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广义超几何级数的定义广义超几何级数的定义是 _{p}F_{q}\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{p};\gamma_{1},\gamma_{2},\cdots,\gamma_{q};z\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\alpha_{1})_{n}(\alpha_{2})_{n}\cdots(\alpha_{p})_{n}}{n!(\gamma_{1})_{n}(\gamma_{2})_{n}\cdots(\gamma_{q})_{n}}z^{n},其中$(\alpha)_{n}=\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)\cdots(\alpha+n-1)$为$\alpha$的升$n$阶乘. 关于公式的记忆, 首先对于一般级数 f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(z),如果已知$c_{0}=\color{red}{\alpha}$, \frac{c_{n+1}(z)}{c_{n}(z)}=\frac{({\color{blue}{ \alpha_{1} }}+n)({\color{blue}{ \alpha_{2} }}+n)\cdots({\color{blue}{ \alpha_{p} }}+n)}{({\color{green}{ \gamma_{1} }}+n)\cdots({\color{green}{ \gamma_{q} }}+n)}\frac{z}{(n+1)},则$f(z)$有表示 f(z)={\color{red}{\alpha}}\cdot{}_{p}F_{q}\left({\color{blue}{ \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{p} }};{\color{green}{ \gamma_{1},\gamma_{2},\cdots,\gamma_{q} }};z\right).

这是一个长期建设问题集, 其中引文格式MSE4469237表示的意思是math.stackexchange.com中的问题编号为4469237 问题: MSE4469237 设$A$为$\QQ$的任意子集, 函数$f(x)=\frac{1}{x(x-1)}$, 对于任意两个集合$A,B$, A+B=\left\{ a+b:a\in A,\ b\in B\right\} .按以下规则递归的定义$S_{n}[A]$: $S_{0}[A]=A+\ZZ$; $S_{n+1}[A]=S_{n}[A]\cup\left(f(S_{n}[A]\setminus\{0,1\})+\ZZ\right)$. 定义 S[A]\coloneqq\bigcup_{n=0}^{\infty}S_{n}[A];\qquad U=f(\QQ\setminus\{0,1\})+\ZZ.证明或否定以下结论: 对于任何素数$p>3$, $\frac{2}{p}\not\in U$; $\frac{2}{3}\in U$; 对于任何素数$p$, $1<r<p-1$, $\frac{r}{p}\not\in U$; $S[\{0\}]=U$; (hint: 取$x=\frac{2}{13}\not\in U$知$-\frac{15}{22}\in S[x]\subseteq U$,但是$-\frac{15}{22}\not\in S[\{0\}]$); $S[U^{c}]=\QQ$. hint: 任取$\frac{r}{s}\in\QQ$, 只需要考虑$\frac{r}{s}\in U$的情况, 此时存在$\frac{a}{b}\in\QQ$,$k\in\ZZ$使得 f\left(\frac{a}{b}\right)=\frac{b^{2}}{a(a-b)}=\frac{r}{s}+k=\frac{r+ks}{s},利用$(a,b)=1$, $(r,s)=1$, 得到$\left|a(a-b)\right|=\left|s\right|$.所以 \left|b\right|=\left|b-a+a\right|\le\left|b-a\right|+\left|a\right|\le\left|(b-a)a\right|=\left|s\right|,\qu ...

这是一个长期建设文章, 目的是展示可以用于学习的数学问题. 对于整个问题的构建, 依循序渐进的方式提出, 通常位于前面的小问题比较简单, 并能够对后面的初见可能难解的问题提供思路. 基于这些原因, 这里将不会提供每一个问题的证明.参考资料的说明: MSExyz 表示 math.stackexchange.com 的问题编号为 xyz. 数学分析一致连续性问题:UASA 证明: (1) 设 $g$ 定义在开区间 $(a,c)$ 上, 在 $(a,b]$ 和 $[b,c)$ 上一致连续, 其中 $a<b<c$. 则 $g$ 在 $(a,c)$ 上一致连续. (2) 设 $f:[0,\infty)\to\RR$ 连续. 如果存在 $b>0$ 使得 $f$ 在 $[b,\infty)$ 上一致连续, 则 $f$ 在 $[0,\infty)$ 上一致连续. (3) 证明 $f(x)=\sqrt{x}$ 在 $[0,\infty)$ 上一致连续. (4) 设 $f:A\to\RR$ 是 Lipschitz 函数, 则 $f$ 在 $A$ 上一致连续. (5) 一致连续函数是否一定是 Lipschitz 函数. 问题:UASA 回顾一致连续的定义, 以及Cantor定理, 即连续函数在紧集上是一致连续函数. 则 (1) 试给出一个 $f:A\to\RR$ 在 $A$ 上一致可微的定义. (2) 判断 $x^{2}$, $x^{2}\sin\frac{1}{x}$ 在 $[0,1]$ 上的一致可微性. (3) 如果函数在闭区间 $[a,b]$ 上可微, 能否推出此函数的一致可微性? 不连续点集问题:UASA参考这里 设 $f:\RR\to\RR$ 为任意给定的函数, (1) 设 $\alpha>0$, $x\in\RR$. 如果存在 $\delta>0$, 使得对于任意的 $y,z\in(x-\delta,x+\delta)$ 有 $|f(y)-f(z)|<\alpha$, 则称 $f$ 在点 $x\in\RR$ 处是 $\alpha$ 连续的. 记 $D_{\alpha}$ 是 $f$ 的所有 $\alpha$ 连续点集的补集, 也即 D_{\alpha}=\{x\in\mathbb{R}:f\text{ 在 }x\text{ ...

