第1章函数、极限与连续

📚 章节结构

第1章共分为9个小节：

初等函数
数列的极限
函数的极限
无穷小和无穷大
极限的运算法则
极限存在准则及两个重要极限
无穷小的比较
函数的连续性
闭区间上连续函数的性质

📖 第1节：初等函数

一、邻域

定义：设 $a, \delta \in \mathbb{R}$，且 $\delta > 0$，称数集 $\{x \mid |x-a| < \delta\}$ 为点 $a$ 的 $\delta$ 邻域，记为 $U(a, \delta)$。
表达式：
\[
U(a, \delta) = \{x \mid |x-a| < \delta\}
\]
几何意义：区间 $(a - \delta, a + \delta)$
去心邻域：去掉中心点 $a$，记为 $\mathring{U}(a, \delta)$：
\[
\mathring{U}(a, \delta) = \{x \mid 0 < |x - a| < \delta\}
\]
左邻域：$(a - \delta, a)$
右邻域：$(a, a + \delta)$

二、函数的概念

例1.1.1 圆的面积问题：
\[
A = \pi r^2, \quad r \in (0, +\infty)
\]
例1.1.2 自由落体问题：
\[
h = \frac{1}{2}gt^2, \quad t \in [0, T]
\]
函数定义：两个变量之间的一种依赖关系，当一个变量在某一范围内取值时，另一个变量按一定法则有唯一确定的值与之对应。

1. 函数的定义

设 $ x $ 和 $ y $ 是两个变量，$ D \subseteq \mathbb{R} $ 是一个数集。
如果对于每一个 $ x \in D $，变量 $ y $ 按照一定的法则 $ f $ 总有唯一确定的数值与之对应，则称 $ y $ 是 $ x $ 的单值函数，记为 $ y = f(x) $。
若某些 $ x $ 对应多个 $ y $，则称为多值函数（未特别说明时均指单值函数）。
$ x $ 称为自变量，$ y $ 称为因变量，$ D $ 称为定义域，$ y $ 的取值范围称为值域。

2. 思考与解惑

（1）确定函数的要素有哪些？

两个要素：定义域和对应关系。
值域由定义域和对应关系决定。
函数相同的充要条件：定义域与对应关系都相同。
举例说明：
- $ y = 1 $ 与 $ y = \sin^2 x + \cos^2 x $ 是相同函数。
- $ y = \sin x $ 与 $ y = \cos x $ 是对应关系不同，故为不同函数。

（2）解析式表达的函数如何取定义域？

定义域是使解析式有意义的自变量取值的全体。
注意事项：
- 分母 ≠ 0
- 偶次根号内 ≥ 0
- 对数真数 > 0
- 正切、余切符号下式子 ≠ $ k\pi + \frac{\pi}{2} $、$ k\pi $
- 反正弦、反余弦符号下式子绝对值 ≤ 1
若函数由多项组合，定义域为各项定义域的公共部分。
举例：
函数 $ f(x) = \arcsin(x^2 - x - 1) + \frac{1}{\sqrt{\lg x}} $ 的定义域求解过程，最终结果为 $ 1 < x \leq 2 $。

（3）函数 $ y = f(x), x \in D $ 的图形是怎样定义的？

坐标平面上的点集： $\{ (x, y) \mid y = f(x), x \in D \}$ 称为函数 $ y = f(x) $ 的图形。

3. 例题解析

例 1.1.1 圆的面积问题

$ A = \pi r^2 $
定义域：$ D = \{ r \mid r \in (0, +\infty) \} $

例 1.1.2 自由落体问题

$ h = \frac{1}{2}gt^2 $
定义域：$ D = \{ t \mid t \in [0, T] \} $

例 1.1.3 单位阶跃函数

$ u_a(t) = \begin{cases} 0, & t < a \\ 1, & t > a \end{cases} $
定义域：$ (-\infty, a) \cup (a, +\infty) $
值域：$ \{0, 1\} $
属于分段函数，在电子技术中常用。

例 1.1.4 符号函数

$ y = \text{sgn} \, x = \begin{cases} -1, & x < 0 \\ 0, & x = 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases} $
定义域：$ (-\infty, +\infty) $
值域：$ \{-1, 0, 1\} $

例 1.1.5 取整函数

定义：设 $ x $ 为任一实数，不超过 $ x $ 的最大整数称为 $ x $ 的整数部分，记作 $[x]$，函数 $ y = [x] $ 称为取整函数。
定义域：$ (-\infty, +\infty) $
值域：所有整数
特点：在 $ x $ 为整数值处，图形发生跳跃，跃度为 1。
举例： $\left[ \frac{9}{4} \right] = 2,\quad [\pi] = 3,\quad [-4.2] = -5$

