Larry_Eppes's Trivia Collection Site

这里收录可以作为每日一题的习题. 因为是要做到每日一题的目标, 所以难度会有提升和提示上表述简略. 我也会根据不同问题进行归类, 同种方法的问题会放在我第一次遇到的问题中, 所以每个方法显示上会是只有一个问题. 判断题基础拓扑学问题: 判断以下命题的真假. 对真命题给出证明, 对假命题给出反例. 任意多个紧集的交集仍是紧集. 设 $A\in\RR$ 为任意给定集合, $K\subseteq\RR$ 是紧集. 则 $A\cap K$ 也是紧集. 若 $F_1\supseteq F_2\supseteq F_3\supseteq F_4\supseteq\cdots $ 是非空闭集套, 则交集 $\cap_{n=1}^{\infty}F_n\ne\varnothing $. 数列极限可求通项问题: 设数列 $\left\{ x_{n}\right\} $ 满足 $x_{0}=a$, $x_{1}=b$, $x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_{n}+x_{n-1}\right)$, $n\in\NN_{+}$, 证明数列 $\left\{ x_{n}\right\} $ 极限存在并求其极限. 问题: 见这里. 问题: 设$a_{1}>2$, 且当$n\ge1$时, $a_{n+1}=\frac{a_{n}^{2}}{2(a_{n}+1)}$. 问: $\left\{ a_{n}\right\} $收敛吗? 提示 不动点法, 解方程 x=\frac{x^{2}}{2(x+1)}有$x=0$或$x=-2$. 所以 a_{n+1}+2=\frac{(a_{n}+2)^{2}}{2(a_{n}+1)},相除得到 \frac{a_{n+1}+2}{a_{n+1}}=\left(\frac{a_{n}+2}{a_{n}}\right)^{2}=\cdots=\left(\frac{a_{1}+2}{a_{1}}\right)^{2^{n}}\to\infty所以$a_{n}\to0$. 收敛. 提示2 也可以用单调收敛定理, 注意$a_{n}>0$是显然的, a_{n+1}-a_{n}=\frac{-a_{n}^{2}-2a_{n}}{2(a_{n}+1)}

关于每个变量连续的间断函数.\[f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2}\ne0,\\0, & x=y=0.\end{cases}\] 一个二元函数在原点没有极限, 但沿着任一直线逼近原点存在极限.\[f(x,y)=\begin{cases}\frac{x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2}\ne0,\\0, & x=y=0.\end{cases}\] 以下三种极限恰有两个存在且相等的函数\[\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)\quad\lim_{x\to a}\lim_{y\to b}f(x,y),\quad\lim_{y\to b}\lim_{x\to a}f(x,y).\] (1).\[f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2}\ne0,\\0, & x=y=0.\end{cases}\] (2).\[f(x,y)=\begin{cases}y+x\sin(1/y), & y\ne0,\\0, & y=0.\end{cases}\] (3).\[f(x,y)=\begin{cases}x+y\sin(1/x), & x\ne0,\\0, & x=0.\end{cases}\] 以上三种极限恰有一个存在的函数.(1).\[f(x,y)=\begin{cases}x\sin(1/y)+y\sin(1/x), & xy\ne0,\\0, & xy=0.\end{cases}\] (2).\[f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}+y\sin(1/x), & x\ne0,\\0, & x=0.\end{cases}\] (3).\[f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}+x\sin(1/y), & y\ne0,\\0, & y=0.\end{cases}\] 累次极限交换次序不相等的函数.\[f(x,y)=\begin{cases}\frac{x^{2 ...

文中有些定理看起来是一回事, 但考虑到 Hilbert 空间中的基可能是不可数集, 所以相似的定理应当考虑集合基数上的差异. 内积空间Cauchy-Schwarz 不等式定理 (Cauchy-Schwarz 不等式): 设$H$是内积空间, 则对于任何$x,y\in H$, 有 \left|\left(x,y\right)\right|^{2}\le\left(x,x\right)\left(y,y\right).提示 只需证明 $y\neq0$ 时不等式成立. 对于任意 $\lambda\in K$, $K$ 是 $H$ 上的数域, $y\neq0$, 有 (x+\lambda y,x+\lambda y)=(x,x)+2\mathrm{Re}\{(x,y)\overline{\lambda}\}+(y,y)\cdot|\lambda|^{2}.取 $\lambda=-\frac{(x,y)}{(y,y)}$, 则 (x,x)-2\frac{|(x,y)|^{2}}{(y,y)}+\frac{|(x,y)|^{2}}{(y,y)^{2}}(y,y)\geqslant0,因此 |(x,y)|^{2}\leqslant(x,x)\cdot(y,y). 内积与内积诱导出的范数的关系定理: 设$H$是内积空间, $\norm{x}=\sqrt{\left(x,x\right)}$, 则$\norm{\cdot}$是$H$上的一个范数. 这样的范数称为是由内积诱导出的范数. 提示 由内积的定义可知 $\norm{x}=0$ 时, 有 $x=0$. 由于 (\lambda x,\lambda x)=\lambda\overline{\lambda}(x,x)=|\lambda|^{2}(x,x),因此, $\norm{\lambda x}=\sqrt{(\lambda x,\lambda x)}=|\lambda|\sqrt{(x,x)}=|\lambda|\norm{x}$.对于任意 $x,y\in H$, 由 Cauchy-Schwarz 不等式, 有 \begin{align*} \norm{x+y}^{2} & =(x+y,x+y)=(x,x)+2\mathrm{Re}(x,y)+(y,y)\\ & \le\left(x,x\ri ...