由于此博文会是长期增长建设的类型, 问题不会提供具体解答, 只会提供相应的文献索引和方法上的描述. 初等不等式问题: (均值不等式) 任意 $n$ 个非负实数的几何平均值小于或等于它们的算术平均值. 即 $\forall a_{i} \geqslant 0$, ($i=1,2, \cdots, n$) 恒有 \sqrt[n]{a_{1} \cdot a_{2} \cdot \cdots \cdot a_{n}} \leqslant \frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n},且其中的等号当且仅当 $a_{1}=a_{2}=\cdots=a_{n}$ 时成立. 倒序归纳法: 1 例1.1.7;Lagrange乘数法: 1 例1.1.7. 极限数列极限问题: 证明: 数列 $x_{n}=1+2+\cdots+\frac{1}{n}-\ln n$, ($n=1, 2, \cdots$), 单调下降有界, 从而有极限 (此极限称为 Euler 常数, 记作 $C$.) 单调有界法: 1 例1.2.11;Lagrange中值: 1 例1.3.17. Reference 1. 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法. 高等教育出版社, 1993. ↩

这里主要收录读书过程中因为证明过程的逻辑漏洞导致的各种障碍, 其中不免会有错误证明或者错误结论. 收录学科方向不限, 会指明出处, 并尽可能给出版次. 问题1: 设$f(x)$是$\RR$上的有界实函数, 且 f\left(x+\frac{13}{42}\right)+f(x)=f\left(x+\frac{1}{6}\right)+f\left(x+\frac{1}{7}\right),\qquad\forall x\in\RR.试求出$f$的较小的正周期. 原证明 反例的构造 错误点: 方程化为 f\left(x+\frac{1}{6}\right)-f(x)=f\left(x+\frac{13}{42}\right)-f\left(x+\frac{1}{7}\right),记$F(x)=f\left(x+\frac{1}{6}\right)-f(x)$, 则$F$有周期$T=\frac{1}{7}$.但证明过程中不应当能得到 f(x+nT)=\sum_{i=0}^{n-1}F(x+iT)+f(x)=nF(x)+f(x)不然, 将能够证明$f$有周期$\frac{1}{42}$. 同样的方法可以证明 f(x+1)-f(x)=\sum_{k=0}^{5}F\left(x+\frac{k}{6}\right),如果记上式右边为$H(x)$, 则可以证明$H(x)$有周期$1$, 从而由$f$的有界性, $H$恒为零. $f$也有周期为$1$. 现在需要给出反例说明, 存在函数$f$的最小正周期为$1$, 而不能是$\frac{1}{42}$, 这样就从根本上推翻了上面的证明,而不是因为没能理解, 可能结论仍是对的的嫌疑. 由于已经证明了$f$有周期$1$, 所以只要在$[0,1]$上考虑问题. 将$[0,1]$区间分成$42$份, 每份上附上一个未知数, 如下 f(x)=a_{i},\qquad0\le\frac{i}{42}\le x\le\frac{i+1}{42}\le1.12345678910111213141516(f[#/42] = a[#]) & /@ Range[0, 41];(*根据方程建立恒等式*)d1 = Table[ f[i/42 + 1/6] - f[i/42] - f[i/42 + 13/42 ...

