Larry_Eppes's Trivia Collection Site

导数极限定理导数极限定理和Darboux介值定理之间还是有区别的, 如果承认下面的定理中函数$f(x)$在$x=x_0$处的可导性, 用Darboux介值定理很容证明极限式子 f'(x_{0})=\lim_{x\to x_{0}}f'(x).但如果不提$f(x)$在$x=x_0$处的可导性, 则只能从拉格朗日中值定理来证明. graph TD; A[拉格朗日中值定理]-->B[导数极限定理]; D[达布介值定理]-->B; 定理: 设函数$f$在点$x_{0}$的某领域$U(x_{0})$内连续, 在$U^{\circ}(x_{0})$内可导, 且极限$\lim_{x\to x_{0}}f’(x)$存在,则$f$在点$x_{0}$可导, 且 f'(x_{0})=\lim_{x\to x_{0}}f'(x).证明: 分别按左右导数给出证明. (1) 任取$x\in U_{+}^{\circ}(x_{0})$, $f(x)$在$[x_{0},x]$上满足拉格朗日定理的条件, 则存在$\xi\in(x_{0},x)$, 使得 \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=f'(\xi).由于$x_{0}<\xi<x$, 所以当$x\to x_{0}^{+}$时, 有$\xi\to x_{0}^{+}$, 对上式两边取极限, 便得 \lim_{x\to x_{0}^{+}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=\lim_{x\to x_{0}^{+}}f'(\xi)=f'(x_{0}+0).(2) 同理可得 f'_{-}(x_{0})=f'(x_{0}-0).因为$\lim_{x\to x_{0}}f’(x)=k$存在, 所以$f’(x_{0}+0)=f’(x_{0}-0)=k$, 从而$f’_{+}(x_{0})=f’_{-}(x_{0})=k$, 即$f’(x_{0})=k$.

书中很多术语看起来挺”外星人”语言的, 按照我初次阅读完的内容理解, 下面定理所说的协调的与现代常说的相容性是一个意思. 阅读需要知道的定义: 句子: 一个合式公式$X$, 若不包含任何变量的自由出现, 就称为一个句子. 合式公式按照以下步骤构造 若$X$是一个原子公式, 则$[X]$是一个合式公式 若$X$和$Y$是合式公式, 则$[\lnot X]$, $[X\lor Y]$, $[X\land Y]$, $[X\supset Y]$, $[X\equiv Y]$是合式公式 若$X$是一个合式公式, 而$y$(代表任意的变量)不在$X$的量词中出现, 也就是说$X$不包含$(\exists y)$或$(\forall y)$, 则$[(\exists y)X]$和$[(\forall y)X]$是合式公式. 前束范式: 在$L$中的一个合式公式$X$, 若$X$是有原子公式先经逻辑连接符(可以没有)再经量词(也可以没有)作用而构成, 则称$X$是前述范式. 协调的: 一个句子集若有一个模型, 就称为协调的. 超滤: 设$D$是$I$的子集族, 且满足: (i) $\varnothing\notin D$; (ii) 若$A\in D$, $B\in D$, 则$A\cap B\in D$; (iii) 若$A\in D$且$A\subset B\subset I$, 则$B\in D$; (iv) 若任何$A\subset I$, 或者有$A\in D$或者有$I-A\in D$. 则称$D$是$I$上的一个超滤(ultrafilter). 或说是$I$的子集族组成的Boole代数中的极大对偶理想. graph LR; A[合式公式]-->|先经逻辑连接符再经量词作用成|E[前束范式]; F[原子公式]-->|加括号,逻辑连接词,量词|A; A-->|不出现任何变量|B[句子]; B-->|有模型的句子集|G[协调的]; 定理: 令$K$是一个句子集, 若$K$的每个有穷子集是协调的, 则$K$是协调的. 证明: Step 1: 不妨设$K$的一切句子都是前束范式, 否则用前束范式定理将相应的句子替换为等价的前束范式的句子, 得到新的句子集$K_{0}$. 若$K$的每个有穷子集是协调的, 且$K_{0}’$是$K_{0}$的一个有 ...

