紧算子
紧算子是一种特殊的线性算子.
为什么研究紧算子?一个主要原因是, 紧算子可以用有限秩算子(finite rank operator)逼近, 便于对算子方程的解做数值逼近.
定理 1: 若$H$是无穷维Hilbert空间, 算子$A\in CL(H)$, 且$\norm{A}<1$, 则对于任何$y\in H$,存在唯一的$x\in H$满足
(I-A)x=y.这个解$x$可以由Neumann级数
x=(I-A)^{-1}y=(I+A+A^{2}+\cdots)y给出.
上面的解有两种缺点:
计算$A^{n}$是不现实的.
级数收敛速度不理想.
紧算子定义: (紧算子) 设$X,Y$是赋范空间, 线性变换$T:X\to Y$称为是紧算子, 若对于任何有界序列$(x_{n})_{n\in\NN}\subseteq X$, 序列$(Tx_{n})_{n\in\NN}$有收敛子列.
记从$X$到$Y$的所有紧算子形成集合为$K(X,Y)$.
定理 2: 设$X,Y$是赋范空间, $T:X\to Y$是线性变换, 则以下命题等价:
(1). $T$是紧的.
(2). $\overline{T(B)}$是紧的, 其中$B$是$X$中的单位球, 即
B\coloneqq\left\{ x\in X:\norm{x}\le1\right\} .提示
(1)$\Longrightarrow$(2). 也就是证$\overline{T(B)}$中的序列$(z_{n})_{n\in\NN}$有收敛子列.
(2)$\Longrightarrow$(1). 即证$X$中有界序列$(x_{n})$, 使$(Tx_{n})_{n\in\NN}$有收敛子列.
紧算子集$K(X,Y)$定理 3: $K(X,Y)\subseteq CL(X,Y)$.
提示
紧算子将$X$中的单位球映为$Y$中的紧集, 从而是$Y$中的有界集, 即这紧算子是有界算子, 线性有界算子是连续的.
例: 不是所有连续线性变换都是紧的.
提示
设$X$为任一无穷维内积空间, 比如$l^{2}$. 其上的恒等算子$I\in CL(X)$不是紧算子.因为$I$映$X$中正交基$(u_{n})_{n\in\NN}$的像没有收敛子列.
定义: 称算子$T$是有限秩算子(fi ...
Hilbert空间中的定理
文中有些定理看起来是一回事, 但考虑到 Hilbert 空间中的基可能是不可数集, 所以相似的定理应当考虑集合基数上的差异.
内积空间Cauchy-Schwarz 不等式定理 (Cauchy-Schwarz 不等式): 设$H$是内积空间, 则对于任何$x,y\in H$, 有
\left|\left(x,y\right)\right|^{2}\le\left(x,x\right)\left(y,y\right).提示
只需证明 $y\neq0$ 时不等式成立. 对于任意 $\lambda\in K$, $K$ 是 $H$ 上的数域, $y\neq0$, 有
(x+\lambda y,x+\lambda y)=(x,x)+2\mathrm{Re}\{(x,y)\overline{\lambda}\}+(y,y)\cdot|\lambda|^{2}.取 $\lambda=-\frac{(x,y)}{(y,y)}$, 则
(x,x)-2\frac{|(x,y)|^{2}}{(y,y)}+\frac{|(x,y)|^{2}}{(y,y)^{2}}(y,y)\geqslant0,因此
|(x,y)|^{2}\leqslant(x,x)\cdot(y,y).
内积与内积诱导出的范数的关系定理: 设$H$是内积空间, $\norm{x}=\sqrt{\left(x,x\right)}$, 则$\norm{\cdot}$是$H$上的一个范数. 这样的范数称为是由内积诱导出的范数.
提示
由内积的定义可知 $\norm{x}=0$ 时, 有 $x=0$. 由于
(\lambda x,\lambda x)=\lambda\overline{\lambda}(x,x)=|\lambda|^{2}(x,x),因此, $\norm{\lambda x}=\sqrt{(\lambda x,\lambda x)}=|\lambda|\sqrt{(x,x)}=|\lambda|\norm{x}$.对于任意 $x,y\in H$, 由 Cauchy-Schwarz 不等式, 有
\begin{align*}
\norm{x+y}^{2} & =(x+y,x+y)=(x,x)+2\mathrm{Re}(x,y)+(y,y)\\
& \le\left(x,x\ri ...
Hilbert空间中的定义
graph LR;
数域-->内积空间;
线性空间-->内积空间;
共轭对称性-->内积空间;
对第一变元的线性-->内积空间;
正定性-->内积空间;
内积-->内积空间;
完备-->Hilbert空间;
内积空间-->Hilbert空间;
内积空间-->正交;
内积空间-->正交和;
线性子空间-->正交和;
内积空间-->正交投影;
线性空间-->凸集;
内积空间-->Fourier系数;
内积空间-->规范正交基;
内积空间-->正交系;
正交系-->规范正交系;
规范正交系-->规范正交基;
规范正交基-->Parseval等式;
内积空间-->Fourier展开式;
内积空间-->同构;
Hilbert空间-->伴随算子;
Hilbert空间-->有界线性算子;
有界线性算子-->伴随算子;
有界线性算子-->自伴算子;
Hilbert空间-->自伴算子;
有界线性算子-->酉算子;
Hilbert空间-->酉算子;
有界线性算子-->正规算子;
Hilbert空间-->正规算子;
有界线性算子-->零空间;
内积空间定义: 设$F$是实数域或复数域, $H$是$F$上的线性空间, 如果对于$H$中任何两个向量$x,y$, 都有一个数$(x,y)\in F$与之对应, 并满足以下条件:
I) 共轭对称性/Hermite性: 对任何$x,y\in H$, $(x,y)=\overline{(y,x)}$;II) 对第一变元的线性: 对任何$x,y,z\in H$及任何数$\alpha,\beta\in F$, 成立$(\alpha x+\beta y,z)=\alpha(x,z)+\beta(y,z)$;III) 正定性: 对于一切$x\in H$, $(x,x)\ge0$, 且$(x,x)=0$当且仅当$x=0$;
称二元函数$(\cdot,\cdot)$是$H$中的内积. 如果$H$上定义了内积, 当$F$是实(或复)数域时, 称$H$为实(或复)内积空间.内积$(\cdot,\cdot)$关于第二变元是共轭线性的, 即对于任何$x,y,z\in H$及任何$\alpha,\beta\in F$, 有
(z ...
