的连续性增量的概念 自变量的增量：$\Delta x = x - x_0$ 函数的增量：$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = f(x) - f(x_0)$ 函数在一点连续的定义函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续，有以下三种等价的定义方式： 定义 (用增量定义): 函数在 $x_0$ 的某邻域内有定义，且满足： \lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = 0这表示当自变量的变化趋于0时，函数值的变化也趋于0。 定义 (用极限定义): 函数在 $x_0$ 的某邻域内有定义，且满足： \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)这表示函数在该点的极限值等于该点的函数值。 定义 ($\varepsilon-\delta$ 定义): 函数在 $x_0$ 的某邻域内有定义，如果 $\forall \varepsilon > 0$，$\exists \delta > 0$，使得当 $|x - x_0| < \delta$ 时，有 $|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$ 恒成立。这是连续性的最精确定义，从“动态(极限)”和“静态(不等式)”两个角度刻画了函数在一点及其附近平滑变化的特性。 定义 (左、右连续): 若 $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)$，则称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处左连续。 若 $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$，则称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处右连续。 定理 (函数在一点连续的充要条件): 函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续的充分必要条件是它在 $x_0$ 点处既左连续又右连续。即：\[\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)\] 函数的间断点定义: 如果函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处不连续，则称点 $x_0$ 为函数的间断点。产生间断点的情形有三类： 在 $x_0$ 处无定义。 在 $x_0$ 处有定义，但 $\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$ 不存在。 在 $ ...

无穷小的比较定义: 设 $\alpha(x), \beta(x)$ 为无穷小. 高阶无穷小：$\lim \frac{\beta}{\alpha} = 0$，记作 $\beta = o(\alpha)$ 低阶无穷小：$\lim \frac{\beta}{\alpha} = \infty$ 同阶无穷小：$\lim \frac{\beta}{\alpha} = C \neq 0$ $k$ 阶无穷小：$\lim \frac{\beta}{\alpha^k} = C \neq 0$ 等价无穷小：$\lim \frac{\beta}{\alpha} = 1$，记作 $\alpha \sim \beta$ 核心概念在自变量同一变化趋势下(如 $x \to 0$)，比较两个无穷小 $\alpha$ 和 $\beta$ 趋于零的“速度”.这里 $\alpha$ 和 $\beta$ 都是自变量的函数, 且极限均为零。 阶的比较标准：通过计算极限 $\lim \frac{\beta}{\alpha}$ 来判断： 如果 $\lim \frac{\beta}{\alpha} = 0$，则 $\beta$ 是比 $\alpha$ 高阶的无穷小，记作 $\beta = o(\alpha)$。 如果 $\lim \frac{\beta}{\alpha} = \infty$，则 $\beta$ 是比 $\alpha$ 低阶的无穷小。 如果 $\lim \frac{\beta}{\alpha} = C \neq 0$(C为常数)，则 $\beta$ 与 $\alpha$ 是同阶无穷小。 如果 $\lim \frac{\beta}{\alpha} = 1$，则 $\beta$ 与 $\alpha$ 是等价无穷小，记作 $\alpha \sim \beta$。 等价无穷小的性质 反身性：$\alpha \sim \alpha$ 对称性：若 $\alpha \sim \beta$，则 $\beta \sim \alpha$ 传递性：若 $\alpha \sim \beta$，$\beta \sim \gamma$，则 $\alpha \sim \gamma$ 无穷小比较的例题分析例: 当 $x \to 0$ 时比较无穷小: (1) $\sin 5x$ 和 $3x$ \lim_{x ...

