函数的连续性

增量的概念

  • 自变量的增量：$\Delta x = x - x_0$
  • 函数的增量：$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = f(x) - f(x_0)$

函数在一点连续的定义

函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续，有以下三种等价的定义方式：

定义 (用增量定义): 函数在 $x_0$ 的某邻域内有定义，且满足：

这表示当自变量的变化趋于0时，函数值的变化也趋于0。

定义 (用极限定义): 函数在 $x_0$ 的某邻域内有定义，且满足：

这表示函数在该点的极限值等于该点的函数值。

定义 ($\varepsilon-\delta$ 定义): 函数在 $x_0$ 的某邻域内有定义，如果 $\forall \varepsilon > 0$，$\exists \delta > 0$，使得当 $|x - x_0| < \delta$ 时，有 $|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$ 恒成立。
这是连续性的最精确定义，从“动态(极限)”和“静态(不等式)”两个角度刻画了函数在一点及其附近平滑变化的特性。

定义 (左、右连续):

  • 若 $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)$，则称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处左连续。
  • 若 $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$，则称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处右连续。

定理 (函数在一点连续的充要条件): 函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续的充分必要条件是它在 $x_0$ 点处既左连续又右连续。即：
\[
\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)
\]

函数的间断点

定义: 如果函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处不连续，则称点 $x_0$ 为函数的间断点。产生间断点的情形有三类：

  1. 在 $x_0$ 处无定义。
  2. 在 $x_0$ 处有定义，但 $\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$ 不存在。
  3. 在 $x_0$ 处有定义，且 $\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$ 存在，但该极限值不等于函数值 $f(x_0)$。

间断点的分类

定义 (第一类间断点): 函数在该点的左、右极限均存在:

  • 可去间断点：左极限等于右极限，即 $f(x_0^{-}) = f(x_0^{+})$，但不等于该点的函数值 $f(x_0)$，或该点根本无定义。
    • 例：函数在 $x=0$ 处有定义 $f(0)=0$，但极限 $\lim_{x \to 0} f(x) = 1$。通过重新定义 $f(0)=1$，可“去掉”这个间断点，使函数在该点连续。
  • 跳跃间断点：左极限不等于右极限，即 $f(x_0^{-}) \ne f(x_0^{+})$。
    • 例：函数在 $x=0$ 处有定义，但左极限为 $-1$，右极限为 $1$，形成了一个“跳跃”。

定义 (第二类间断点): 函数在该点的左、右极限至少有一个不存在。

  • 无穷间断点：在该点的左、右极限至少有一个为无穷大 ($\infty$)。
    • 例：$y = \frac{1}{x^2}$ 在 $x=0$ 处无定义，且左右极限均为 $+\infty$。
  • 振荡间断点：当 $x \to x_0$ 时，函数值在某个区间内无限振荡，不趋于任何确定值。
    • 例：$y = \sin \frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处无定义，当 $x \to 0$ 时，函数值在 $-1$ 与 $1$ 之间无限次振荡。

连续函数的运算性质

定理 (连续函数的四则运算): 设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在点 $x_0$ 处连续，则它们的和、差、积，以及商 (当 $g(x_0) \neq 0$ 时) 在 $x_0$ 处也连续。

提示

直接利用函数连续的定义（极限值等于函数值）和极限的四则运算法则。

应用示例：由 $\sin x$ 和 $\cos x$ 的连续性，可推出 $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ 和 $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ 在各自的定义域内连续。

定理 (反函数的连续性): 若函数 $y=f(x)$ 在区间 $I_x$ 上连续且严格单调，则其反函数 $x = \varphi(y)$ 在对应的区间 $I_y$ 上也连续且保持相同的单调性。

应用示例：

  • $y = \sin x$ 在 $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ 上连续且单调增加。
  • 其反函数 $y = \arcsin x$ 在 $[-1, 1]$ 上也连续且单调增加。

总结概要：
本部分内容系统性地建立了函数连续性与间断点的理论框架。

  1. 间断点 分类: 第一类（可去、跳跃）和第二类（无穷、振荡）间断点的区分，计算左右极限来判断。
  2. 运算性质 连续性在四则运算和反函数操作下是保持的，为复杂函数的连续性提供判断基础。