Larry_Eppes's Trivia Collection Site

在一个偶然的瞬间, 发现有些定理的名字在不同人的使用中会有不同的称呼, 所以做这个慢慢收集的文来做一些记录. 初等代数中的定理有理根判别法的名字有: rational root theorem, rational root test, rational zero theorem, rational zero test or p/q theorem.

环2环定义: A ring $R$ is an abelian group with a multiplication operation $(a, b) \rightarrow a b$ that is associative and satisfies the distributive laws: $a(b+c)=a b+a c$ and $(a+b) c=a b+a c$ for all $a, b, c \in R$. We will always assume that $R$ has at least two elements, including a multiplicative identity $1_R$ satisfying $a 1_R=1_R a=a$ for all $a$ in $R$. The multiplicative identity is often written simply as $1$, and the additive identity as $0$. 定义: If $a$ and $b$ are nonzero but $ab=0$, we say that $a$ and $b$ are zero divisors; if $a\in R$ and for some $b\in R$ we have $ab=ba=1$, we say that $a$ is a unit or that $a$ is invertible. 交换环, 整环, 除环, 域, 特征定义: Note that $a b$ need not equal $b a$; if this holds for all $a, b \in R$, we say that $R$ is a commutative ring. An integral domain is a commutative ring with no zero divisors. A division ring or skew field is a ring in which every nonzero element $a$ has a multiplicative inverse $a^{-1}$, (i.e., $a a^{-1}=a^{-1} a=1$). Th ...

问题: 设$\frac{m}{n}\in\QQ^{+}$, 其中$\mathrm{gcd}(m,n)=1$, 设$q_{1},q_{2},\cdots,q_{s}$是$n$的素因子. 则 f\left(\frac{m}{n}\right)=\frac{m^{2}n^{2}}{q_{1}q_{2}\cdots q_{s}}是$\QQ^{+}\to\NN$的双射. 提示 由于$\mathrm{gcd}(m,n)=1$, 所以$m,n$没有公共素因子, 设$m=p_{1}^{\alpha_{1}}\cdots p_{r}^{\alpha_{r}}$, $\alpha_{i}>0$; $n=q_{1}^{\beta_{1}}\cdots q_{s}^{\beta_{s}}$, $\beta_{i}>0$.则 \frac{m^{2}n^{2}}{q_{1}\cdots q_{s}}=p_{1}^{2\alpha_{1}}\cdots p_{r}^{2\alpha_{r}}q_{1}^{2\beta_{1}-1}\cdots q_{s}^{2\beta_{s}-1}\in\NN.而对于任意的自然数$N$, 由算术基本定理, 可以表示素数幂的乘积, 将$N$中素因子出现偶数次的开方, 得到$m$, 将$N$中素因子出现奇数次的每个加一再开方得到$n$. 由算术基本定理分解的唯一性, 知道这样得到的$m,n$也是唯一的. 而不同的自然数$N$, 按照上面操作得到的$m,n$也是不同的, 所以对于任意的$N$, 其在$f$下的原像$\frac{m}{n}$是唯一的. 由此$f$是$\QQ^{+}\to\NN$的双射.

Sylvester-Gallai Theoremcite: For any $n$ points in $\RR^{2}$, not all collinear, there exists a line passing through exactly two of them. Proof: Pick any $2$ points and draw a line $\ell$ through them: suppose a $3$rd point lies on the line (else we are done) and pick the closest point $p\notin\ell$ to the line, at a distance $\delta$say. Of our $3$ points in $\ell$, a pair lies on one side of $p$: draw a line $\ell’$ through $p$ and the furthest of the pair from $p$. The distance $\delta’$ between $\ell’$ and the second point is less than $\delta$. cite. https://math.stackexchange.com/questions/699002 ↩

仅在一点连续的函数仅在一点连续的函数: 设函数$f:\RR\to\RR$定义为 f(x)=\begin{cases} x, & x\in\QQ,\\ -x, & x\notin\QQ, \end{cases}则$f$在$x=0$处连续, 在$x\in\RR\setminus\left\{ 0\right\} $处不连续. 证明 证明: 使用如下关于连续函数的刻画: $f$在点$a\in\RR$处连续, 当且仅当, 对于任意满足$\lim_{k\to\infty}x_{k}=a$的实数列$\left(x_{k}\right)\subseteq\RR$,总有 \lim_{k\to\infty}f(x_{k})=f(a).$f$在$x=0$处连续: 若$x_{k}$收敛于$0$, 则 \lim_{k\to\infty}\left|f(x_{k})\right|=\lim_{k\to\infty}\left|f(x_{k})\right|=\lim_{k\to\infty}\left|x_{k}\right|=0.假设$a\ne0$. 则存在无理数$x_{1},x_{2},\cdots$收敛于$a$. 比如这样的序列$\left(x_{n}\right)_{n}$可以按如下方式构造: 当$a\notin\QQ$时, 取$x_{k}=a+1/k$. 当$a\in\QQ$时, 取$x_{k}=a+\sqrt{2}/k$. 对于这样的序列$\left(x_{n}\right)$, 我们有 \lim_{k\to\infty}f(x_{k})=-\lim_{k\to\infty}x_{k}=-a.另一方面, 可以构造有理数$y_{1},y_{2},\cdots$收敛于$a$. 因为当$a\notin\QQ$时, 用$\QQ$在$\RR$中的稠密性;当$a\in\QQ$时, 取$y_{k}=x_{k}+1/k$. 这时有 \lim_{k\to\infty}f(y_{k})=\lim_{k\to\infty}y_{k}=a.由于$a\ne0$时, $a\ne-a$. 所以$f$在$a$处不连续.