gitgit status显示中文为Unicode编码, 但git bash环境中文显示正常的解决方案如下.123456789101112$ git statusOn branch basictopoUntracked files: (use "git add <file>..." to include in what will be committed) "todo/[\345\260\244\346\211\277\344\270\232]\345\237\272\347\241\200\346\213\223\346\211\221\345\255\246\350\256\262\344\271\211_LT(2).pdf"# 配置git的全局环境$ git config --global core.quotepath false$ git statusOn branch basictopoUntracked files: (use "git add <file>..." to include in what will be committed) todo/[尤承业]基础拓扑学讲义_LT(2).pdf latex在 texstudio 中使用一些自定义主题或包的时候, 一般自定义的内容复杂起来就会有比较多的 .sty 文件和源文件在一个目录中. 为了能在 texstudio 中创建模板, 在没有这些 .sty 文件的时候是不需要做任何额外的操作的. 但是一旦依赖有其他自定义的 .sty 文件, 虽然创建模板的时候不会出问题, 但是当使用这个新创建的模板时, 由于新建的文档目录中找不到 .sty 文件而报错. 当然可以通过把所需的所有 .sty 都拷贝到新建文档目录中来解决问题, 但这就丧失了从模板创建新文档的便捷. 所以找来了以下的解决方案. 首先打开系统终端 powershell, 输入 12$ kpsewhich -var-value=TEXMFHOMEC:/Users/math/texmf 它会返回一个 latex 编译器查找 .sty 文件的一个默认家目录, 如果系统没有这个目录则创建它. 然后在创建模板时, 把需要的 .sty 文件全部 ...

广义超几何级数的定义广义超几何级数的定义是 _{p}F_{q}\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{p};\gamma_{1},\gamma_{2},\cdots,\gamma_{q};z\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\alpha_{1})_{n}(\alpha_{2})_{n}\cdots(\alpha_{p})_{n}}{n!(\gamma_{1})_{n}(\gamma_{2})_{n}\cdots(\gamma_{q})_{n}}z^{n},其中$(\alpha)_{n}=\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)\cdots(\alpha+n-1)$为$\alpha$的升$n$阶乘. 关于公式的记忆, 首先对于一般级数 f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(z),如果已知$c_{0}=\color{red}{\alpha}$, \frac{c_{n+1}(z)}{c_{n}(z)}=\frac{({\color{blue}{ \alpha_{1} }}+n)({\color{blue}{ \alpha_{2} }}+n)\cdots({\color{blue}{ \alpha_{p} }}+n)}{({\color{green}{ \gamma_{1} }}+n)\cdots({\color{green}{ \gamma_{q} }}+n)}\frac{z}{(n+1)},则$f(z)$有表示 f(z)={\color{red}{\alpha}}\cdot{}_{p}F_{q}\left({\color{blue}{ \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{p} }};{\color{green}{ \gamma_{1},\gamma_{2},\cdots,\gamma_{q} }};z\right).

这是一个长期建设问题集, 其中引文格式MSE4469237表示的意思是math.stackexchange.com中的问题编号为4469237 问题: MSE4469237 设$A$为$\QQ$的任意子集, 函数$f(x)=\frac{1}{x(x-1)}$, 对于任意两个集合$A,B$, A+B=\left\{ a+b:a\in A,\ b\in B\right\} .按以下规则递归的定义$S_{n}[A]$: $S_{0}[A]=A+\ZZ$; $S_{n+1}[A]=S_{n}[A]\cup\left(f(S_{n}[A]\setminus\{0,1\})+\ZZ\right)$. 定义 S[A]\coloneqq\bigcup_{n=0}^{\infty}S_{n}[A];\qquad U=f(\QQ\setminus\{0,1\})+\ZZ.证明或否定以下结论: 对于任何素数$p>3$, $\frac{2}{p}\not\in U$; $\frac{2}{3}\in U$; 对于任何素数$p$, $1<r<p-1$, $\frac{r}{p}\not\in U$; $S[\{0\}]=U$; (hint: 取$x=\frac{2}{13}\not\in U$知$-\frac{15}{22}\in S[x]\subseteq U$,但是$-\frac{15}{22}\not\in S[\{0\}]$); $S[U^{c}]=\QQ$. hint: 任取$\frac{r}{s}\in\QQ$, 只需要考虑$\frac{r}{s}\in U$的情况, 此时存在$\frac{a}{b}\in\QQ$,$k\in\ZZ$使得 f\left(\frac{a}{b}\right)=\frac{b^{2}}{a(a-b)}=\frac{r}{s}+k=\frac{r+ks}{s},利用$(a,b)=1$, $(r,s)=1$, 得到$\left|a(a-b)\right|=\left|s\right|$.所以 \left|b\right|=\left|b-a+a\right|\le\left|b-a\right|+\left|a\right|\le\left|(b-a)a\right|=\left|s\right|,\qu ...