三、函数的简单性质

1. 单调性

设函数 $ f(x) $ 的定义域为 $ D $，区间 $ I \subset D $。
单调增加：若对任意 $ x_1, x_2 \in I $，当 $ x_1 < x_2 $ 时总有 $ f(x_1) \leq f(x_2) $。
单调减少：若对任意 $ x_1, x_2 \in I $，当 $ x_1 < x_2 $ 时总有 $ f(x_1) \geq f(x_2) $。
~~图示说明单调增加与单调减少的几何特征。~~

2. 奇偶性

设函数 $ f(x) $ 的定义域 $ D $ 关于原点对称。
偶函数：若对任意 $ x \in D $，有 $ f(-x) = f(x) $ → 图像关于 $ y $ 轴对称。
奇函数：若对任意 $ x \in D $，有 $ f(-x) = -f(x) $ → 图像关于原点对称。
举例：
- $ f(x) = x^3 $ 是奇函数
- $ f(x) = x^4 $ 是偶函数

非奇非偶函数与函数分解

若函数不满足奇偶性定义，则为非奇非偶函数。
定理: 任何在对称区间 $(-a, a)$ 上有定义的函数 $f(x)$ 都可写为一个奇函数与一个偶函数之和：
$f(x) = f_1(x) + f_2(x)$
其中
$f_1(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} \quad (\text{偶函数})$ $f_2(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2} \quad (\text{奇函数})$

奇偶函数的运算性质

奇函数 × 奇函数 = 偶函数
偶函数 × 偶函数 = 偶函数
奇函数 × 偶函数 = 奇函数

3. 周期性

定义: 设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$，若存在正数 $U$，使得对任意 $x \in D$，有：
\[
(x+U) \in D \quad \text{且} \quad f(x+U) = f(x)
\]
则称 $f(x)$ 为周期函数。

举例：
- $y = \sin x$、$y = \cos x$：最小正周期为 $2\pi$
- $y = \tan x$：最小正周期为 $\pi$

思考与解惑：周期函数一定有最小正周期吗？

答：不一定。
- 例如常函数 $y = C$：任何正实数都是其周期，无最小正周期。
- 狄利克雷函数：
  \[
  D(x) =
  \begin{cases}
  1, & x \in \mathbb{Q} \\
  0, & x \in \mathbb{Q}^C
  \end{cases}
  \]
  任何正有理数都是其周期，无最小正周期。

4. 有界性

定义: 设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$，区间 $I \subset D$。

有界：若存在 $M > 0$，使得对任意 $x \in I$，有 $ |f(x)| \leq M $。
无界：若对任意 $M > 0$，总存在 $x_1 \in I$，使得 $ |f(x_1)| > M $。

上界与下界：
- 若存在 $ K_1 $，使得 $ f(x) \leq K_1 $ 对所有 $ x \in I $ 成立，则称 $ f(x) $ 在 $ I $ 上有上界。
- 若存在 $ K_2 $，使得 $ f(x) \geq K_2 $ 对所有 $ x \in I $ 成立，则称 $ f(x) $ 在 $ I $ 上有下界。
结论：
\[
f(x) \text{ 在 } I \text{ 上有界} \iff f(x) \text{ 在 } I \text{ 上既有上界又有下界}
\]

四、反函数与复合函数

1. 反函数

引入：例如自由落体运动中：
\[
h = \frac{1}{2}gt^2 \quad \Rightarrow \quad t = \sqrt{\frac{2h}{g}}
\]
交换自变量与因变量得到反函数。
性质：函数 $ y = f(x) $ 与其反函数 $ y = \varphi(x) $ 的图像关于直线 $ y = x $ 对称。

2. 复合函数

引入：例如球的体积与温度的关系：
\[
V = \frac{4}{3}\pi r^3, \quad r = r_0(1 + \alpha T) \quad \Rightarrow \quad V = \frac{4}{3}\pi [r_0(1 + \alpha T)]^3
\]

定义: 设 $y = f(u)$ 定义域为 $D_1$，$u = g(x)$ 定义域为 $D$，若 $W = \{u \mid u = g(x), x \in D\} \subseteq D_1$，则称：

$y = f[g(x)], \quad x \in D$

为由 $y = f(u)$ 和 $u = g(x)$ 复合而成的复合函数，$u$ 为中间变量。

举例：
\[
y = \cos u, \quad u = x^2 \quad \Rightarrow \quad y = \cos x^2, \quad x \in (-\infty, +\infty)
\]