极限存在准则准则1（夹逼定理）数列形式: 如果数列 $\{x_n\}, \{y_n\}, \{z_n\}$ 满足： $y_n \leq x_n \leq z_n \quad (n = 1, 2, 3, \ldots)$ $\lim\limits_{n \to \infty} y_n = \lim\limits_{n \to \infty} z_n = a$ 则 $\{x_n\}$ 的极限存在，且 $\lim\limits_{n \to \infty} x_n = a$ 函数形式（准则I’）: 如果函数 $f(x), g(x), h(x)$ 满足： 在 $x_0$ 的某去心邻域内（或 $|x| > X$），有 $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ $\lim g(x) = \lim h(x) = A$ 则 $\lim f(x) = A$ ✅ 注意：函数形式的夹逼定理中的极限过程有如下两种常见形式： 当 $x \to x_0$ 时：$\lim_{x \to x_0} g(x) = \lim_{x \to x_0} h(x) = A$ 当 $x \to \infty$ 时：$\lim_{x \to \infty} g(x) = \lim_{x \to \infty} h(x) = A$ 准则II（单调有界准则）单调有界数列必有极限： 单调增加且有上界的数列必有极限. 单调减少且有下界的数列必有极限. 应用实例问题(夹逼定理的应用): 求 $\lim\limits_{n \to \infty} n \left( \frac{1}{n^2 + \pi} + \frac{1}{n^2 + 2\pi} + \cdots + \frac{1}{n^2 + n\pi} \right)$. 解 建立不等式：$\frac{n^2}{n^2 + n\pi} < x_n < \frac{n^2}{n^2 + \pi}$ 两边极限：$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2 + n\pi} = 1$，$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2 + \pi} = 1$ 由夹逼定理：$\lim_{n \to \infty} x_n = 1$ 问题(单调有界准则的应用) ...

极限的四则运算法则定理(极限四则运算): 在自变量的同一变化过程中，设 $\lim f(x) = A$，$\lim g(x) = B$，则：(1) 和差的极限： \lim [f(x) \pm g(x)] = A \pm B(2) 乘积的极限： \lim [f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B(3) 商的极限（当 $B \ne 0$）： \lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}提示 将 $f(x), g(x)$ 表示为极限值加无穷小，利用无穷小的和仍是无穷小。 可推广到有限个函数相乘。 $\lim [C \cdot f(x)] = C \cdot A$ $\lim [f(x)]^n = A^n$ 典型例题与应用技巧例：多项式极限\[\lim_{x \to x_0} P_n(x) = P_n(x_0)\] 直接代入即可，由极限的加法和乘法法则保证。 例：“0/0”型未定式 当分子、分母极限均为零时，先因式分解，约去公因子，再求极限。 例如：\[\lim_{x \to -2} \frac{x^2 - 4}{x + 2} = \lim_{x \to -2} (x - 2) = -4\] 例：分母为零而分子不为零 若 $\lim g(x) = 0$，$\lim f(x) \ne 0$，则：\[\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \infty\] 此处仍然要求 $\lim f(x)$ 存在, 否则会有反例, 如: $g(x)=x$, 有 $\lim\limits_{x\to0} g(x)=0$, $f(x)=\sin\frac1x$, 但 $\lim\limits_{x\to 0} f(x)$ 不存在,\lim\limits_{x\to0} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin\frac1x}{x} 不存在. 使用无穷小与无穷大的关系：$\frac{1}{\text{无穷小}} = \text{无穷大}$。 例：“∞/∞”型未定式（多项式分式） 分子分母同除以最高次幂 $x^n$，再求极限。 例如： \lim_{x \to \infty} \frac{6x^4 - 7x^3 + 2}{2x^4 + 6x^2 - 1} ...

无穷小与无穷大一、无穷小的定义定义: 若 $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = 0$（或 $\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = 0$），则称 $f(x)$ 为当 $x \to x_0$（或 $x \to \infty$）时的 无穷小。 例子： $\lim\limits_{x \to 0} \sin x = 0$ ⇒ $\sin x$ 是 $x \to 0$ 时的无穷小 $\lim\limits_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$ ⇒ $\frac{1}{x}$ 是 $x \to \infty$ 时的无穷小 注意： 无穷小是相对于自变量变化过程而言的。 除 0 以外，任何常数都不是无穷小。 因为 $\lim\limits_{x \to x_0} C = C \ne 0$（除非 $C = 0$） 无穷小与函数极限的关系定理: \lim_{x \to x_0} f(x) = A \ \iff\ f(x) = A + \alpha(x)，\quad \lim_{x \to x_0} \alpha(x) = 0提示 设 $\alpha(x) = f(x) - A$，则 $\lim_{x \to x_0} \alpha(x) = 0$ 反之，若 $f(x) = A + \alpha(x)$，且 $\alpha(x) \to 0$，则 $f(x) \to A$ 无穷小的运算法则定理: 有限个无穷小的和是无穷小. 提示 证明思路：对每个无穷小控制其绝对值小于 $\frac{\varepsilon}{n}$，取最小 $\delta$，利用三角不等式。 注意：无限个无穷小的和不一定是无穷小。 例如：\[\lim_{n \to \infty} n \left( \frac{1}{n^2 + \pi} + \frac{1}{n^2 + 2\pi} + \cdots + \frac{1}{n^2 + n\pi} \right) = 1\] 定理: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 提示 利用有界性 $|u(x)| \leq M$ 和无穷小定义，控制乘积小于 $\varepsilon$。 推论: 常数与无穷小的乘积是无穷小。 有限个无穷小的 ...