导数极限定理导数极限定理和Darboux介值定理之间还是有区别的, 如果承认下面的定理中函数$f(x)$在$x=x_0$处的可导性, 用Darboux介值定理很容证明极限式子 f'(x_{0})=\lim_{x\to x_{0}}f'(x).但如果不提$f(x)$在$x=x_0$处的可导性, 则只能从拉格朗日中值定理来证明. graph TD; A[拉格朗日中值定理]-->B[导数极限定理]; D[达布介值定理]-->B; 定理: 设函数$f$在点$x_{0}$的某领域$U(x_{0})$内连续, 在$U^{\circ}(x_{0})$内可导, 且极限$\lim_{x\to x_{0}}f’(x)$存在,则$f$在点$x_{0}$可导, 且 f'(x_{0})=\lim_{x\to x_{0}}f'(x).证明: 分别按左右导数给出证明. (1) 任取$x\in U_{+}^{\circ}(x_{0})$, $f(x)$在$[x_{0},x]$上满足拉格朗日定理的条件, 则存在$\xi\in(x_{0},x)$, 使得 \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=f'(\xi).由于$x_{0}<\xi<x$, 所以当$x\to x_{0}^{+}$时, 有$\xi\to x_{0}^{+}$, 对上式两边取极限, 便得 \lim_{x\to x_{0}^{+}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=\lim_{x\to x_{0}^{+}}f'(\xi)=f'(x_{0}+0).(2) 同理可得 f'_{-}(x_{0})=f'(x_{0}-0).因为$\lim_{x\to x_{0}}f’(x)=k$存在, 所以$f’(x_{0}+0)=f’(x_{0}-0)=k$, 从而$f’_{+}(x_{0})=f’_{-}(x_{0})=k$, 即$f’(x_{0})=k$.

书中很多术语看起来挺”外星人”语言的, 按照我初次阅读完的内容理解, 下面定理所说的协调的与现代常说的相容性是一个意思. 阅读需要知道的定义: 句子: 一个合式公式$X$, 若不包含任何变量的自由出现, 就称为一个句子. 合式公式按照以下步骤构造 若$X$是一个原子公式, 则$[X]$是一个合式公式 若$X$和$Y$是合式公式, 则$[\lnot X]$, $[X\lor Y]$, $[X\land Y]$, $[X\supset Y]$, $[X\equiv Y]$是合式公式 若$X$是一个合式公式, 而$y$(代表任意的变量)不在$X$的量词中出现, 也就是说$X$不包含$(\exists y)$或$(\forall y)$, 则$[(\exists y)X]$和$[(\forall y)X]$是合式公式. 前束范式: 在$L$中的一个合式公式$X$, 若$X$是有原子公式先经逻辑连接符(可以没有)再经量词(也可以没有)作用而构成, 则称$X$是前述范式. 协调的: 一个句子集若有一个模型, 就称为协调的. 超滤: 设$D$是$I$的子集族, 且满足: (i) $\varnothing\notin D$; (ii) 若$A\in D$, $B\in D$, 则$A\cap B\in D$; (iii) 若$A\in D$且$A\subset B\subset I$, 则$B\in D$; (iv) 若任何$A\subset I$, 或者有$A\in D$或者有$I-A\in D$. 则称$D$是$I$上的一个超滤(ultrafilter). 或说是$I$的子集族组成的Boole代数中的极大对偶理想. graph LR; A[合式公式]-->|先经逻辑连接符再经量词作用成|E[前束范式]; F[原子公式]-->|加括号,逻辑连接词,量词|A; A-->|不出现任何变量|B[句子]; B-->|有模型的句子集|G[协调的]; 定理: 令$K$是一个句子集, 若$K$的每个有穷子集是协调的, 则$K$是协调的. 证明: Step 1: 不妨设$K$的一切句子都是前束范式, 否则用前束范式定理将相应的句子替换为等价的前束范式的句子, 得到新的句子集$K_{0}$. 若$K$的每个有穷子集是协调的, 且$K_{0}’$是$K_{0}$的一个有 ...

