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这是一个长期建设文章, 目的是展示可以用于学习的数学问题. 对于整个问题的构建, 依循序渐进的方式提出, 通常位于前面的小问题比较简单, 并能够对后面的初见可能难解的问题提供思路. 基于这些原因, 这里将不会提供每一个问题的证明.参考资料的说明: MSExyz 表示 math.stackexchange.com 的问题编号为 xyz. 数学分析一致连续性问题:UASA 证明: (1) 设 $g$ 定义在开区间 $(a,c)$ 上, 在 $(a,b]$ 和 $[b,c)$ 上一致连续, 其中 $a<b<c$. 则 $g$ 在 $(a,c)$ 上一致连续. (2) 设 $f:[0,\infty)\to\RR$ 连续. 如果存在 $b>0$ 使得 $f$ 在 $[b,\infty)$ 上一致连续, 则 $f$ 在 $[0,\infty)$ 上一致连续. (3) 证明 $f(x)=\sqrt{x}$ 在 $[0,\infty)$ 上一致连续. (4) 设 $f:A\to\RR$ 是 Lipschitz 函数, 则 $f$ 在 $A$ 上一致连续. (5) 一致连续函数是否一定是 Lipschitz 函数. 问题:UASA 回顾一致连续的定义, 以及Cantor定理, 即连续函数在紧集上是一致连续函数. 则 (1) 试给出一个 $f:A\to\RR$ 在 $A$ 上一致可微的定义. (2) 判断 $x^{2}$, $x^{2}\sin\frac{1}{x}$ 在 $[0,1]$ 上的一致可微性. (3) 如果函数在闭区间 $[a,b]$ 上可微, 能否推出此函数的一致可微性? 不连续点集问题:UASA参考这里 设 $f:\RR\to\RR$ 为任意给定的函数, (1) 设 $\alpha>0$, $x\in\RR$. 如果存在 $\delta>0$, 使得对于任意的 $y,z\in(x-\delta,x+\delta)$ 有 $|f(y)-f(z)|<\alpha$, 则称 $f$ 在点 $x\in\RR$ 处是 $\alpha$ 连续的. 记 $D_{\alpha}$ 是 $f$ 的所有 $\alpha$ 连续点集的补集, 也即 D_{\alpha}=\{x\in\mathbb{R}:f\text{ 在 }x\text{ ...

笛卡尔叶形线MSE4435438123456789ContourPlot[x^3 + y^3 == 3 x*y, {x, -2, 2}, {y, -2, 2}, Frame -> False(*去除边框*), Axes -> True, Ticks -> {{2^(2/3)}, {}}(*仅添加横坐标的一个刻度*), ContourStyle -> {Thickness[0.007], Dashed, Black}(*等高线样式*), Epilog -> {{Red, Line[{{{-2, 1}, {2, -3}}, {{-2, -2}, {3/2, 3/2}}}]}, {Thickness[0.005], Line[{{2^(2/3), 2^(1/3)}, {2^(2/3), 0}}]}, PointSize[Large], Point[{3/2, 3/2}], Text["(3/2,3/2)", {3/2, 3/2}, {-1.4, -0.5}]}] 12345678910Module[{pt1 = {3/2, 3/2}, pt2 = {2^(2/3), 2^(1/3)}, pt3 = {2^(2/3), 0}}, PolarPlot[ 3 Sin[t] Cos[t]/(Sin[t]^3 + Cos[t]^3), {t, -\[Pi]/4, 7 \[Pi]/4}, PlotRange -> {{-2, 2}, {-2, 5/3}}, PlotStyle -> {Thick ...

