函数的极限

一、$x \to \infty$ 时函数的极限

定义: 设函数 $f(x)$ 在 $|x|$ 大于某正数时有定义。若对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $X > 0$，使得当 $|x| > X$ 时，有：

$$|f(x) - A| < \varepsilon$$

则称常数 $A$ 是 $f(x)$ 当 $x \to \infty$ 时的极限，记作：

$$\lim_{x \to \infty} f(x) = A \quad \text{或} \quad f(x) \to A \ (x \to \infty)$$

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几何解释

• 当 $x < -X$ 或 $x > X$ 时，函数图像位于水平带形区域 $A - \varepsilon < y < A + \varepsilon$ 内。
• 直线 $y = A$ 称为曲线 $y = f(x)$ 的 水平渐近线。

充要条件

• 定义：$\lim_{x \to \infty} f(x) = A$ 指：
  \[
  \forall \varepsilon > 0,\ \exists X > 0,\ \text{当 } |x| > X \text{ 时},\ |f(x) - A| < \varepsilon
  \]

• 充要条件：
  \[
  \lim_{x \to \infty} f(x) = A \ \iff\ \lim_{x \to +\infty} f(x) = A \ \text{且} \ \lim_{x \to -\infty} f(x) = A
  \]

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例题与反例

例：$f(x) = \arctan x$

• $\lim_{x \to +\infty} \arctan x = \frac{\pi}{2}$
• $\lim_{x \to -\infty} \arctan x = -\frac{\pi}{2}$
• 左右极限不相等 ⇒ $\lim_{x \to \infty} \arctan x$ 不存在

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例：用定义证明 $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$

证：
\[
\left| \frac{1}{x} - 0 \right| = \frac{1}{|x|}
\]
对 $\forall \varepsilon > 0$，取 $X = \frac{1}{\varepsilon}$，当 $|x| > X$ 时：
\[
\left| \frac{1}{x} \right| < \varepsilon
\]
故极限为 0，且 $y = 0$ 是水平渐近线。

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单侧极限（$x \to +\infty$ 与 $x \to -\infty$）

• $\lim_{x \to +\infty} f(x) = A$：
  $\forall \varepsilon > 0,\ \exists X > 0,\ \text{当 } x > X \Rightarrow |f(x) - A| < \varepsilon$

• $\lim_{x \to -\infty} f(x) = A$：
  $\forall \varepsilon > 0,\ \exists X > 0,\ \text{当 } x < -X \Rightarrow |f(x) - A| < \varepsilon$

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水平渐近线举例

• $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$，$g(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x}}$ → 渐近线 $y = 0$
• $f(x) = 1 - 2^{-x}$，$g(x) = 1 + 2^{x}$ → 渐近线 $y = 1$

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二、$x \to x_0$ 时函数的极限

直观描述与实质

• $x$ 以任意方式趋近 $x_0$，$f(x)$ 与 $A$ 无限接近
• 实质：
  \[
  |x - x_0| \text{ 任意小 } \Rightarrow |f(x) - A| \text{ 任意小}
  \]

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定义（$\varepsilon$-$\delta$ 语言）: 设 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某去心邻域有定义，若

$$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \text{当 } 0 < |x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - A| < \varepsilon$$

则称

$$\lim_{x \to x_0} f(x) = A$$

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几何解释

• 对任意 $\varepsilon > 0$，存在一个以 $x_0$ 为中心、$\delta$ 为半径的去心邻域，使得函数值落在区间 $(A - \varepsilon, A + \varepsilon)$ 内。
• 推论：若极限存在，则函数在 $x_0$ 的某去心邻域内有界（局部有界性）。

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基本极限证明举例

例：证明 $\lim_{x \to x_0} C = C$

证：
\[
|C - C| = 0 < \varepsilon \quad \forall \varepsilon > 0
\]
对任意 $\delta > 0$ 都成立，故极限为 $C$。

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例：证明 $\lim_{x \to x_0} x = x_0$

证：
\[
|x - x_0| < \varepsilon \quad \text{取 } \delta = \varepsilon
\]
当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时，有 $|x - x_0| < \varepsilon$，故极限为 $x_0$。

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例：证明 $\lim_{x \to x_0} \sqrt{x} = \sqrt{x_0}$（$x_0 > 0$）

证：
\[
|\sqrt{x} - \sqrt{x_0}| = \frac{|x - x_0|}{\sqrt{x} + \sqrt{x_0}} \leq \frac{|x - x_0|}{\sqrt{x_0}}
\]
取 $\delta = \min\{x_0, \sqrt{x_0} \cdot \varepsilon\}$，则当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时：
\[
|\sqrt{x} - \sqrt{x_0}| \leq \frac{|x - x_0|}{\sqrt{x_0}} < \varepsilon
\]

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例：证明 $\lim_{x \to x_0} \sin x = \sin x_0$

证：
\[
|\sin x - \sin x_0| = 2\left|\cos\frac{x + x_0}{2}\sin\frac{x - x_0}{2}\right| \leq 2\left|\sin\frac{x - x_0}{2}\right| \leq |x - x_0|
\]
取 $\delta = \varepsilon$，则当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时：
\[
|\sin x - \sin x_0| \leq |x - x_0| < \varepsilon
\]
同理可证 $\lim_{x \to x_0} \cos x = \cos x_0$