gitgit status显示中文为Unicode编码, 但git bash环境中文显示正常的解决方案如下.123456789101112$ git statusOn branch basictopoUntracked files: (use "git add <file>..." to include in what will be committed) "todo/[\345\260\244\346\211\277\344\270\232]\345\237\272\347\241\200\346\213\223\346\211\221\345\255\246\350\256\262\344\271\211_LT(2).pdf"# 配置git的全局环境$ git config --global core.quotepath false$ git statusOn branch basictopoUntracked files: (use "git add <file>..." to include in what will be committed) todo/[尤承业]基础拓扑学讲义_LT(2).pdf latex在 texstudio 中使用一些自定义主题或包的时候, 一般自定义的内容复杂起来就会有比较多的 .sty 文件和源文件在一个目录中. 为了能在 texstudio 中创建模板, 在没有这些 .sty 文件的时候是不需要做任何额外的操作的. 但是一旦依赖有其他自定义的 .sty 文件, 虽然创建模板的时候不会出问题, 但是当使用这个新创建的模板时, 由于新建的文档目录中找不到 .sty 文件而报错. 当然可以通过把所需的所有 .sty 都拷贝到新建文档目录中来解决问题, 但这就丧失了从模板创建新文档的便捷. 所以找来了以下的解决方案. 首先打开系统终端 powershell, 输入 12$ kpsewhich -var-value=TEXMFHOMEC:/Users/math/texmf 它会返回一个 latex 编译器查找 .sty 文件的一个默认家目录, 如果系统没有这个目录则创建它. 然后在创建模板时, 把需要的 .sty 文件全部 ...

广义超几何级数的定义广义超几何级数的定义是 _{p}F_{q}\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{p};\gamma_{1},\gamma_{2},\cdots,\gamma_{q};z\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\alpha_{1})_{n}(\alpha_{2})_{n}\cdots(\alpha_{p})_{n}}{n!(\gamma_{1})_{n}(\gamma_{2})_{n}\cdots(\gamma_{q})_{n}}z^{n},其中$(\alpha)_{n}=\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)\cdots(\alpha+n-1)$为$\alpha$的升$n$阶乘. 关于公式的记忆, 首先对于一般级数 f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(z),如果已知$c_{0}=\color{red}{\alpha}$, \frac{c_{n+1}(z)}{c_{n}(z)}=\frac{({\color{blue}{ \alpha_{1} }}+n)({\color{blue}{ \alpha_{2} }}+n)\cdots({\color{blue}{ \alpha_{p} }}+n)}{({\color{green}{ \gamma_{1} }}+n)\cdots({\color{green}{ \gamma_{q} }}+n)}\frac{z}{(n+1)},则$f(z)$有表示 f(z)={\color{red}{\alpha}}\cdot{}_{p}F_{q}\left({\color{blue}{ \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{p} }};{\color{green}{ \gamma_{1},\gamma_{2},\cdots,\gamma_{q} }};z\right).

这是一个长期建设问题集, 其中引文格式MSE4469237表示的意思是math.stackexchange.com中的问题编号为4469237 问题: MSE4469237 设$A$为$\QQ$的任意子集, 函数$f(x)=\frac{1}{x(x-1)}$, 对于任意两个集合$A,B$, A+B=\left\{ a+b:a\in A,\ b\in B\right\} .按以下规则递归的定义$S_{n}[A]$: $S_{0}[A]=A+\ZZ$; $S_{n+1}[A]=S_{n}[A]\cup\left(f(S_{n}[A]\setminus\{0,1\})+\ZZ\right)$. 定义 S[A]\coloneqq\bigcup_{n=0}^{\infty}S_{n}[A];\qquad U=f(\QQ\setminus\{0,1\})+\ZZ.证明或否定以下结论: 对于任何素数$p>3$, $\frac{2}{p}\not\in U$; $\frac{2}{3}\in U$; 对于任何素数$p$, $1<r<p-1$, $\frac{r}{p}\not\in U$; $S[\{0\}]=U$; (hint: 取$x=\frac{2}{13}\not\in U$知$-\frac{15}{22}\in S[x]\subseteq U$,但是$-\frac{15}{22}\not\in S[\{0\}]$); $S[U^{c}]=\QQ$. hint: 任取$\frac{r}{s}\in\QQ$, 只需要考虑$\frac{r}{s}\in U$的情况, 此时存在$\frac{a}{b}\in\QQ$,$k\in\ZZ$使得 f\left(\frac{a}{b}\right)=\frac{b^{2}}{a(a-b)}=\frac{r}{s}+k=\frac{r+ks}{s},利用$(a,b)=1$, $(r,s)=1$, 得到$\left|a(a-b)\right|=\left|s\right|$.所以 \left|b\right|=\left|b-a+a\right|\le\left|b-a\right|+\left|a\right|\le\left|(b-a)a\right|=\left|s\right|,\qu ...