graph LR; 数域-->内积空间; 线性空间-->内积空间; 共轭对称性-->内积空间; 对第一变元的线性-->内积空间; 正定性-->内积空间; 内积-->内积空间; 完备-->Hilbert空间; 内积空间-->Hilbert空间; 内积空间-->正交; 内积空间-->正交和; 线性子空间-->正交和; 内积空间-->正交投影; 线性空间-->凸集; 内积空间-->Fourier系数; 内积空间-->规范正交基; 内积空间-->正交系; 正交系-->规范正交系; 规范正交系-->规范正交基; 规范正交基-->Parseval等式; 内积空间-->Fourier展开式; 内积空间-->同构; Hilbert空间-->伴随算子; Hilbert空间-->有界线性算子; 有界线性算子-->伴随算子; 有界线性算子-->自伴算子; Hilbert空间-->自伴算子; 有界线性算子-->酉算子; Hilbert空间-->酉算子; 有界线性算子-->正规算子; Hilbert空间-->正规算子; 有界线性算子-->零空间; 内积空间定义: 设$F$是实数域或复数域, $H$是$F$上的线性空间, 如果对于$H$中任何两个向量$x,y$, 都有一个数$(x,y)\in F$与之对应, 并满足以下条件: I) 共轭对称性/Hermite性: 对任何$x,y\in H$, $(x,y)=\overline{(y,x)}$;II) 对第一变元的线性: 对任何$x,y,z\in H$及任何数$\alpha,\beta\in F$, 成立$(\alpha x+\beta y,z)=\alpha(x,z)+\beta(y,z)$;III) 正定性: 对于一切$x\in H$, $(x,x)\ge0$, 且$(x,x)=0$当且仅当$x=0$; 称二元函数$(\cdot,\cdot)$是$H$中的内积. 如果$H$上定义了内积, 当$F$是实(或复)数域时, 称$H$为实(或复)内积空间.内积$(\cdot,\cdot)$关于第二变元是共轭线性的, 即对于任何$x,y,z\in H$及任何$\alpha,\beta\in F$, 有 (z ...

反例: 不能是某个函数导数的函数.由达布介值定理, 这样的函数不能有第一类间断点, 所以符号函数即为反例. 反例: 仅在一点可导的函数. f(x)=\begin{cases} x^{2}, & x\in\QQ\\ 0, & x\not\in\QQ \end{cases}只在$x=0$处可导.其它例子 设函数$f:\RR\to\RR$定义如下: f(x)=\begin{cases} x, & x\in\QQ,\\ -x, & x\not\in\QQ. \end{cases}则$f$只在一点处连续. 设$g:\RR\to\RR$定义为 g(x)=f(x)x.则$g$只在$x=0$处可导. 这是因为 g'(0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h)h-f(0)0}{h}=\lim_{h\to0}f(h)=0.如果$g$在某个$x\ne0$处连续, 则$f(x)=g(x)/x$在点$x$处也连续, 而这是不可能的. 反例: $f(x)$在点$x_{0}$可导, 不一定有$f(x)$在$x_{0}$点的领域内的每个点处可导.同上 反例: 在任何点的导数都不存在的函数. f(x)=\begin{cases} x, & x\in\QQ\\ 0, & x\not\in\QQ \end{cases}另外还有处处连续处处不可导的Weierstrass函数. 反例: $f(x)$在一点可导必然在该点连续, 反之不真.同上, 或者$f(x)=|x|$处处连续, 但在$x=0$处不可导, 又比如 f(x)=\begin{cases} x, & x\le0,\\ x\sin\frac{\pi}{x}, & x>0, \end{cases}在$x=0$处连续, 但在$x=0$处不可导. 反例: 在$n$个点($n\in\NN$)处不可导的连续函数.$f(x)=\left(|x-a_{1}|+|x-a_{2}|+\cdots+|x-a_{n}|\right).$ 反例: 处处连续处处不可导函数.处处连续, 无处单调, 处处不可导函数: f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}f_{n}(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{f_{1}(4^{n-1}x)}{4^{n-1}},\quad x\in\RR,其中 f_{1}(x)=\begin ...