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例：证明 $\lim_{x \to 2} x^2 = 4$

证：
设 $|x - 2| < 1 \Rightarrow 1 < x < 3 \Rightarrow |x + 2| < 5$
\[
|x^2 - 4| = |x - 2||x + 2| < 5|x - 2|
\]
取 $\delta = \min\left\{1, \frac{\varepsilon}{5}\right\}$，则当 $0 < |x - 2| < \delta$ 时：
\[
|x^2 - 4| < 5 \cdot \frac{\varepsilon}{5} = \varepsilon
\]

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2. 左、右极限与极限存在的充要条件

• 左极限：$\lim_{x \to x_0^-} f(x)$
• 右极限：$\lim_{x \to x_0^+} f(x)$

极限存在的充要条件：
\[
\lim_{x \to x_0} f(x) = A \ \iff\ \lim_{x \to x_0^-} f(x) = A \ \text{且} \ \lim_{x \to x_0^+} f(x) = A
\]

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例：判断 $f(x) = \frac{|x|}{x}$ 在 $x \to 0$ 时极限是否存在

解：

• 左极限：$\lim_{x \to 0^-} \frac{-x}{x} = -1$
• 右极限：$\lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x} = 1$

左右极限不相等 ⇒ 极限不存在

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三、函数极限的性质

定理 1: 唯一性: 若 $\lim_{x \to x_0} f(x)$ 存在，则极限值是唯一的。

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定理 2: 局部有界性: 若 $\lim_{x \to x_0} f(x) = A$，则存在常数 $M > 0$ 和 $\delta > 0$，使得当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时：

$$|f(x)| \leq M$$

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定理 3: 保号性: 若 $\lim_{x \to x_0} f(x) = A$，且：

• 若 $A > 0$，则存在 $\delta > 0$，使得当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时，$f(x) > 0$
• 若 $A < 0$，则存在 $\delta > 0$，使得当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时，$f(x) < 0$

提示

（以 $A > 0$ 为例）：
取 $\varepsilon = \frac{A}{2}$，则存在 $\delta > 0$，使得当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时：

$$|f(x) - A| < \frac{A}{2} \Rightarrow f(x) > A - \frac{A}{2} = \frac{A}{2} > 0$$

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推论：函数值的下界估计: 若 $\lim_{x \to x_0} f(x) = A \neq 0$，则存在 $\delta > 0$，使得当 $x \in U(x_0, \delta)$ 时：

$$|f(x)| > \frac{|A|}{2}$$

提示

• 若 $A > 0$，取 $\varepsilon = \frac{A}{2}$，则 $f(x) > \frac{A}{2}$
• 若 $A < 0$，取 $\varepsilon = \frac{|A|}{2}$，则 $f(x) < -\frac{|A|}{2}$

极限值的局部控制性质

问题：若 $\lim_{x \to x_0} f(x) = A \neq 0$，对任意整数 $k > 2$，是否存在 $\delta > 0$，使得当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时，有 $|f(x)| > \frac{|A|}{k}$？

答：存在。
证明思路：

• 根据 推论 有: 若 $\lim_{x \to x_0} f(x) = A \neq 0$，则存在 $\delta > 0$，使得当 $x \in U(x_0, \delta)$ 时： $$|f(x)| > \frac{|A|}{2}$$
• 由于 $k>2$, 所以 $$|f(x)| > \frac{|A|}{2} > \frac{|A|}{k}.$$

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推论：极限的保序性: 若在 $x_0$ 的某去心邻域内 $f(x) \geq 0$，且 $\lim_{x \to x_0} f(x) = A$，则 $A \geq 0$。

提示

证明（反证法）：

• 假设 $A < 0$，由保号性定理，存在邻域内 $f(x) < 0$，与已知矛盾。
• 故 $A \geq 0$。

注意：若 $f(x) > 0$，不能推出 $A > 0$。

如果不清楚为什么

$f(x) = x^2 > 0$（$x \neq 0$），但 $\lim_{x \to 0} x^2 = 0$。

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定理：函数极限与数列极限的关系: 若 $\lim_{x \to x_0} f(x) = A$，且 $\{x_n\}$ 是定义域内任一收敛于 $x_0$ 的数列（$x_n \ne x_0$），则：

$$\lim_{n \to \infty} f(x_n) = A$$

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例：证明 $\lim_{x \to 0} \sin \frac{1}{x}$ 不存在

证：

• 取 $x_n = \frac{1}{2n\pi + \frac{\pi}{2}} \to 0$，则 $\sin \frac{1}{x_n} = \sin(2n\pi + \frac{\pi}{2}) = 1$
• 取 $y_n = \frac{1}{2n\pi - \frac{\pi}{2}} \to 0$，则 $\sin \frac{1}{y_n} = \sin(2n\pi - \frac{\pi}{2}) = -1$
• 两数列函数极限不同 ⇒ 原极限不存在

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小结：函数极限的核心内容

性质	描述	说明
唯一性	极限值唯一	若极限存在，则只有一个极限
局部有界性	极限存在 ⇒ 局部有界	在去心邻域内有界
保号性	极限正/负 ⇒ 函数局部正/负	可用于判断函数符号
左右极限	极限存在 ⇔ 左右极限存在且相等	判断极限是否存在的有效方法