复合函数的说明

复合条件：函数 $f$ 与 $g$ 能复合的条件是：函数 $g$ 的值域必须包含于函数 $f$ 的定义域。
特殊情况：当 $W \subset D_1$ 且 $W \cap D_1 \neq \varnothing$ 时，若限制 $g$ 在 $I \subset D$ 上取值，使新值域包含于 $D_1$，则 $f$ 与 $g$ 在 $I$ 上可复合。

复合函数的注意事项

不是任意两个函数都能复合
- 例：$y = \ln u$，$u = -x^2$ 不能复合，因为：
  \[
  (0, +\infty) \cap (-\infty, 0] = \varnothing
  \]
复合函数可由多个函数复合构成
- 例：
  \[
  y = \sqrt{u},\quad u = \cot \frac{v}{2},\quad v = \frac{x}{2} \quad \Rightarrow \quad y = \sqrt{\cot \frac{x}{4}}
  \]
  （中间变量：$u, v$）
求复合函数的关键：是对应法则的复合，与自变量、中间变量、因变量的符号无关。
- 例：
  \[
  f(x) = 1 + x,\quad g(x) = \ln |x|
  \]
  \[
  f[g(x)] = 1 + \ln |x|,\quad g[f(x)] = \ln |1 + x|
  \]

3. 简单函数

不是复合函数的函数称为简单函数。
例：
\[
y = \frac{x + \sin x}{2x},\quad y = x \cos x
\]

五、初等函数

1. 基本初等函数分类

幂函数
指数函数
对数函数
三角函数
反三角函数

2. 幂函数

形式：$y = x^\mu$（$\mu$ 是常数）
定义域：
- $\mu\in\mathbb{N}$：$(-\infty, +\infty)$
- $\mu$ 为负整数：$(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$
性质：
- $\mu$ 为偶数 → 偶函数
- $\mu$ 为奇数 → 奇函数
- $\mu > 0$：在 $(0, +\infty)$ 内单调增加
- $\mu < 0$：在 $(0, +\infty)$ 内单调减少
图像举例：
- $y = x^3$、$y = x^2$、$y = \sqrt{x}$、$y = \frac{1}{x}$

3. 指数函数

形式：$y = a^x$（$a > 0, a \neq 1$）
定义域：$(-\infty, +\infty)$
值域：$(0, +\infty)$
性质：
- 对任意 $x$，有 $a^x > 0$
- $a^0 = 1$
- 图像总在 $x$ 轴上方，且通过点 $(0, 1)$

基本形式

$y = a^x$（$a > 0, a \neq 1$）
特殊形式：$y = \left( \frac{1}{a} \right)^x$
常用指数函数：$y = e^x$，其中 $e \approx 2.7182818\cdots$

性质

$a^{x_1 + x_2} = a^{x_1} \cdot a^{x_2}$
$a^{x_1 - x_2} = \dfrac{a^{x_1}}{a^{x_2}}$
$a^{x_1 x_2} = (a^{x_1})^{x_2}$
$a^{-x} = \dfrac{1}{a^x}$
$a^{x+c} = a^c \cdot a^x$

基本特征

自变量增加固定量 $c$ 时，函数值乘以固定数 $b = a^c$

4. 对数函数

定义

指数函数的反函数：$y = \log_a x$（$a > 0, a \neq 1$）
定义域：$(0, +\infty)$
图像位于 $y$ 轴右侧，过点 $(1, 0)$，与 $y = a^x$ 关于 $y = x$ 对称

性质

$a^{\log_a x} = x$
$\log_a a^x = x$
$\log_a (x_1 x_2) = \log_a x_1 + \log_a x_2$
$\log_a \dfrac{x_1}{x_2} = \log_a x_1 - \log_a x_2$
$\log_a x^m = m \log_a |x|$
换底公式：$\log_b x = \dfrac{\log_a x}{\log_a b}$

自然对数

$y = \ln x$（即以 $e$ 为底的对数函数）

5. 三角函数

基本函数

正弦函数 $\sin x$
余弦函数 $\cos x$
正切函数 $\tan x$
余切函数 $\cot x$
正割函数 $\sec x$
余割函数 $\csc x$

周期性

$\sin x$、$\cos x$ 的周期为 $2\pi$

奇偶性

奇函数：$\sin x$
偶函数：$\cos x$

主要性质

类型	公式
平方关系	$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$，$1 + \tan^2 x = \sec^2 x$
两角和差	$\sin(x \pm y) = \sin x \cos y \pm \cos x \sin y$ $\cos(x \pm y) = \cos x \cos y \mp \sin x \sin y$ $\tan(x \pm y) = \dfrac{\tan x \pm \tan y}{1 \mp \tan x \tan y}$
二倍角	$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ $\tan 2x = \dfrac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x}$
积化和差	$\sin x \cos y = \frac{1}{2} [\sin(x+y) + \sin(x-y)]$ $\cos x \sin y = \frac{1}{2} [\sin(x+y) - \sin(x-y)]$ $\cos x \cos y = \frac{1}{2} [\cos(x+y) + \cos(x-y)]$ $\sin x \sin y = -\frac{1}{2} [\cos(x+y) - \cos(x-y)]$