希腊字母 Latex Code Math View Latex Code Math View Latex Code Math View Latex Code Math View \alpha $\alpha$ \theta $\theta$ \omicron $\omicron$ \upsilon $\upsilon$ \beta $\beta$ \vartheta $\vartheta$ \pi $\pi$ \phi $\phi$ \gamma $\gamma$ \iota $\iota$ \varpi $\varpi$ \varphi $\varphi$ \delta $\delta$ \kappa $\kappa$ \rho $\rho$ \chi $\chi$ \varepsilon $\varepsilon$ \lambda $\lambda$ \varrho $\varrho$ \psi $\psi$ \epsilon $\epsilon$ \mu $\mu$ \sigma $\sigma$ \omega $\omega$ \zeta $\zeta$ \nu $\nu$ \varsigma $\varsigma$ \eta $\eta$ \xi $\xi$ \tau $\tau$ \Gamma $\Gamma$ \Lambda $\Lambda$ \Sigma $\Sigma$ \Psi $\Psi$ \Delta $\Delta$ \Xi $\Xi$ \Upsilon $\Upsilon$ \Omega $\Omega$ \Theta $\Theta$ \Pi $\Pi$ \Phi $\Phi$ \varGamma $\varGamma$ \varLambda $\varLambda$ \varSigma $\varSigma$ \varPsi $\varPsi$ \varDelta $\varDelta$ \varXi $\varXi$ \varUpsilon $\varUpsilon$ \varOmega $\varOmega$ \varTheta $\varTheta$ \varPi $\varPi$ \varPhi $\varPhi$ 环境内调用latex包 ...

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vscode 代码片段配置像 HTML 一样, hexo 可以自定义很多标注性质的词法来渲染不容类型的信息进行展示, 而像我这样的懒人, 一般不乐意一直不停的敲那些一成不变的代码片段, 所以在 blog 根目录下建立一个隐藏文件夹 .vscode, 在这个文件夹内新建文件 snippets.code-snippets 可以定义更短的代码来触发代码片段, 方便内容编辑. 所以现在我正在使用的 blog 所拥有的代码片段用 mermaid 图展示就是: stateDiagram-v2 direction LR [*]-->BBlock [*]-->ThmBlock [*]-->RefBlock state BBlock { direction LR Mermaid: >mermaid MermaidDesc: mermaid图 Bubble: >bubble BubbleDesc: 用来显示鼠标悬停信息 Mermaid-->MermaidDesc Bubble-->BubbleDesc } state ThmBlock { direction LR Def: >def DefDesc: 定义区块 Thm: >thm ThmDesc: 定理区块 Lemma: >lem LemmaDesc: 引理区块 Hint: >hint HintDesc: 提示, 折叠消息类 Ques: >ques QuesDesc: 问题区块 Example: >example ExampleDesc: 例子区块 Otherproof: >otherproof OtherproofDesc: 对于多种证法的证明使用tab页 Def-->DefDesc Thm-->ThmDesc Lemma-->LemmaDesc Hint-->HintDesc Ques-->QuesDesc Example-->ExampleDesc Otherproof-->OtherproofDesc } state RefBlock { direction LR Label: >label LabelDesc: ...

安装 hexo 与编写博文123$ npm install hexo-cli -g$ cd blog$ npm install 新建一个文件, 然后发布到github上去 123456789101112131415161718192021222324$ hexo new "第一个hexo日志"INFO Created: ~/blog/source/_posts/第一个hexo日志.md$ vim ~/blog/source/_posts/第一个hexo日志.md$ npm install hexo-deployer-git --save$ vim _config.yml$ cat _config.yml...title: Larry_Eppes's Trivia Collection Sitekeywords: MATH, COMPUTERauthor: Larry Eppeslanguage: entimezone: 'Asia/Shanghai'...url: http://larryeppes.github.io...deploy: type: 'git' repo: https://github.com/larryeppes/larryeppes.github.io$ hexo serverINFO Start processingINFO Hexo is running at http://localhost:4000/. Press Ctrl+C to stop.$ hexo deploy --generate 博文信息提醒 note123{% note simple %}默認 提示块标签{% endnote %} 默認 提示块标签 123{% note default simple %}default 提示块标签{% endnote %} default 提示块标签 123{% note primary simple %}primary 提示块标签{% endnote %} primary 提示块标签 123{% note success ...