北京大学
2021 年
哦,北京大学从 2021 年之后不再招研究生了。好耶 (x)
2020 年
一. (15 分) 设 在 上上半连续,即 皆有上极限. (端点处只考虑单侧极限). 问: 在 上必有最大值?给出证明或举出反例.
提示
上半连续函数在有界闭区间上必有最大值.
由 知,对于任意的, 存在 使得对于任意的, 当 时,有
所以 在 附近有上界,也即在 的局部开邻域 内 有上界,由于 的任意性, 是有界闭集 的开覆盖。再由有限覆盖定理,存在有限多个 使得 在有限多个开邻域内有上界,从而 在 上有上界。于是 存在有限,记其值为. 并设点列 满足, (比如根据上确界的定义,取满足 的点作为 ). 由于 为紧集,所以不妨设这样的 是收敛序列,并设, 由于
所以.
二. (15 分) 在 上是否一致连续?证明你的结论.
提示
任取固定的正整数, 令
则
由于对于任意的, , 则
再取, 则有
所以尽管, 但当 充分大时, 有正下界。所以 在 上不一致连续.
三. (15 分) 设 在 上连续, 及
问 是否存在?证明你的结论或举出反例.
提示
对于任意固定的, 容易证明
对于任意的 成立,所以
两边同时对 取上极限,则有
于是对于任意事先固定的, 恒有
由于上式左边是一个与 无关的常数,右边是 的函数,对上式的 取下极限得到
由于 存在有界,所以 存在.
四. (15 分) 设, 单增且, , 定义.
(1) (7 分) 证明: ;
(2) (8 分) 指出 与 的大小关系并证明你的结论. (可应用物理或几何直观).
提示
(1).
要证, 只需证
而
由于 在 上单调递增,故当 时,
所以.
由于 单调增加,所以对任意的 , 有
即
两边对 从 到 积分可得不等式.
(2).
设, , 则 是下凸单调递增函数,只需证明.
由于
两边同乘 并在 上积分有
即, 所以.
设, 在 上下凸递增,所以只需证明. 将 按照分点 划分,则由 的凸性有
其中
由于 连续,所以 也连续,故 是 Riemann 可积函数,所以当时,
考虑物理意义:即考虑一根在区间 上密度为 的棒,则 是其重心所在位置,重心的左右两侧保持杠杆平衡,也就是满足重力与重力臂的乘积相等,即, 的左边更长,其力臂更长,对应的重力小一些,也就是质量轻一点,因此
五. (15 分) 已知, 计算
并说明计算依据.
六. (15 分) 设曲面 由 函数, 给出,此处 为 平面上的单连通区域,其边界为 简单闭曲线, , , 在承认平面 Green 公式的前提下,请给出如下特殊情形 Stokes 公式的证明:
七. (15 分) 设 在 上有连续二阶偏导数,满足 及, 用 表示中心在原点,半径为 的圆周,请求出 在 上的平均值
其中积分为第一型曲线积分.
八. (1) (10 分) 设, 求, , 以 为周期的 Fourier 级数,
并给出其函数.
(2) (15 分) 证明余元公式, 此处 为 Beta 函数.
九. (20 分) 对整数, 定义 为下面三角多项式:
对于, 取整数 及实数 满足
(满足上述要求的数是存在的,如, , ).
(1) 证明: 为 周期的周期函数;
(2) 的 Fourier 级数在 点是否收敛?说明理由.
2019 年 10
2. (10 分) 且 . 证明存在 , 使得 且 ,
.
4. (10 分) 已知无穷乘积 收敛,是否有 收敛?证明或者举出反例.
6. (20 分) 为 上二次可微函数,若 存在, 有界。证明 .
7. (20 分) 数列 有界,且 , , , . 证明 , 都有 的子列收敛于 .
8. (20 分) , 讨论级数
的绝对敛散性和条件敛散性.
9. (20 分) 求 在 处的 Taylor 展开式,并求 .
2018 年 9
1. (每小题 10 分,共 30 分) 证明如下极限:
(1) ;
(2) ;
(3) .