定理: Euler求和公式: 设函数$f\in C^1[0,+\infty)$, 则有 \begin{align*} \sum_{k=1}^{n}f(k) & =\int_{0}^{n}f(x)\ud x+\frac{f(n)-f(0)}{2}+\int_{0}^{n}\left\langle x\right\rangle f'(x)\ud x\\ & =\int_{1}^{n}f(x)\ud x+\frac{f(n)+f(1)}{2}+\int_{1}^{n}\left\langle x\right\rangle f'(x)\ud x \end{align*}其中$\left\langle x\right\rangle =\left\{ x\right\} -\frac{1}{2}$. 证明: 使用RS积分, 由于 \ud[x]=\sum_{k\in\mathrm{Dom}(x)}\delta(x-k)\ud x,所以 \begin{align*} \sum_{k=1}^{n}f(k) & =\int_{0+}^{n+}f(x)\ud[x]\\ & =\int_{0}^{n}f(x)\ud x-\int_{0+}^{n+}f(x)\ud\left\{ x\right\} \\ & =\int_{0}^{n}f(x)\ud x-\int_{0+}^{n+}f(x)\ud\left(\left\{ x\right\} -\frac{1}{2}\right)\\ & =\int_{0}^{n}f(x)\ud x-\left\langle x\right\rangle f(x)\mid_{0+}^{n+}+\int_{0+}^{n+}\left\langle x\right\rangle f'(x)\ud x\\ & =\int_{0}^{n}f(x)\ud x+\frac{f(n)-f(0)}{2}+\int_{0}^{n}\left\langle x\right\rangle f'(x)\ud x. \end{align*} 通常的证法: 将区间$[0,n]$划分为长度为$1$的小区间$[k-1,k]$, ($k=1,2,\cdots,n$), 则 \int_{k-1}^{k}\left\langle x\right\rangle f'(x) ...

事件与概率定义: 在一定条件下, 必然发生或者必然不发生, 这种现象称为确定性现象. 必然会发生的现象称为必然现象. 必然不会发生的现象, 称为不可能现象. 在一定条件下, 并不总出现相同的结果, 但在大量重复试验中, 结果具有统计性规律的现象, 称为随机现象. 确定性现象的特征: 条件完全决定结果.随机现象的特征: 条件不能完全决定结果. 定义: 对随机现象的观测或实验称为试验. 有以下特点: 试验可以在相同条件下重复进行; 试验的所有可能结果是事前已知且结果不止一种; 在每次试验中, 结果是事先无法确定的. 把有这三个特点的试验称为随机试验, 简称试验. 通常用字母$E$表示.随机试验$E$的每一个可能的结果称为$E$的一个样本点, 一般用$\omega$表示.$E$的所有样本点所组成的集合称为$E$的样本空间, 记为$\Omega$. 定义: 随机现象的结果称为随机事件, 简称事件.关于事件, 要注意以下几点 任一事件是相应样本空间的一个子集; 事件发生当且仅当它所包含的某一样本点发生; 事件可以用集合表示, 也可以用文字语言表示, 甚至还可以用随机变量表示. 两个特殊的事件: 样本空间$\Omega$的最大子集, 称为必然事件. 样本空间$\Omega$的最小子集$\emptyset$, 称为不可能事件. 定义: 事件间的关系: 包含: 事件$A$发生必然导致事件$B$发生, 则称事件$B$包含事件$A$, 记为$A\subset B$. 相等: 若事件$A$与事件$B$中任一事件发生必然导致另一事件发生, 则称事件$A$与事件$B$相等, 记为$A=B$. 互不相容: 若事件$A$与事件$B$不能同时发生, 则称事件$A$与事件$B$是互不相容的(互斥的). 事件间的运算 并: 有限并, 可列并 交: 有限交, 可列交 差: “事件$A$发生而事件$B$不发生”, 称为事件$A$与事件$B$的差, 记为$A-B$. 必然事件$\Omega$对任一事件$A$的差$\Omega-A$称为事件$A$的对立事件, 记为$\overline{A}$. 事件的运算性质 交换律: $A\cup B=B\cup A$, $AB=BA$; 结合律: $(A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)$, $(AB)C=A(BC) ...