函数的极限一、$x \to \infty$ 时函数的极限定义: 设函数 $f(x)$ 在 $|x|$ 大于某正数时有定义。若对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $X > 0$，使得当 $|x| > X$ 时，有： |f(x) - A| < \varepsilon则称常数 $A$ 是 $f(x)$ 当 $x \to \infty$ 时的极限，记作： \lim_{x \to \infty} f(x) = A \quad \text{或} \quad f(x) \to A \ (x \to \infty) 几何解释 当 $x < -X$ 或 $x > X$ 时，函数图像位于水平带形区域 $A - \varepsilon < y < A + \varepsilon$ 内。 直线 $y = A$ 称为曲线 $y = f(x)$ 的 水平渐近线。 充要条件 定义：$\lim_{x \to \infty} f(x) = A$ 指：\[\forall \varepsilon > 0,\ \exists X > 0,\ \text{当 } |x| > X \text{ 时},\ |f(x) - A| < \varepsilon\] 充要条件：\[\lim_{x \to \infty} f(x) = A \ \iff\ \lim_{x \to +\infty} f(x) = A \ \text{且} \ \lim_{x \to -\infty} f(x) = A\] 例题与反例例：$f(x) = \arctan x$ $\lim_{x \to +\infty} \arctan x = \frac{\pi}{2}$ $\lim_{x \to -\infty} \arctan x = -\frac{\pi}{2}$ 左右极限不相等 ⇒ $\lim_{x \to \infty} \arctan x$ 不存在 例：用定义证明 $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$证：\[\left| \frac{1}{x} - 0 \right| = \frac{1}{|x|}\]对 $\forall \varepsilon > 0$，取 $X = \frac{1}{\ ...

第2节 数列的极限一、数列极限的引入 极限概念源于求解实际问题的精确解，如计算由 $y = x^2$、$y = 0$、$x = 1$ 围成的曲边三角形面积 $A$。 使用“台阶形”逼近法，将区间 $[0,1]$ 分为 $n$ 等份，构造面积 $A_n$： \[A_n = \frac{1}{n^3} \left[1^2 + 2^2 + \cdots + (n-1)^2\right] = \frac{1}{6n^3} \cdot n(n-1)(2n-1)\] 化简得： \[A_n = \frac{1}{3} - \left( \frac{1}{2n} - \frac{1}{6n^2} \right)\] 当 $n \to \infty$，$A_n \to A = \frac{1}{3}$，体现了极限思想。 二、数列与整标函数定义： 数列是一列按顺序排列的实数：$x_1, x_2, \dots, x_n, \dots$，记为 $\{x_n\}$。 第 $n$ 项 $x_n$ 称为通项。 例子： $A_2, A_3, \dots, A_n, \dots$ $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots, \frac{1}{n}, \dots$ $2, 4, 8, \dots, 2^n, \dots$ $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \dots, \frac{1}{2^n}, \dots$ $1, -1, 1, \dots, (-1)^{n+1}, \dots$ $2, \frac{1}{2}, \frac{4}{3}, \dots, \frac{n + (-1)^{n-1}}{n}, \dots$ 几何意义： 数列 $\{x_n\}$ 表示数轴上的一列点。 从函数角度看，数列是整标函数：$x_n = f(n), \quad n \in \mathbb{N}^*$ 三、极限思想的核心 利用规则图形（如台阶形）的极限来逼近不规则图形（如曲边三角形）的面积。 体现了“极限方法”在解决实际问题中的基本思想。 数列极限的定义（$\varepsilon–N$ 定义）: 设有数列 $\{x_n\}$，若对于 任意给定的正数 $\varepsilon > 0$，总存在正整数 $N$，使得当 $ ...

