Larry_Eppes's Trivia Collection Site

反证法+整数的性质定理: 若$a$和$b$为正整数, 则$a^{1/b}$要么是无理数, 要么是整数. 提示 若$a^{1/b}=x/y$, 其中$y\not\mid x$, 则$a=\left(a^{1/b}\right)^{b}=x^{b}/y^{b}$不是整数, (因为$y^{b}\not\mid x^{b}$), 这与$a$是整数矛盾. 反证法+唯一因子分解假设$\sqrt{2}$可以写成不可约分数$\frac{p}{q}$, 其中$p,q$都是正整数. 则$2q^{2}=p^{2}$. 由于$p^{2}$和$q^{2}$的因子$2$都是偶数个, 所以$2q^{2}$有奇数个因子$2$, 由于唯一因子分解的唯一性, $p^{2}$只有偶数个因子$2$, 它不可能等于$p^{2}$. 反证法+余数如果$\sqrt{2}$是有理数, 则有分数表示$a/b$, 取$b$是$\sqrt{2}$的分数表示中分母最小的. 则 a^{2}=2b^{2}.考虑$a^{2}$的末位数字, 它只可能是$0,1,4,5,6,9$中的一个. 而$2b^{2}$的末位数字只有$0,2,8$三种情况. 如果$a^{2}$与$2b^{2}$相等, 则它们有相同的末位数, 这个末位数只能是$0$. 所以$a$的末位数字只能是$0$, 而$b$的末位数字只能是$0$或$5$, 无论哪种情况, $a$和$b$都能被$5$整除, 从而$\frac{a/5}{b/5}$也是$\sqrt{2}$的分数表示. 因为$b/5<b$, 这与$b$是$\sqrt{2}$的分数表示中分母最小的选择矛盾. 这种方法在证明$2^{1/3}$的无理性时变得简洁. 设$2^{1/3}$是既约分数$a/b$, 则$2a^{3}=b^{3}$, 考虑模7同余, 由于整数的立方模7同余的结果只有$0,1$或$6$, 因此$a,b$模7必然均为$0$, 这与$a/b$是既约分数矛盾. 反证法+Bezout公式$\sqrt{2}$是无理数的证明是下面定理的推论. 定理: 对于$n\in\NN$. 如果$r=\sqrt{n}$是有理数, 则$r$是整数. 提示 设$r=a/b$为有理数, 其中$\mathrm{gcd}(a,b)=1$, 则有Bezout公式, 存在整数$c,d\in\ZZ$, ...

Problem 23A perfect number is a number for which the sum of its proper divisors is exactly equal to the number. For example, the sum of the proper divisors of $28$ would be $1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28$, which means that $28$ is a perfect number. A number $n$ is called deficient if the sum of its proper divisors is less than $n$ and it is called abundant if this sum exceeds $n$. As $12$ is the smallest abundant number, $1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16$, the smallest number that can be written as the sum of two abundant numbers is $24$. By mathematical analysis, it can be shown that all integers greater than $28123$ can be written as the sum of two abundant numbers. However, this upper limit cannot be reduced any further by analysis even though it is known that the greatest number that cannot be expressed as the sum of two abundant numbers is less than this limit. Find the sum of all the positive integers which cannot be written as the sum of two abundant numbers. 123456abundant = Select[Range[28123 ...

定理: 若$f(x)=f_nx^n+\cdots+f_0$是整系数多项式, $f_i\in\ZZ$且$f(x)$有有理根$x=a/b$, 其中$\mathrm{gcd}(a,b)=1$, 则$a\mid f_0$且$b\mid f_n$. 证明 根据条件 0=f(a/b)\Longrightarrow 0=b^{n}f(a/b)=f_{n}a^{n}+f_{n-1}a^{n-1}b+\cdots+f_{1}ab^{n-1}+f_{0}b^{n},因此 (\overbrace{f_{n}a^{n-1}+f_{n-1}a^{n-2}b+\cdots+f_{1}b^{n-1}}^{\text{an integer}})a=-f_{0}b^{n},所以由$\mathrm{gcd}(a,b)=1$, 有 $a\left|b^{n}f_{0}\Longrightarrow a\right|f_{0}$. 同理, $b\mid a^{n}f_{n}\Longrightarrow b\mid f_{n}$.

在一个偶然的瞬间, 发现有些定理的名字在不同人的使用中会有不同的称呼, 所以做这个慢慢收集的文来做一些记录. 初等代数中的定理有理根判别法的名字有: rational root theorem, rational root test, rational zero theorem, rational zero test or p/q theorem.