2. (10 分) , , 这里 . 证明:对任意 , 存在 , 使得 .
3. (10 分) 设 是联结 中两点 且长度为 的光滑曲线, 是 中包含 的开集, 在 上连续可微,梯度 的长度在 上的上界为 . 证明:
4. (20 分) 在 点局部三阶连续可微, 表示圆盘: . 计算:
5. (20 分) 在 0 处可导,, 在 点局部 2 阶连续可微,, 为半正定非 阵。证明 在 点取得极小值.
6. (20 分) 证明: 在区间 恰有两个根 , . 证明如下极限存在并求之: .
8. (20 分) , , , 且 . 证明如下极限存在并求之:
2017 年 8
2. (10 分) 证明: 在任何有限区间上一致收敛的充要条件是: .
4. (10 分) 设 , ( 属于某个区间 是 上 向量场 的积分曲线,若 , , . 设 在 上处处非零,证明向量场 的积分曲线不可能封闭 (单点情形除外).
5. (20 分) 假设 , , (). 证明:当 时,.
6. (20 分) 假如 , . 证明: , 使得 .
7. (20 分) 设 是 上的凹 (或凸) 函数且 存在有限,证明 (仅在 可导的点考虑极限过程).
8. (20 分) 设 , 及其各个偏导数 , (), 在点 处取值都是 . 点的 邻域记为 , (). 如果 是严格正定的,则当 充分小时,证明如下极限存在并求之:
9. (30 分) 将 上常值函数 进行周期 奇延拓并展为正弦级数:
记该 Fourier 级数的前 项和为 , 则 , , 且 . 证明 的最大值点是 且 .
2016 年 7
1. (15 分) 用开覆盖定理证明有界闭区间上的连续函数必一致连续.
2. (15 分) 是 上的实函数。叙述关于 Riemann 和 的 Cauchy 准则 (不用证明) 并用你叙述的 Cauchy 准则证明闭区间上的单调函数可积.
3. (15 分) 上的连续函数 有反函数。证明反函数连续.
4. (15 分) 是 映射,. 证明 在 附近确定了一个隐函数 . 证明 二次可微并求出 的表达式.
5. (15 分) , 是 映射, 为开集且 的 Jacobi 矩阵的秩处处为 . 证明 将 中的开集映为开集.
6. (15 分) , . 证明 收敛并求极限值.
7. (15 分) 证明 收敛并求值。写出计算过程.
8. (15 分)
(1) 证明存在 上的多项式序列 使得 并使得对于 上的连续函数 , 若 , , 则必有 .
(2) 设 在 平方可积, 关于 (1) 中 的展式为 . 问
是否成立.
9. (15 分) 正项级数 收敛,, 令 . 证明 收敛并求 .
10. (15 分) 幂级数 的收敛半径为 , . 证明 收敛的充分必要条件为 在 上一致收敛.
2015 年 6
5. 证明函数级数 在 一致收敛,并且在 有连续导数.
7. 函数 , 且对于任意 , . 证明: 没有极大值点.
8. 在 连续,在 可导,且 , . 证明: 必具备下述两条性质中的一个:
(1) 任意 , 有 ;
(2) 存在 , 使得 .
9. 是 映射,, , , 且 在 处的 Jacobi 矩阵 的秩为 2. 证明:存在 , 以及 映射 , 使得 是非零向量,且 .
10. 开集 , 是同胚映射,且 在 上一致连续。证明: .
2014 年 5
1. 叙述实数序列 的 Cauchy 收敛原理,并且使用 Bolzano-Weierstrass 定理证明.
2. 序列 满足 , , 证明此序列收敛并求极限.
6. 设函数 在 可微,在 点连续,且 , , 证明 在 处可微.
7. 设 是 上的连续函数,且 . 证明存在 , 使得 .
8. 记 , 设 , 是 向量场, 在 上恒为 , 在 恒为 .
(1) 设 是 函数,求 ;
(2) 求 .
10. 是 函数,, 且 , . 记曲线 的弧长是 . 证明 .