第1章 函数、极限与连续📚 章节结构第1章共分为9个小节： 初等函数 数列的极限 函数的极限 无穷小和无穷大 极限的运算法则 极限存在准则及两个重要极限 无穷小的比较 函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 📖 第1节：初等函数一、邻域 定义：设 $a, \delta \in \mathbb{R}$，且 $\delta > 0$，称数集 $\{x \mid |x-a| < \delta\}$ 为点 $a$ 的 $\delta$ 邻域，记为 $U(a, \delta)$。 表达式：\[U(a, \delta) = \{x \mid |x-a| < \delta\}\] 几何意义：区间 $(a - \delta, a + \delta)$ 去心邻域：去掉中心点 $a$，记为 $\mathring{U}(a, \delta)$：\[\mathring{U}(a, \delta) = \{x \mid 0 < |x - a| < \delta\}\] 左邻域：$(a - \delta, a)$ 右邻域：$(a, a + \delta)$ 二、函数的概念 例1.1.1 圆的面积问题：\[A = \pi r^2, \quad r \in (0, +\infty)\] 例1.1.2 自由落体问题：\[h = \frac{1}{2}gt^2, \quad t \in [0, T]\] 函数定义：两个变量之间的一种依赖关系，当一个变量在某一范围内取值时，另一个变量按一定法则有唯一确定的值与之对应。 1. 函数的定义 设 $ x $ 和 $ y $ 是两个变量，$ D \subseteq \mathbb{R} $ 是一个数集。 如果对于每一个 $ x \in D $，变量 $ y $ 按照一定的法则 $ f $ 总有唯一确定的数值与之对应，则称 $ y $ 是 $ x $ 的单值函数，记为 $ y = f(x) $。 若某些 $ x $ 对应多个 $ y $，则称为多值函数（未特别说明时均指单值函数）。 $ x $ 称为自变量，$ y $ 称为因变量，$ D $ 称为定义域，$ y $ 的取值范围称为值域。 2. 思考与解惑 （1）确定函数的要素有哪些？ 两个要素：定义域和对应关系。 值域由定义域和 ...

目录 初等函数 数列的极限 函数的极限 无穷小与无穷大 极限的四则运算法则 极限存在准则与两个重要极限 无穷小的比较 函数的连续性 📌 课外参考资料推荐 《普林斯顿微积分读本》 《吉米多维奇数学分析习题集》 《数学分析中的典型问题与方法》（裴礼文） 《微积分学教程》（菲赫金戈尔茨） 《微积分和数学分析引论》（柯朗） 💡 学习建议（来自文档） 自学时先通读教材，再做习题； 多本书对比学习； 刷题时限时完成，对卡壳处做标记复习。

最近刷题目卡在最后一题了, 题目是这样的: 问题: 设 $\left\{ a_{n}\right\} ,\left\{ b_{n}\right\} $ 为满足 $e^{a_{n+1}}=a_{n}+e^{b_{n}},n\geq1$ 的两个实数列, 已知 $a_{n}>0(n\geq1)$, 且 $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ 收敛。证明: $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{b_{n}}{a_{n}}$ 也收敛。 从题目中容易解出来 b_{n}=\ln\left(\ue^{a_{n+1}}-a_{n}\right),所以要证明$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{b_{n}}{a_{n}}$的收敛性, 最先想到的是证明级数的各项能被$a_{n}$的某固定常数倍控制, 于是 \frac{b_{n}}{a_{n}}=\frac{\ln\left(\ue^{a_{n+1}}-a_{n}\right)}{a_{n}}\le\frac{\ue^{a_{n+1}}-1-a_{n}}{a_{n}}\le\frac{a_{n+1}+o\left(a_{n+1}\right)-a_{n}}{a_{n}}.但右边似乎没有办法被很好的控制, 因为我最后构造了一个反例, 反例大概是这样的 a_{n}=\begin{cases} \frac{1}{n^{2}}, & n\ne m^{2},\\ \left(1+\frac{1}{m}\right)\frac{1}{n^{2}}, & n=m^{2}+1, \end{cases}使用$\frac{1}{n^{2}}$是因为众所周知的$\zeta(2)=\frac{\pi^{2}}{6}$, 来确保级数$\sum a_{n}$的收敛性. $1+\frac{1}{m}$项是为了能让项$\frac{a_{n+1}-a_{n}}{a_{n}}$在$n=m^{2}$时得到$\frac{1}{m}$, 这可以取遍调和级数的所有项, 从而使$\frac{a_{n+1}-a_{n}}{a_{n}}$形成的部分和含有发散子列$\frac{1}{m}$. 这是我怀疑上面的不等式在放大的过程中放的太过了, 所以有必要直接考虑$\frac{b_{n}}{a_{n}}$在$n$很大时的变化趋势, 根据 ...