紧算子是一种特殊的线性算子. 为什么研究紧算子?一个主要原因是, 紧算子可以用有限秩算子(finite rank operator)逼近, 便于对算子方程的解做数值逼近. 定理 1: 若$H$是无穷维Hilbert空间, 算子$A\in CL(H)$, 且$\norm{A}<1$, 则对于任何$y\in H$,存在唯一的$x\in H$满足 (I-A)x=y.这个解$x$可以由Neumann级数 x=(I-A)^{-1}y=(I+A+A^{2}+\cdots)y给出. 上面的解有两种缺点: 计算$A^{n}$是不现实的. 级数收敛速度不理想. 紧算子定义: (紧算子) 设$X,Y$是赋范空间, 线性变换$T:X\to Y$称为是紧算子, 若对于任何有界序列$(x_{n})_{n\in\NN}\subseteq X$, 序列$(Tx_{n})_{n\in\NN}$有收敛子列. 记从$X$到$Y$的所有紧算子形成集合为$K(X,Y)$. 定理 2: 设$X,Y$是赋范空间, $T:X\to Y$是线性变换, 则以下命题等价: (1). $T$是紧的. (2). $\overline{T(B)}$是紧的, 其中$B$是$X$中的单位球, 即 B\coloneqq\left\{ x\in X:\norm{x}\le1\right\} .提示 (1)$\Longrightarrow$(2). 也就是证$\overline{T(B)}$中的序列$(z_{n})_{n\in\NN}$有收敛子列. (2)$\Longrightarrow$(1). 即证$X$中有界序列$(x_{n})$, 使$(Tx_{n})_{n\in\NN}$有收敛子列. 紧算子集$K(X,Y)$定理 3: $K(X,Y)\subseteq CL(X,Y)$. 提示 紧算子将$X$中的单位球映为$Y$中的紧集, 从而是$Y$中的有界集, 即这紧算子是有界算子, 线性有界算子是连续的. 例: 不是所有连续线性变换都是紧的. 提示 设$X$为任一无穷维内积空间, 比如$l^{2}$. 其上的恒等算子$I\in CL(X)$不是紧算子.因为$I$映$X$中正交基$(u_{n})_{n\in\NN}$的像没有收敛子列. 定义: 称算子$T$是有限秩算子(fi ...

笛卡尔叶形线MSE4435438123456789ContourPlot[x^3 + y^3 == 3 x*y, {x, -2, 2}, {y, -2, 2}, Frame -> False(*去除边框*), Axes -> True, Ticks -> {{2^(2/3)}, {}}(*仅添加横坐标的一个刻度*), ContourStyle -> {Thickness[0.007], Dashed, Black}(*等高线样式*), Epilog -> {{Red, Line[{{{-2, 1}, {2, -3}}, {{-2, -2}, {3/2, 3/2}}}]}, {Thickness[0.005], Line[{{2^(2/3), 2^(1/3)}, {2^(2/3), 0}}]}, PointSize[Large], Point[{3/2, 3/2}], Text["(3/2,3/2)", {3/2, 3/2}, {-1.4, -0.5}]}] 12345678910Module[{pt1 = {3/2, 3/2}, pt2 = {2^(2/3), 2^(1/3)}, pt3 = {2^(2/3), 0}}, PolarPlot[ 3 Sin[t] Cos[t]/(Sin[t]^3 + Cos[t]^3), {t, -\[Pi]/4, 7 \[Pi]/4}, PlotRange -> {{-2, 2}, {-2, 5/3}}, PlotStyle -> {Thick ...

记号与定义定义: $p_k$: 通常记为第 $k$ 个素数;$d(n)=\sum_{d\mid n}1$;$\sigma_s(n)=\sum_{d\mid n}d^s$, 从而有 $\sigma_{-s}(n)=\frac{\sigma_s(n)}{n^s}$;$\sigma(n)=\sigma_1(n)=\sum_{d\mid n}d$;$\omega(n)=\sum_{p\mid n}1$;$\varphi(n)$: Euler函数 或 Euler’s totient function;$d_2(n)=d(n)$; $d_k(n)=\sum_{d\mid n}d_{k-1}(d)$, $k\ge 3$;$\pi(x)=\sum_{p\le x}1$;$\theta(x)=\sum_{p\le x}\log p$ 是 Chebyshev 函数;$\mathrm{Li} x=\lim_{\varepsilon\to 0}\left[\int_0^{1-\varepsilon}+\int_{1+\varepsilon}^x\frac{\ud t}{\log t}\right]$ 是对数积分 或 the integral logarithm;$f\ll g$ 或 $g\gg f$ 的意思是 $f=O(g)$;$[x]$: 表示 $x$ 的整数部分, Gauss 函数; 定义: 设 $d(n)$ 是整数 $n$ 的因子数. 称 $n$ 是 highly composite, 如果对于任意的 $m<n$, 都有 $d(m)<d(n)$. 定义: 正整数 $N$ 称为是 superior highly composite numbers, 如果存在 $\varepsilon > 0$ 使得对于所有的 $n$ 有 \frac{d(n)}{n^{\varepsilon}}\le \frac{d(N)}{N^{\varepsilon}}. 结论与命题定理: 对于固定的 $\varepsilon>0$, 有 \lim_{n\to\infty}\frac{d(n)}{n^{\varepsilon}}=0. 定理: The maximal order of $\log d(n)$ is $\frac{\log n \log 2}{\log\log n}$, 即 ...