环2环定义: A ring $R$ is an abelian group with a multiplication operation $(a, b) \rightarrow a b$ that is associative and satisfies the distributive laws: $a(b+c)=a b+a c$ and $(a+b) c=a b+a c$ for all $a, b, c \in R$. We will always assume that $R$ has at least two elements, including a multiplicative identity $1_R$ satisfying $a 1_R=1_R a=a$ for all $a$ in $R$. The multiplicative identity is often written simply as $1$, and the additive identity as $0$. 定义: If $a$ and $b$ are nonzero but $ab=0$, we say that $a$ and $b$ are zero divisors; if $a\in R$ and for some $b\in R$ we have $ab=ba=1$, we say that $a$ is a unit or that $a$ is invertible. 交换环, 整环, 除环, 域, 特征定义: Note that $a b$ need not equal $b a$; if this holds for all $a, b \in R$, we say that $R$ is a commutative ring. An integral domain is a commutative ring with no zero divisors. A division ring or skew field is a ring in which every nonzero element $a$ has a multiplicative inverse $a^{-1}$, (i.e., $a a^{-1}=a^{-1} a=1$). Th ...

问题: 设$\frac{m}{n}\in\QQ^{+}$, 其中$\mathrm{gcd}(m,n)=1$, 设$q_{1},q_{2},\cdots,q_{s}$是$n$的素因子. 则 f\left(\frac{m}{n}\right)=\frac{m^{2}n^{2}}{q_{1}q_{2}\cdots q_{s}}是$\QQ^{+}\to\NN$的双射. 提示 由于$\mathrm{gcd}(m,n)=1$, 所以$m,n$没有公共素因子, 设$m=p_{1}^{\alpha_{1}}\cdots p_{r}^{\alpha_{r}}$, $\alpha_{i}>0$; $n=q_{1}^{\beta_{1}}\cdots q_{s}^{\beta_{s}}$, $\beta_{i}>0$.则 \frac{m^{2}n^{2}}{q_{1}\cdots q_{s}}=p_{1}^{2\alpha_{1}}\cdots p_{r}^{2\alpha_{r}}q_{1}^{2\beta_{1}-1}\cdots q_{s}^{2\beta_{s}-1}\in\NN.而对于任意的自然数$N$, 由算术基本定理, 可以表示素数幂的乘积, 将$N$中素因子出现偶数次的开方, 得到$m$, 将$N$中素因子出现奇数次的每个加一再开方得到$n$. 由算术基本定理分解的唯一性, 知道这样得到的$m,n$也是唯一的. 而不同的自然数$N$, 按照上面操作得到的$m,n$也是不同的, 所以对于任意的$N$, 其在$f$下的原像$\frac{m}{n}$是唯一的. 由此$f$是$\QQ^{+}\to\NN$的双射.

Sylvester-Gallai Theoremcite: For any $n$ points in $\RR^{2}$, not all collinear, there exists a line passing through exactly two of them. Proof: Pick any $2$ points and draw a line $\ell$ through them: suppose a $3$rd point lies on the line (else we are done) and pick the closest point $p\notin\ell$ to the line, at a distance $\delta$say. Of our $3$ points in $\ell$, a pair lies on one side of $p$: draw a line $\ell’$ through $p$ and the furthest of the pair from $p$. The distance $\delta’$ between $\ell’$ and the second point is less than $\delta$. cite. https://math.stackexchange.com/questions/699002 ↩

仅在一点连续的函数仅在一点连续的函数: 设函数$f:\RR\to\RR$定义为 f(x)=\begin{cases} x, & x\in\QQ,\\ -x, & x\notin\QQ, \end{cases}则$f$在$x=0$处连续, 在$x\in\RR\setminus\left\{ 0\right\} $处不连续. 证明 证明: 使用如下关于连续函数的刻画: $f$在点$a\in\RR$处连续, 当且仅当, 对于任意满足$\lim_{k\to\infty}x_{k}=a$的实数列$\left(x_{k}\right)\subseteq\RR$,总有 \lim_{k\to\infty}f(x_{k})=f(a).$f$在$x=0$处连续: 若$x_{k}$收敛于$0$, 则 \lim_{k\to\infty}\left|f(x_{k})\right|=\lim_{k\to\infty}\left|f(x_{k})\right|=\lim_{k\to\infty}\left|x_{k}\right|=0.假设$a\ne0$. 则存在无理数$x_{1},x_{2},\cdots$收敛于$a$. 比如这样的序列$\left(x_{n}\right)_{n}$可以按如下方式构造: 当$a\notin\QQ$时, 取$x_{k}=a+1/k$. 当$a\in\QQ$时, 取$x_{k}=a+\sqrt{2}/k$. 对于这样的序列$\left(x_{n}\right)$, 我们有 \lim_{k\to\infty}f(x_{k})=-\lim_{k\to\infty}x_{k}=-a.另一方面, 可以构造有理数$y_{1},y_{2},\cdots$收敛于$a$. 因为当$a\notin\QQ$时, 用$\QQ$在$\RR$中的稠密性;当$a\in\QQ$时, 取$y_{k}=x_{k}+1/k$. 这时有 \lim_{k\to\infty}f(y_{k})=\lim_{k\to\infty}y_{k}=a.由于$a\ne0$时, $a\ne-a$. 所以$f$在$a$处不连续.