正弦函数 $y = \sin x$

图像特征：波浪形曲线，在 $[-2\pi, 2\pi]$ 区间内展示出完整的周期性。
周期：$2\pi$
值域：$[-1, 1]$

余弦函数 $y = \cos x$

图像特征：与正弦函数相似，但相位向左平移 $\frac{\pi}{2}$。
周期：$2\pi$
值域：$[-1, 1]$

正切函数 $y = \tan x$

定义域：$\{x \mid x \in \mathbb{R}, x \neq (2n+1)\frac{\pi}{2}, n \in \mathbb{Z}\}$
周期：$\pi$
图像特征：在每个周期内从 $-\infty$ 增至 $+\infty$，有垂直渐近线。

余切函数 $y = \cot x$

定义域：$\{x \mid x \in \mathbb{R}, x \neq n\pi, n \in \mathbb{Z}\}$
周期：$\pi$
图像特征：与正切函数相似，但相位相差 $\frac{\pi}{2}$。

正割函数 $y = \sec x$

定义：$\sec x = \frac{1}{\cos x}$
周期：$2\pi$

余割函数 $y = \csc x$

定义：$\csc x = \frac{1}{\sin x}$
周期：$2\pi$

6. 反三角函数

反三角函数是三角函数的反函数，限制在单调区间内定义：

函数	表示	定义域	值域（主值分支）
反正弦	$y = \arcsin x$	$[-1, 1]$	$\left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]$
反余弦	$y = \arccos x$	$[-1, 1]$	$[0, \pi]$
反正切	$y = \arctan x$	$(-\infty, +\infty)$	$\left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$
反余切	$y = \operatorname{arccot} x$	$(-\infty, +\infty)$	$(0, \pi)$

六、初等函数的定义

初等函数：由以下五类基本初等函数：
- 幂函数
- 指数函数
- 对数函数
- 三角函数
- 反三角函数
  以及常数，经过有限次的四则运算和函数复合步骤构成的函数。
特点：初等函数必定能用一个解析式表示。

作为初等函数的例子:

$y = \ln \arctan \sqrt{1 + x^2}$ $y = \sin^2 x$ $y = \frac{1}{2} \ln \frac{1 + x}{1 - x}$

初等函数与非初等函数

初等函数：由基本初等函数经过有限次四则运算和复合步骤构成的函数。
非初等函数：如分段函数、表格表示的函数等，不属于初等函数。

例子：

$y = |x|$ 是非初等函数（分段函数）。
$y = \sqrt{x^2}$ 是初等函数。
$y = x^x = e^{x \ln x}$ 是初等函数（通过指数与对数复合）。
$y = (\sin x)^{\cos x} = e^{\cos x \ln \sin x}$ 是初等函数。

2. 双曲函数及其性质

定义：

双曲正弦：$\sinh \, x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$
双曲余弦：$\cosh \, x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$
双曲正切：$\tanh \, x = \frac{\sinh \, x}{\cosh \, x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$

定义域：

均为 $(-\infty, +\infty)$，除 $\tanh x$ 的分母不为零。

图像特征：

$y = \cosh \, x$ 为偶函数，开口向上；
$y = \sinh \, x$ 为奇函数，通过原点；
两者渐近于 $\frac{1}{2}e^x$ 和 $\frac{1}{2}e^{-x}$。

双曲函数的恒等式

$\sinh(x \pm y) = \sinh \, x \, \cosh \, y \pm \cosh \, x \, \sinh \, y$
$\cosh(x \pm y) = \cosh \, x \, \cosh \, y \pm \sinh \, x \, \sinh \, y$
$\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$
$\sinh \, 2x = 2 \, \sinh \, x \, \cosh \, x$
$\cosh \, 2x = \cosh^2 x + \sinh^2 x$

反双曲函数

反双曲正弦：$\arcsinh \, x = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}), \quad x \in (-\infty, +\infty)$
反双曲余弦：$\arccosh \, x = \ln(x + \sqrt{x^2 - 1}), \quad x \in [1, +\infty)$
反双曲正切：$\arctanh \, x = \frac{1}{2} \ln \frac{1 + x}{1 - x}, \quad x \in (-1, 1)$