定义

环2环定义: A ring $R$ is an abelian group with a multiplication operation $(a, b) \rightarrow a b$ that is associative and satisfies the distributive laws: $a(b+c)=a b+a c$ and $(a+b) c=a b+a c$ for all $a, b, c \in R$. We will always assume that $R$ has at least two elements, including a multiplicative identity $1_R$ satisfying $a 1_R=1_R a=a$ for all $a$ in $R$. The multiplicative identity is often written simply as $1$, and the additive identity as $0$. 定义: If $a$ and $b$ are nonzero but $ab=0$, we say that $a$ and $b$ are zero divisors; if $a\in R$ and for some $b\in R$ we have $ab=ba=1$, we say that $a$ is a unit or that $a$ is invertible. 交换环, 整环, 除环, 域, 特征定义: Note that $a b$ need not equal $b a$; if this holds for all $a, b \in R$, we say that $R$ is a commutative ring. An integral domain is a commutative ring with no zero divisors. A division ring or skew field is a ring in which every nonzero element $a$ has a multiplicative inverse $a^{-1}$, (i.e., $a a^{-1}=a^{-1} a=1$). Th ...

广义超几何级数的定义广义超几何级数的定义是 _{p}F_{q}\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{p};\gamma_{1},\gamma_{2},\cdots,\gamma_{q};z\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\alpha_{1})_{n}(\alpha_{2})_{n}\cdots(\alpha_{p})_{n}}{n!(\gamma_{1})_{n}(\gamma_{2})_{n}\cdots(\gamma_{q})_{n}}z^{n},其中$(\alpha)_{n}=\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)\cdots(\alpha+n-1)$为$\alpha$的升$n$阶乘. 关于公式的记忆, 首先对于一般级数 f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(z),如果已知$c_{0}=\color{red}{\alpha}$, \frac{c_{n+1}(z)}{c_{n}(z)}=\frac{({\color{blue}{ \alpha_{1} }}+n)({\color{blue}{ \alpha_{2} }}+n)\cdots({\color{blue}{ \alpha_{p} }}+n)}{({\color{green}{ \gamma_{1} }}+n)\cdots({\color{green}{ \gamma_{q} }}+n)}\frac{z}{(n+1)},则$f(z)$有表示 f(z)={\color{red}{\alpha}}\cdot{}_{p}F_{q}\left({\color{blue}{ \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{p} }};{\color{green}{ \gamma_{1},\gamma_{2},\cdots,\gamma_{q} }};z\right).

事件与概率定义: 在一定条件下, 必然发生或者必然不发生, 这种现象称为确定性现象. 必然会发生的现象称为必然现象. 必然不会发生的现象, 称为不可能现象. 在一定条件下, 并不总出现相同的结果, 但在大量重复试验中, 结果具有统计性规律的现象, 称为随机现象. 确定性现象的特征: 条件完全决定结果.随机现象的特征: 条件不能完全决定结果. 定义: 对随机现象的观测或实验称为试验. 有以下特点: 试验可以在相同条件下重复进行; 试验的所有可能结果是事前已知且结果不止一种; 在每次试验中, 结果是事先无法确定的. 把有这三个特点的试验称为随机试验, 简称试验. 通常用字母$E$表示.随机试验$E$的每一个可能的结果称为$E$的一个样本点, 一般用$\omega$表示.$E$的所有样本点所组成的集合称为$E$的样本空间, 记为$\Omega$. 定义: 随机现象的结果称为随机事件, 简称事件.关于事件, 要注意以下几点 任一事件是相应样本空间的一个子集; 事件发生当且仅当它所包含的某一样本点发生; 事件可以用集合表示, 也可以用文字语言表示, 甚至还可以用随机变量表示. 两个特殊的事件: 样本空间$\Omega$的最大子集, 称为必然事件. 样本空间$\Omega$的最小子集$\emptyset$, 称为不可能事件. 定义: 事件间的关系: 包含: 事件$A$发生必然导致事件$B$发生, 则称事件$B$包含事件$A$, 记为$A\subset B$. 相等: 若事件$A$与事件$B$中任一事件发生必然导致另一事件发生, 则称事件$A$与事件$B$相等, 记为$A=B$. 互不相容: 若事件$A$与事件$B$不能同时发生, 则称事件$A$与事件$B$是互不相容的(互斥的). 事件间的运算 并: 有限并, 可列并 交: 有限交, 可列交 差: “事件$A$发生而事件$B$不发生”, 称为事件$A$与事件$B$的差, 记为$A-B$. 必然事件$\Omega$对任一事件$A$的差$\Omega-A$称为事件$A$的对立事件, 记为$\overline{A}$. 事件的运算性质 交换律: $A\cup B=B\cup A$, $AB=BA$; 结合律: $(A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)$, $(AB)C=A(BC) ...

这里放一些定义的收集, 以免以后用的时候有细节上的疏漏. 同时也会放上参考文献 欧式空间中的定义定义: 1 设 $V$ 是实数域 $R$ 上的一个线性空间. 如果有一个法则，它对于 $V$ 中任二向量 $\alpha$ 与 $\beta$, 都有唯一确定的实数, 用 $(\alpha, \beta)$ 表示, 与它们对应, 且满足 $(\alpha, \beta)=(\beta, \alpha)$, $(k \alpha, \beta)=k(\alpha, \beta),(k \in R)$, $\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}, \beta\right)=\left(\alpha_{1}, \beta\right)+\left(\alpha_{2}, \beta\right)$, 当 $\alpha \neq \theta$ 时, $(\alpha, \alpha)>0$, 则称在 $V$ 中定义了一个内积, 并把 $V$ 叫做一个欧式空间. 在欧氏空间中, 常把实数 $(\alpha, \beta)$ 叫做向量 $\alpha$ 与 $\beta$ 的内积. 定义: 1 设 $\alpha, \beta$ 为两个非零向量, 称实数 \varphi=\arccos \frac{(\alpha, \beta)}{|\alpha||\beta|}为向量 $\alpha$ 与 $\beta$ 的夹角, 亦即 \cos \varphi=\frac{(\alpha, \beta)}{|\alpha||\beta|} 定义: 1 称非负实数 $\sqrt{(\alpha, \alpha)}$ 为向量 $\alpha$ 的长或模, 并用 $|\alpha|$ 表示, 即 |\alpha|=\sqrt{(\alpha, \alpha)} \text {. } 正交基与标准正交基定义: 1 如果欧氏空间中两个向量 $\alpha$ 与 $\beta$ 的内积等于零, 即 (\alpha, \beta)=0,则称 $\alpha$ 与 $\beta$ 正交. 定义: 1 设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间. 如果 $V$ 的基 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 中每两个向量都正交, ...