2013 年 4
3. 类比第二型曲线积分 , 给出积分 的定义,并给出合理的可积判别准则和计算方法,证明你的结论.
4. 是 上的单调函数,定义 , 证明任意 , 极限
存在,并等于 的傅里叶级数的和.
6. 是 上一致有界的函数列,并且在任意的闭区间上一致收敛于 . 对于任意固定的 , 是单调递增或者递减的函数。又 收敛,证明 与 都在 上可积,并且有
7. 定义在 上,且对于任意固定的 , 在 上可积。而且 , , 当 , 时,有
证明 在 上可积, 在 上可积,且积分相等.
8. 正项级数 收敛,, (), 证明 , ().
9. 用两种方法将积分 化成累次积分,其中 是 , , 轴围成的区域.
2012 年 3
1. 叙述函数在区间 上 Riemann 可积的定义,问:定义中的任意分割是否可以改为等距分割并说明理由.
2. 由 确定 为 的函数, 求在 处 带两阶 Peano 余项的 Taylor 展开式. (可能有误)
5. 由实数域的确界原理直接证明连续函数的介值定理,再应用连续函数介值定理证明确界定理.
6. 设, 是定义在 上的二阶连续可微的二元函数并且在上连续,在 的边界 上有, 又 在 上满足, 求证在 上恒有.
7. 在 上可导,且 是 的唯一间断点,记
问: 是什么样的集合?若 在 上 () 阶可导,证明 在 上有无穷多个零点.
8. 设, 构造一个在 上无穷次可微的函数, 使得 在 上等于, 在 上等于.
9. 叙述并证明型的 L’Hospital 法则.
- TODO.
2011 年
1. 用确界存在定理证明:如果 是区间 上的连续函数,则 是一个区间.
2. 可微函数 在 上有界, 不存在。证明:存在数列 满足 , 使得 .
4. 构造两个以 为周期的函数,它们的 Fourier 级数在 上一致收敛于 0.
6. 在其定义域中的某个点上存在非零方向导数,且在三个方向上的方向向量均相等。证明 不可微.
7. 设 为 中由一条光滑曲线所围成的无界闭区域,试构造一个函数 , 使它在 上的二重积分 发散.
8. 设 , 是一个凸区域, 在 上有连续二阶偏导数,其 Jacobi 行列式正定。证明 是单射.
10. 设 在 上连续, 在 上一致有界,并且 逐点收敛于极限函数 . 证明 在 上连续.
2010 年
2. (15 分) 是否存在数列, 其极限点构成的集合为, 说明理由.
3. (15 分) 设 是无穷区间, 为 上的非多项式连续函数。证明:不存在 上的一致收敛的多项式序列, 其极限函数为.
4. (15 分) 在 上连续,在 上可导,且满足. 求证:存在 使得.
5. (15 分) , 是有界闭区间,, 证明函数序列 在 上一致收敛。如果 是有界开区间,问 在 上是否仍然一致收敛?说明理由.
6. (15 分) 构造 上的函数, 使其在 上间断,其它点连续.
7. (15 分) 广义积分 与 均收敛,证明:
在 上有定义,并且有连续导函数.
8. (15 分) 计算曲线积分
其中 为 与 的交线,从 轴正向看是逆时针.
9. (15 分) 证明下面的方程在点 附近唯一确定了隐函数,
并将 在点 展开为带 Peano 型余项的 Taylor 公式,展开到二阶.
10. (15 分) 是 上的非负单调递减连续函数,且 和 均发散,设, 试问 是否一定发散?说明理由.
2009 年
2. 设, 是 上的有界一致连续函数,求证 在 上一致连续.
3. 设 是周期为 的连续函数,且其 Fourier 级数
处处收敛,求证这个 Fourier 级数处处收敛到.
4. 设和都是有界数列,且. 若 存在,求证 也存在.
9. 设, 且对于任何 都有
求证 在 上单调不减.
2008 年
2. 是否存在 上的连续函数, 满足? 证明你的结论.