记号与定义定义: $p_k$: 通常记为第 $k$ 个素数;$d(n)=\sum_{d\mid n}1$;$\sigma_s(n)=\sum_{d\mid n}d^s$, 从而有 $\sigma_{-s}(n)=\frac{\sigma_s(n)}{n^s}$;$\sigma(n)=\sigma_1(n)=\sum_{d\mid n}d$;$\omega(n)=\sum_{p\mid n}1$;$\varphi(n)$: Euler函数 或 Euler’s totient function;$d_2(n)=d(n)$; $d_k(n)=\sum_{d\mid n}d_{k-1}(d)$, $k\ge 3$;$\pi(x)=\sum_{p\le x}1$;$\theta(x)=\sum_{p\le x}\log p$ 是 Chebyshev 函数;$\mathrm{Li} x=\lim_{\varepsilon\to 0}\left[\int_0^{1-\varepsilon}+\int_{1+\varepsilon}^x\frac{\ud t}{\log t}\right]$ 是对数积分 或 the integral logarithm;$f\ll g$ 或 $g\gg f$ 的意思是 $f=O(g)$;$[x]$: 表示 $x$ 的整数部分, Gauss 函数; 定义: 设 $d(n)$ 是整数 $n$ 的因子数. 称 $n$ 是 highly composite, 如果对于任意的 $m<n$, 都有 $d(m)<d(n)$. 定义: 正整数 $N$ 称为是 superior highly composite numbers, 如果存在 $\varepsilon > 0$ 使得对于所有的 $n$ 有 \frac{d(n)}{n^{\varepsilon}}\le \frac{d(N)}{N^{\varepsilon}}. 结论与命题定理: 对于固定的 $\varepsilon>0$, 有 \lim_{n\to\infty}\frac{d(n)}{n^{\varepsilon}}=0. 定理: The maximal order of $\log d(n)$ is $\frac{\log n \log 2}{\log\log n}$, 即 ...

说明: 这里收集MSE中的部分问题, 问题可能有详细的解答, 也可能不会写的很详细, 但绝对会附上必要的问题来源与可能的参考文献.关于页面中的文献: 部分文献是从MSE的回答或讨论中搜集到的, 部分是按照本人的理解从网络上搜集下来, 一旦我本人理解了就可能不再给出更多的文献.问题末尾可能出现的TODO字样, 是因为对应的问题中存在短时间内不能理解的结论, 或者信息量过大一时整理不出来而做的个人标记, 等待以后时机成熟便于做出补充说明. Q4431616问题: 证明 0\le yz+zx+xy-2xyz\le\frac{7}{27},其中 $x$, $y$ 和 $z$ 是满足 $x+y+z=1$ 的非负实数. 提示 Prove. 设 $p=a+b+c=1$, $q=ab+bc+ca$, $r=abc$, 则 $p^{3}-4pq+9r\ge0$. 使用 three degree Schur a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)\ge0来证明上述不等式. 则 $r\ge\frac{4q-1}{9}$. 命题相当于证明 $q-2r\le\frac{7}{27}$, 即 $q-2r\le q-\frac{8q-2}{9}\le\frac{7}{27}$, $q\le\frac{1}{3}$. 这可以由 $p^{2}\ge3q$ 证得. Q4432417问题: 设 $f(n)=\sum_{\delta\mid n}d(\delta)$, 则可以证明 $f(n)$ 是一个积性函数, 且 $f(p^{k})=\sum_{i=0}^{k}(i+1)=\frac{(k+1)(k+2)}{2}$. 提示 证明: 设 $(m,n)=1$, 则 f(mn) =\sum_{\delta\mid mn}d(\delta)=\sum_{\delta_{1}\mid m,\delta_{2}\mid n,\delta=\delta_{1}\delta_{2}}d(\delta_{1}\delta_{2})=\sum_{\delta_{1}\mid m}\sum_{\delta_{2}\mid n}d(\delta_{1})d(\delta_{2})=f(m)f(n). TODO Q4434804问题: 证明 \sum_{n= ...

lowest terms: 最低项, 最简项, 分数中没有公因子的分子和分母 A common fraction is in lowest terms if the numerator and denominator have no common factors other than $1$. A fraction in lowest terms may also be said to be in simplest form. critical point: 临界点 定义: (càdlàg process)càdlàg process A càdlàg process $X$ is a stochastic process for which the paths $t\mapsto X_t$ are right-continuous with left limits everywhere, with probability one. The word càdlàg is an acronym from the French for “continu à droite, limites à gauche”. 定义: (extreme points)extreme points Let $X$ be a vector space over $\mathbb{R}$, $K$ be a convex subset of $X$. We say that $a$ is an extrem point of $K$ iff, whenever $a=tx+(1-t)y$ for $t\in (0,1)$, we have $x=y=a$. 定义: (scatter plot) a graph in which the values of two variables are plotted along two axes, the pattern of the resulting points revealing any correlation present. 定义: (Hessian Matrix)Hessian Matrix The Hessian matrix of a multivariable function $f(x,y,z,\cdots)$ organi ...