形如$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f(k)$的极限的求法
对于如下类型的极限计算\[\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f(k)\]可采用的计算方法有:
转化为定积分定义计算若$f(k)$能表达成$g\left(\frac{k}{n}\right)$的形式时, 可采用定积分定义计算, 即\[\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}g\left(\frac{k}{n}\right)=\int_{0}^{1}g(x)dx.\]
采用Stolz定理, 转化为计算 $\lim_{n\rightarrow\infty}f(n)$;使用Euler求和公式.
用重积分求解定积分
问题: 求
I=\int_{0}^{1}\frac{x-1}{\ln x}\ud x.提示
I=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}x^{y}\ud y\ud x=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}x^{y}\ud x\ud y=\int_{0}^{1}\frac{1}{y+1}\ud y=\ln(1+y)\mid_{0}^{1}=\ln2.
积分不等式
问题: 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上具有二阶可导, 且 $f(a)=f(b)=0$, $M=\max_{x\in[a,b]}\left|f^{\prime\prime}(x)\right|$, 证明
\left|\int_{a}^{b}f(x)dx\right|\leq\frac{(b-a)^{3}}{12}M.瞎算
\begin{align*}
f(x) & =f'(a)(x-a)+\frac{f''(\xi)}{2}(x-a)^{2}\\
& =f'(b)(x-b)+\frac{f''(\eta)}{2}(x-b)^{2}\\
& =\lambda f'(a)(x-a)+(1-\lambda)f'(b)(x-b)+\lambda\frac{f''(\xi)}{2}(x-a)^{2}+(1-\lambda)\frac{f''(\eta)}{2}(x-b)^{2}
\end{align*}取$\lambda=\frac{f’(b)}{f’(a)+f’(b)}$,
\int_{a}^{b}f(x)dx=\frac{\lambda}{2}\int_{a}^{b}f''(\xi)(x-a)^{2}dx+\frac{1-\lambda}{2}\int_{a}^{b}f''(\eta)(x-b)^{2}dx.
\left|\int_{a}^{b}f(x)dx\right|\le\frac{\lambda}{2}M\int_{a}^{b}(x-a)^{2}dx+\frac{1-\lambda}{2}M\int_{a}^{b}(x-b)^{2}dx=\frac{M(b-a)^{3}}{6}.
提示
\begin{align*}
0=f(a) & =f(x)+f'(x)(a-x)+\frac{f''(\xi)}{2}(a-x)^{2}\\
& =f(x)+f'(x)(b-x)+\frac{f''(\eta)}{2}(b-x)^{2}\\
& =f(x)+\lambda(a-x)f'(x)+(1-\lambda)(b-x)f'(x)+\frac{f''(\xi)}{2}\lambda(a-x)^{2}+\frac{f''(\eta)}{2}(1-\lambda)(b-x)^{2}
\end{align*}取$\lambda=\frac{ ...
多元微积分中的反例
关于每个变量连续的间断函数.\[f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2}\ne0,\\0, & x=y=0.\end{cases}\]
一个二元函数在原点没有极限, 但沿着任一直线逼近原点存在极限.\[f(x,y)=\begin{cases}\frac{x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2}\ne0,\\0, & x=y=0.\end{cases}\]
以下三种极限恰有两个存在且相等的函数\[\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)\quad\lim_{x\to a}\lim_{y\to b}f(x,y),\quad\lim_{y\to b}\lim_{x\to a}f(x,y).\]
(1).\[f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2}\ne0,\\0, & x=y=0.\end{cases}\]
(2).\[f(x,y)=\begin{cases}y+x\sin(1/y), & y\ne0,\\0, & y=0.\end{cases}\]
(3).\[f(x,y)=\begin{cases}x+y\sin(1/x), & x\ne0,\\0, & x=0.\end{cases}\]
以上三种极限恰有一个存在的函数.(1).\[f(x,y)=\begin{cases}x\sin(1/y)+y\sin(1/x), & xy\ne0,\\0, & xy=0.\end{cases}\]
(2).\[f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}+y\sin(1/x), & x\ne0,\\0, & x=0.\end{cases}\]
(3).\[f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}+x\sin(1/y), & y\ne0,\\0, & y=0.\end{cases}\]
累次极限交换次序不相等的函数.\[f(x,y)=\begin{cases}\frac{x^{2 ...
