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宗旨

  • 被认为是“难或枯燥”的数学运算，其实只要方法得当，普通人（即“傻瓜”）也能学会。
  • 讽刺许多教科书作者（“聪明的傻瓜”）喜欢把简单的东西讲得复杂，以炫耀自己的聪明才智。
  • 很多学生被微积分吓退，其实只是因为不理解符号的含义。
  • 微积分本质上是一种操作说明，而不是神秘咒语。

📌 课外参考资料推荐

  • 《普林斯顿微积分读本》
  • 《吉米多维奇数学分析习题集》
  • 《数学分析中的典型问题与方法》（裴礼文）
  • 《微积分学教程》（菲赫金戈尔茨）
  • 《微积分和数学分析引论》（柯朗）

💡 学习建议

微分是研究变化与变化率的数学分支。它通过分析变量之间的依赖关系，用 ( dx ) 和 ( dy ) 这类“微小变化”来描述一个量如何影响另一个量，从而为理解运动、增长、优化等问题提供工具。

两个核心符号的解释

符号 d：表示“一小部分”

  • dx 就是 x 的一小部分，du 就是 u 的一小部分。
  • 这些“小块”可以想象成无限小的量。

符号 ∫：表示“求和”

  • ∫ 是一个拉长的字母 S（代表 Sum，即“求和”）。
  • ∫ dx 表示“把所有 dx（x 的小块）加起来”，也就是得到 x 的整体。
  • 类比举例：1 小时可以看作 3600 秒（每一秒是一个 dt），把它们全部加起来（∫ dt）就是 1 小时。

直观理解“积分”

  • 积分（integral）的字面意思就是“整体”。
  • 看到 ∫ 时，就表示要进行“求和”操作：把后面符号所代表的所有“小块”累加起来。

不同阶数的“微小量”及其可忽略性

  • 微小量的相对性：
    • 如1分钟相对于一周是很小的，但1秒相对于1分钟又是更小的。
  • 微小量的“阶数”：
    • 一阶微小量：比如 $dx$（$x$ 的一小部分）。
    • 二阶微小量：比如 $dx^2$（$x$ 的一小部分的一小部分），是更高级别的“小”。
  • 何时可忽略：
    • 在计算中，高阶微小量（如二阶及以上）通常可以忽略不计，前提是基础微小量本身足够小。
    • 但如果微小量被一个很大的因子相乘（如 $x\cdot dx$，其中 $x$ 很大），它仍可能变得不可忽略。