这是一个长期建设文章, 目的是展示可以用于学习的数学问题. 对于整个问题的构建, 依循序渐进的方式提出, 通常位于前面的小问题比较简单, 并能够对后面的初见可能难解的问题提供思路. 基于这些原因, 这里将不会提供每一个问题的证明.参考资料的说明: MSExyz 表示 math.stackexchange.com 的问题编号为 xyz. 数学分析一致连续性问题:UASA 证明: (1) 设 $g$ 定义在开区间 $(a,c)$ 上, 在 $(a,b]$ 和 $[b,c)$ 上一致连续, 其中 $a<b<c$. 则 $g$ 在 $(a,c)$ 上一致连续. (2) 设 $f:[0,\infty)\to\RR$ 连续. 如果存在 $b>0$ 使得 $f$ 在 $[b,\infty)$ 上一致连续, 则 $f$ 在 $[0,\infty)$ 上一致连续. (3) 证明 $f(x)=\sqrt{x}$ 在 $[0,\infty)$ 上一致连续. (4) 设 $f:A\to\RR$ 是 Lipschitz 函数, 则 $f$ 在 $A$ 上一致连续. (5) 一致连续函数是否一定是 Lipschitz 函数. 问题:UASA 回顾一致连续的定义, 以及Cantor定理, 即连续函数在紧集上是一致连续函数. 则 (1) 试给出一个 $f:A\to\RR$ 在 $A$ 上一致可微的定义. (2) 判断 $x^{2}$, $x^{2}\sin\frac{1}{x}$ 在 $[0,1]$ 上的一致可微性. (3) 如果函数在闭区间 $[a,b]$ 上可微, 能否推出此函数的一致可微性? 不连续点集问题:UASA参考这里 设 $f:\RR\to\RR$ 为任意给定的函数, (1) 设 $\alpha>0$, $x\in\RR$. 如果存在 $\delta>0$, 使得对于任意的 $y,z\in(x-\delta,x+\delta)$ 有 $|f(y)-f(z)|<\alpha$, 则称 $f$ 在点 $x\in\RR$ 处是 $\alpha$ 连续的. 记 $D_{\alpha}$ 是 $f$ 的所有 $\alpha$ 连续点集的补集, 也即 D_{\alpha}=\{x\in\mathbb{R}:f\text{ 在 }x\text{ ...

由于此博文会是长期增长建设的类型, 问题不会提供具体解答, 只会提供相应的文献索引和方法上的描述. 初等不等式问题: (均值不等式) 任意 $n$ 个非负实数的几何平均值小于或等于它们的算术平均值. 即 $\forall a_{i} \geqslant 0$, ($i=1,2, \cdots, n$) 恒有 \sqrt[n]{a_{1} \cdot a_{2} \cdot \cdots \cdot a_{n}} \leqslant \frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n},且其中的等号当且仅当 $a_{1}=a_{2}=\cdots=a_{n}$ 时成立. 倒序归纳法: 1 例1.1.7;Lagrange乘数法: 1 例1.1.7. 极限数列极限问题: 证明: 数列 $x_{n}=1+2+\cdots+\frac{1}{n}-\ln n$, ($n=1, 2, \cdots$), 单调下降有界, 从而有极限 (此极限称为 Euler 常数, 记作 $C$.) 单调有界法: 1 例1.2.11;Lagrange中值: 1 例1.3.17. Reference 1. 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法. 高等教育出版社, 1993. ↩

这里主要收录读书过程中因为证明过程的逻辑漏洞导致的各种障碍, 其中不免会有错误证明或者错误结论. 收录学科方向不限, 会指明出处, 并尽可能给出版次. 问题1: 设$f(x)$是$\RR$上的有界实函数, 且 f\left(x+\frac{13}{42}\right)+f(x)=f\left(x+\frac{1}{6}\right)+f\left(x+\frac{1}{7}\right),\qquad\forall x\in\RR.试求出$f$的较小的正周期. 原证明 反例的构造 错误点: 方程化为 f\left(x+\frac{1}{6}\right)-f(x)=f\left(x+\frac{13}{42}\right)-f\left(x+\frac{1}{7}\right),记$F(x)=f\left(x+\frac{1}{6}\right)-f(x)$, 则$F$有周期$T=\frac{1}{7}$.但证明过程中不应当能得到 f(x+nT)=\sum_{i=0}^{n-1}F(x+iT)+f(x)=nF(x)+f(x)不然, 将能够证明$f$有周期$\frac{1}{42}$. 同样的方法可以证明 f(x+1)-f(x)=\sum_{k=0}^{5}F\left(x+\frac{k}{6}\right),如果记上式右边为$H(x)$, 则可以证明$H(x)$有周期$1$, 从而由$f$的有界性, $H$恒为零. $f$也有周期为$1$. 现在需要给出反例说明, 存在函数$f$的最小正周期为$1$, 而不能是$\frac{1}{42}$, 这样就从根本上推翻了上面的证明,而不是因为没能理解, 可能结论仍是对的的嫌疑. 由于已经证明了$f$有周期$1$, 所以只要在$[0,1]$上考虑问题. 将$[0,1]$区间分成$42$份, 每份上附上一个未知数, 如下 f(x)=a_{i},\qquad0\le\frac{i}{42}\le x\le\frac{i+1}{42}\le1.12345678910111213141516(f[#/42] = a[#]) & /@ Range[0, 41];(*根据方程建立恒等式*)d1 = Table[ f[i/42 + 1/6] - f[i/42] - f[i/42 + 13/42 ...

