南京师范大学考研数学分析问题合集
2022 年 221. 计算(1). $\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right)^{1/n}$.(2). $\lim_{x\to\infty}\left(\cos\frac{1}{x}\right)^{x^{2}}$.(3). $\int\frac{x\ue^{x}}{(1+x)^{2}}\ud x$.(4). 设$f(x)$可微, $y=f(\ln x)\ue^{f(x)}$, 求$\ud y$.(5). 设$f(x)\in C(\RR)$, 令$F(t)=\int_{1}^{t}\ud y\int_{y}^{t}f(x)\ud x$, 求$F’(t)$.
提示
(1).
1^{1/n}\le\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right)^{1/n}\le n^{1/n}\to1,由迫敛性可知, 极限为$1$.
(2). 做变量替换$\frac{1}{x}=t$, 有
\lim_{x\to\infty}\left(\cos\frac{1}{x}\right)^{x^{2}}=\lim_{t\to0}\left(\cos t\right)^{1/t^{2}},而由洛必达法则可知
\lim_{t\to0}\ln(\cos t)^{1/t^{2}}=\lim_{t\to0}\frac{\ln\cos t}{t^{2}}=\lim_{t\to0}\frac{-\tan t}{2t}=-\frac{1}{2}.于是
\lim_{x\to\infty}\left(\cos\frac{1}{x}\right)^{x^{2}}=\ue^{-\frac{1}{2}}.(3).
\text{原式}=-\int x\ue^{x}\ud\left(\frac{1}{1+x}\right)=-\frac{x\ue^{x}}{1+x}+\int\frac{1}{1+x}\cdot(x+1)\ue^{x}\ud x=\frac{\ue^{x}}{1+x}+C.(4). 直接求导有:
\begin{align*}
\ud y & =\ud\left(f(\ln x)\ue^{f(x)}\right)\\
& =\ud\left(f(\ln x ...
南开大学考研数学分析问题合集
南开大学2012 年1. (15分) 求极限 $\lim_{x\rightarrow\infty}x^{m}\int_{0}^{\frac{1}{x}}\sin t^{2}\mathrm{\ud}t$, 其中 $m$ 为任意整数.
提示
\begin{aligned}
\text { 原式 } & =\lim _{x \rightarrow+\infty} x^m \int_0^{\frac{1}{x}} \sin t^2 \ud t \\
& =\lim _{y \rightarrow 0} \frac{1}{y^m} \int_0^y \sin t^2 \ud t \\
& =\lim _{y \rightarrow 0} \frac{\sin y^2}{m y^{m-1}}
\end{aligned}故:
\text { 原式 }= \begin{cases}0, & m3, m \in \ZZ\end{cases}
2. (20分) 计算积分 $\iint_{D}\sqrt{\left|y-x^{2}\right| }\ud x\mathrm{\ud}y$, 其中 $D=\{(x,y);-1\le x\le1,0\le y\le1\}$.
提示
\begin{aligned}\text { 原式 } & =\iint_D \sqrt{\left|y-x^2\right|} \ud x \ud y \\& =\int_{-1}^1 \ud x \int_{x^2}^1 \sqrt{y-x^2} \ud y+\int_{-1}^1 \ud x \int_0^{x^2} \sqrt{x^2-y} \ud y \\& =\frac{2}{3} \int_{-1}^1\left(1-x^2\right)^{\frac{3}{2}} \ud x+\frac{2}{3} \int_{-1}^1\left(x^2\right)^{\frac{3}{2}} \ud x \\& =\frac{4}{3} \int_0^1\left(1-x^2\right)^{\frac{3}{2}} \ud x+\frac{4}{3} \int_0^1 x^3 \ud x\qquad (\text{令 }x=\sin t) \\& ...
南京大学考研数学分析问题合集
南京大学2023 年1. (10 分) 求极限
\lim_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{5^{\frac{1}{n}}}{n+1}+\frac{5^{\frac{2}{n}}}{n+\frac{1}{2}}+\cdots+\frac{5^{\frac{n}{n}}}{n+\frac{1}{n}}\right).
2. (20 分) (1). (10 分) 设 $C$ 为三维空间中环绕 $z$ 轴一周的光滑简单闭曲线 (与 $z$ 轴无交点), 其定向与 $z$ 轴成右手系, 记
(P, Q, R)=\left(\frac{-y}{x^2+y^2}, \frac{x}{x^2+y^2}, 0\right),求 $\int_C P \ud x+Q \ud y+R \ud z$.(2). (10 分) 设 $S$ 为三维空间中半径为 $R$ 的球面, $\mathbb{R}^3 \backslash\{0\}$ 中光滑向量场
\vec{F}(x, y, z)=f(\|\vec{r}\|) \vec{r},其中 $\vec{r}=(x, y, z)$, $f$ 只依赖于 $|\vec{r}|$, $\vec{n}$ 为 $S$ 上单位外法向量. 若 $\int_S \vec{F} \cdot \vec{n} \ud \sigma$ 不依赖于 $R$, 求证: 存在常数 $C$ 使得
f(\|\vec{r}\|)=C\|\vec{r}\|^{-3}.
3. (15 分) 求 $y=x^2$ 到 $x-y=2$ 距离的最小值.
4. (15 分) 设 $B_1$ 为单位圆, $a, b \in \mathbb{R}$ 且 $a^2+b^2>1$. 求证:
f(a, b)=\iint_{B_1} \ln \left[\left(x_1-a\right)^2+\left(x_2-b\right)^2\right] \mathrm{d} x_1 \ud x_2,只依赖于 $\sqrt{a^2+b^2}$, 并求其值.
5. (15 分) $f(x)$ 在 $(-1,1)$ 上 $2 k+2$ 阶连续可微, $k \in \mathbb{N}$ 满足
f^{(i)}(0)=0,0 \leq i \leq 2 k \t ...
北京大学考研数学分析问题合集
随缘更新解答, 长期更新的博文.
北京大学2021 年哦, 北京大学从2021年之后不再招研究生了. 好耶(x)
2020 年一. (15分) 设$f(x)$在$[a,b]$上上半连续, 即$\forall x_{0}\in[a,b]$皆有上极限$\limsup\limits_{x\to x_{0}}f(x)\le f(x_{0})$. (端点处只考虑单侧极限). 问: $f(x)$在$[a,b]$上必有最大值? 给出证明或举出反例.
提示
上半连续函数在有界闭区间上必有最大值.由$\limsup\limits_{x\to x_{0}}f(x)\le f(x_{0})$知, 对于任意的$\varepsilon>0$, 存在$\delta>0$使得对于任意的$x\in[a,b]$, 当$\left|x-x_{0}\right|<\delta$时, 有
f(x)