导数极限定理导数极限定理和Darboux介值定理之间还是有区别的, 如果承认下面的定理中函数$f(x)$在$x=x_0$处的可导性, 用Darboux介值定理很容证明极限式子 f'(x_{0})=\lim_{x\to x_{0}}f'(x).但如果不提$f(x)$在$x=x_0$处的可导性, 则只能从拉格朗日中值定理来证明. graph TD; A[拉格朗日中值定理]-->B[导数极限定理]; D[达布介值定理]-->B; 定理: 设函数$f$在点$x_{0}$的某领域$U(x_{0})$内连续, 在$U^{\circ}(x_{0})$内可导, 且极限$\lim_{x\to x_{0}}f’(x)$存在,则$f$在点$x_{0}$可导, 且 f'(x_{0})=\lim_{x\to x_{0}}f'(x).证明: 分别按左右导数给出证明. (1) 任取$x\in U_{+}^{\circ}(x_{0})$, $f(x)$在$[x_{0},x]$上满足拉格朗日定理的条件, 则存在$\xi\in(x_{0},x)$, 使得 \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=f'(\xi).由于$x_{0}<\xi<x$, 所以当$x\to x_{0}^{+}$时, 有$\xi\to x_{0}^{+}$, 对上式两边取极限, 便得 \lim_{x\to x_{0}^{+}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=\lim_{x\to x_{0}^{+}}f'(\xi)=f'(x_{0}+0).(2) 同理可得 f'_{-}(x_{0})=f'(x_{0}-0).因为$\lim_{x\to x_{0}}f’(x)=k$存在, 所以$f’(x_{0}+0)=f’(x_{0}-0)=k$, 从而$f’_{+}(x_{0})=f’_{-}(x_{0})=k$, 即$f’(x_{0})=k$.

书中很多术语看起来挺”外星人”语言的, 按照我初次阅读完的内容理解, 下面定理所说的协调的与现代常说的相容性是一个意思. 阅读需要知道的定义: 句子: 一个合式公式$X$, 若不包含任何变量的自由出现, 就称为一个句子. 合式公式按照以下步骤构造 若$X$是一个原子公式, 则$[X]$是一个合式公式 若$X$和$Y$是合式公式, 则$[\lnot X]$, $[X\lor Y]$, $[X\land Y]$, $[X\supset Y]$, $[X\equiv Y]$是合式公式 若$X$是一个合式公式, 而$y$(代表任意的变量)不在$X$的量词中出现, 也就是说$X$不包含$(\exists y)$或$(\forall y)$, 则$[(\exists y)X]$和$[(\forall y)X]$是合式公式. 前束范式: 在$L$中的一个合式公式$X$, 若$X$是有原子公式先经逻辑连接符(可以没有)再经量词(也可以没有)作用而构成, 则称$X$是前述范式. 协调的: 一个句子集若有一个模型, 就称为协调的. 超滤: 设$D$是$I$的子集族, 且满足: (i) $\varnothing\notin D$; (ii) 若$A\in D$, $B\in D$, 则$A\cap B\in D$; (iii) 若$A\in D$且$A\subset B\subset I$, 则$B\in D$; (iv) 若任何$A\subset I$, 或者有$A\in D$或者有$I-A\in D$. 则称$D$是$I$上的一个超滤(ultrafilter). 或说是$I$的子集族组成的Boole代数中的极大对偶理想. graph LR; A[合式公式]-->|先经逻辑连接符再经量词作用成|E[前束范式]; F[原子公式]-->|加括号,逻辑连接词,量词|A; A-->|不出现任何变量|B[句子]; B-->|有模型的句子集|G[协调的]; 定理: 令$K$是一个句子集, 若$K$的每个有穷子集是协调的, 则$K$是协调的. 证明: Step 1: 不妨设$K$的一切句子都是前束范式, 否则用前束范式定理将相应的句子替换为等价的前束范式的句子, 得到新的句子集$K_{0}$. 若$K$的每个有穷子集是协调的, 且$K_{0}’$是$K_{0}$的一个有 ...