定理: Euler求和公式: 设函数$f\in C^1[0,+\infty)$, 则有 \begin{align*} \sum_{k=1}^{n}f(k) & =\int_{0}^{n}f(x)\ud x+\frac{f(n)-f(0)}{2}+\int_{0}^{n}\left\langle x\right\rangle f'(x)\ud x\\ & =\int_{1}^{n}f(x)\ud x+\frac{f(n)+f(1)}{2}+\int_{1}^{n}\left\langle x\right\rangle f'(x)\ud x \end{align*}其中$\left\langle x\right\rangle =\left\{ x\right\} -\frac{1}{2}$. 证明: 使用RS积分, 由于 \ud[x]=\sum_{k\in\mathrm{Dom}(x)}\delta(x-k)\ud x,所以 \begin{align*} \sum_{k=1}^{n}f(k) & =\int_{0+}^{n+}f(x)\ud[x]\\ & =\int_{0}^{n}f(x)\ud x-\int_{0+}^{n+}f(x)\ud\left\{ x\right\} \\ & =\int_{0}^{n}f(x)\ud x-\int_{0+}^{n+}f(x)\ud\left(\left\{ x\right\} -\frac{1}{2}\right)\\ & =\int_{0}^{n}f(x)\ud x-\left\langle x\right\rangle f(x)\mid_{0+}^{n+}+\int_{0+}^{n+}\left\langle x\right\rangle f'(x)\ud x\\ & =\int_{0}^{n}f(x)\ud x+\frac{f(n)-f(0)}{2}+\int_{0}^{n}\left\langle x\right\rangle f'(x)\ud x. \end{align*} 通常的证法: 将区间$[0,n]$划分为长度为$1$的小区间$[k-1,k]$, ($k=1,2,\cdots,n$), 则 \int_{k-1}^{k}\left\langle x\right\rangle f'(x) ...

事件与概率定义: 在一定条件下, 必然发生或者必然不发生, 这种现象称为确定性现象. 必然会发生的现象称为必然现象. 必然不会发生的现象, 称为不可能现象. 在一定条件下, 并不总出现相同的结果, 但在大量重复试验中, 结果具有统计性规律的现象, 称为随机现象. 确定性现象的特征: 条件完全决定结果.随机现象的特征: 条件不能完全决定结果. 定义: 对随机现象的观测或实验称为试验. 有以下特点: 试验可以在相同条件下重复进行; 试验的所有可能结果是事前已知且结果不止一种; 在每次试验中, 结果是事先无法确定的. 把有这三个特点的试验称为随机试验, 简称试验. 通常用字母$E$表示.随机试验$E$的每一个可能的结果称为$E$的一个样本点, 一般用$\omega$表示.$E$的所有样本点所组成的集合称为$E$的样本空间, 记为$\Omega$. 定义: 随机现象的结果称为随机事件, 简称事件.关于事件, 要注意以下几点 任一事件是相应样本空间的一个子集; 事件发生当且仅当它所包含的某一样本点发生; 事件可以用集合表示, 也可以用文字语言表示, 甚至还可以用随机变量表示. 两个特殊的事件: 样本空间$\Omega$的最大子集, 称为必然事件. 样本空间$\Omega$的最小子集$\emptyset$, 称为不可能事件. 定义: 事件间的关系: 包含: 事件$A$发生必然导致事件$B$发生, 则称事件$B$包含事件$A$, 记为$A\subset B$. 相等: 若事件$A$与事件$B$中任一事件发生必然导致另一事件发生, 则称事件$A$与事件$B$相等, 记为$A=B$. 互不相容: 若事件$A$与事件$B$不能同时发生, 则称事件$A$与事件$B$是互不相容的(互斥的). 事件间的运算 并: 有限并, 可列并 交: 有限交, 可列交 差: “事件$A$发生而事件$B$不发生”, 称为事件$A$与事件$B$的差, 记为$A-B$. 必然事件$\Omega$对任一事件$A$的差$\Omega-A$称为事件$A$的对立事件, 记为$\overline{A}$. 事件的运算性质 交换律: $A\cup B=B\cup A$, $AB=BA$; 结合律: $(A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)$, $(AB)C=A(BC) ...