高等数学

最近刷题目卡在最后一题了, 题目是这样的: 问题: 设 $\left\{ a_{n}\right\} ,\left\{ b_{n}\right\} $ 为满足 $e^{a_{n+1}}=a_{n}+e^{b_{n}},n\geq1$ 的两个实数列, 已知 $a_{n}>0(n\geq1)$, 且 $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ 收敛。证明: $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{b_{n}}{a_{n}}$ 也收敛。 从题目中容易解出来 b_{n}=\ln\left(\ue^{a_{n+1}}-a_{n}\right),所以要证明$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{b_{n}}{a_{n}}$的收敛性, 最先想到的是证明级数的各项能被$a_{n}$的某固定常数倍控制, 于是 \frac{b_{n}}{a_{n}}=\frac{\ln\left(\ue^{a_{n+1}}-a_{n}\right)}{a_{n}}\le\frac{\ue^{a_{n+1}}-1-a_{n}}{a_{n}}\le\frac{a_{n+1}+o\left(a_{n+1}\right)-a_{n}}{a_{n}}.但右边似乎没有办法被很好的控制, 因为我最后构造了一个反例, 反例大概是这样的 a_{n}=\begin{cases} \frac{1}{n^{2}}, & n\ne m^{2},\\ \left(1+\frac{1}{m}\right)\frac{1}{n^{2}}, & n=m^{2}+1, \end{cases}使用$\frac{1}{n^{2}}$是因为众所周知的$\zeta(2)=\frac{\pi^{2}}{6}$, 来确保级数$\sum a_{n}$的收敛性. $1+\frac{1}{m}$项是为了能让项$\frac{a_{n+1}-a_{n}}{a_{n}}$在$n=m^{2}$时得到$\frac{1}{m}$, 这可以取遍调和级数的所有项, 从而使$\frac{a_{n+1}-a_{n}}{a_{n}}$形成的部分和含有发散子列$\frac{1}{m}$. 这是我怀疑上面的不等式在放大的过程中放的太过了, 所以有必要直接考虑$\frac{b_{n}}{a_{n}}$在$n$很大时的变化趋势, 根据 ...

对于如下类型的极限计算\[\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f(k)\]可采用的计算方法有: 转化为定积分定义计算若$f(k)$能表达成$g\left(\frac{k}{n}\right)$的形式时, 可采用定积分定义计算, 即\[\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}g\left(\frac{k}{n}\right)=\int_{0}^{1}g(x)dx.\] 采用Stolz定理, 转化为计算 $\lim_{n\rightarrow\infty}f(n)$;使用Euler求和公式.

问题: 求 I=\int_{0}^{1}\frac{x-1}{\ln x}\ud x.提示 I=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}x^{y}\ud y\ud x=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}x^{y}\ud x\ud y=\int_{0}^{1}\frac{1}{y+1}\ud y=\ln(1+y)\mid_{0}^{1}=\ln2.

问题: 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上具有二阶可导, 且 $f(a)=f(b)=0$, $M=\max_{x\in[a,b]}\left|f^{\prime\prime}(x)\right|$, 证明 \left|\int_{a}^{b}f(x)dx\right|\leq\frac{(b-a)^{3}}{12}M.瞎算 \begin{align*} f(x) & =f'(a)(x-a)+\frac{f''(\xi)}{2}(x-a)^{2}\\ & =f'(b)(x-b)+\frac{f''(\eta)}{2}(x-b)^{2}\\ & =\lambda f'(a)(x-a)+(1-\lambda)f'(b)(x-b)+\lambda\frac{f''(\xi)}{2}(x-a)^{2}+(1-\lambda)\frac{f''(\eta)}{2}(x-b)^{2} \end{align*}取$\lambda=\frac{f’(b)}{f’(a)+f’(b)}$, \int_{a}^{b}f(x)dx=\frac{\lambda}{2}\int_{a}^{b}f''(\xi)(x-a)^{2}dx+\frac{1-\lambda}{2}\int_{a}^{b}f''(\eta)(x-b)^{2}dx. \left|\int_{a}^{b}f(x)dx\right|\le\frac{\lambda}{2}M\int_{a}^{b}(x-a)^{2}dx+\frac{1-\lambda}{2}M\int_{a}^{b}(x-b)^{2}dx=\frac{M(b-a)^{3}}{6}. 提示 \begin{align*} 0=f(a) & =f(x)+f'(x)(a-x)+\frac{f''(\xi)}{2}(a-x)^{2}\\ & =f(x)+f'(x)(b-x)+\frac{f''(\eta)}{2}(b-x)^{2}\\ & =f(x)+\lambda(a-x)f'(x)+(1-\lambda)(b-x)f'(x)+\frac{f''(\xi)}{2}\lambda(a-x)^{2}+\frac{f''(\eta)}{2}(1-\lambda)(b-x)^{2} \end{align*}取$\lambda=\frac{ ...

关于每个变量连续的间断函数.\[f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2}\ne0,\\0, & x=y=0.\end{cases}\] 一个二元函数在原点没有极限, 但沿着任一直线逼近原点存在极限.\[f(x,y)=\begin{cases}\frac{x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2}\ne0,\\0, & x=y=0.\end{cases}\] 以下三种极限恰有两个存在且相等的函数\[\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)\quad\lim_{x\to a}\lim_{y\to b}f(x,y),\quad\lim_{y\to b}\lim_{x\to a}f(x,y).\] (1).\[f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2}\ne0,\\0, & x=y=0.\end{cases}\] (2).\[f(x,y)=\begin{cases}y+x\sin(1/y), & y\ne0,\\0, & y=0.\end{cases}\] (3).\[f(x,y)=\begin{cases}x+y\sin(1/x), & x\ne0,\\0, & x=0.\end{cases}\] 以上三种极限恰有一个存在的函数.(1).\[f(x,y)=\begin{cases}x\sin(1/y)+y\sin(1/x), & xy\ne0,\\0, & xy=0.\end{cases}\] (2).\[f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}+y\sin(1/x), & x\ne0,\\0, & x=0.\end{cases}\] (3).\[f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}+x\sin(1/y), & y\ne0,\\0, & y=0.\end{cases}\] 累次极限交换次序不相等的函数.\[f(x,y)=\begin{cases}\frac{x^{2 ...