3. 数列, (), 满足对于任意的 $n\frac{1}{n} \left\{x_{n}\right\} $ 无界.
4. 是 上的无穷次可导函数,, , 令, . 证明对所有正整数, .
5. 求
其中 为球面 被圆柱面, (), 所截得的部分,定向取外侧.
7. 在 上内闭 Riemann 可积,且 数列,求证
8. 是 上的二阶连续可导函数,满足:
1). ;
2). 存在, 满足. 求证: 在 上变号.
9. 是周期为 的连续函数,. 在 上有连续一阶导函数,.
求证:
10. 在 上 Riemann 可积,且对 上任何有限个两两不交的闭区间, , 都有
求证:
2007 年
这里转的内容的顺序可能会有些不同.
2. , 在有界区间上一致连续,证明 在此区间上也一致连续.
3. 已知 在 上有 阶导数,且有, , . 证明:存在, 使 成立.
4. 构造一函数在 上无穷次可微,且, , 并说明满足条件的函数有任意多个.
5. 设, 是 删连续函数,证明
这样的 有无穷多个.
7. 是 上连续函数,试作一个无界区域, 使 在 上广义积分收敛.
9. , 是否存在 以及函数 在 可导,且, 使.
10. 设, 在 上 Riemann 可积,证明: , 的 Fourier 展开式有相同的系数的充要条件是.
2006 年
满分 150 分,每小题 15 分,考试时间 3 小时.
1. 确界存在原理是关于实数域完备性的一种描述,试给出一个描述实数域完备性的其他定理,并证明其与确界存在原理的等价性.
2. 设函数, 求 在 处二阶带 Peano 余项的 Taylor 展开。问 在 上有哪些关于极值的判别点,这些点是否为极值点,说明理由.
3. 设.
(1) 证明方程 在 上确定唯一的隐函数;
(2) 求 的极值点.
4. 计算第二型曲面积分, 其中曲面 是椭球面 的外侧.
6. 设 定义在 上, 固定时对 连续。设 取定,对于任意的, 极限 收敛。证明重极限
对于任意的 成立的充分必要条件是,极限 在 上一致收敛.
7. 若函数 在区间 上有界,给出并证明 在 上 Riemann 和的极限
收敛的 Cauchy 准则.
8. 设 是 上的一连续函数列,满足存在常数, 使得对于任意的 和 恒有. 假定对于 中任意的区间 都有
证明:对于任意的区间 以及 上绝对可积函数, 恒有
9. 设存在一区间 使得两个 Fourier 级数
都在 上收敛,并且其和函数在 上连续且相等.
问对于任意的自然数, , 是否成立?如成立,请证明;如不成立,加上什么条件后能保证成立,说明理由.
10. 设 在 上内闭 Riemann 可积,证明:广义积分 绝对可积的充分必要条件是:对于任意的满足, 的单调递增序列, 级数 绝对收敛.
2006 年 - ?
试卷满分 150 分,每小题 15 分,考试时间: 3 小时
1. 证明:确界存在原理与有界单调递增序列必有极限原理是等价的.
2. 设函数 由方程 所确定,求 的极值点和极值,并判断是极大值还是极小值。说明理由.
3. 设 , 满足 , 在 中连续,且 , 证明:存在 , 使得当 时有惟一连续,可微的隐函数 满足方程 且 .
4. 计算曲面积分 , 其中曲面 为第一卦限椭球面 , ().
5. 设 定义在 上, 固定时对 连续。设 取定,对于任意 , 极限 收敛。证明重极限
对任意 成立的充分必要条件是,极限 在 上一致收敛.
7. 若函数 在区间 上有界,满足 , , 对 的任意两个分割 , 只要其分割的小区间的最大长度 , , 就有相应的两种 Riemann 和之差满足 , 则称其满足 Cauchy 准则。证明: Cauchy 准则与 Riemann 可积是等价的.
8. 设函数 在 上 Riemann 可积且满足 , 函数 , 满足 , 记 , 证明 存在,并求出此极限. (其中 表示不大于 的最大整数)
9. 如果区间 上 Riemann 可积的函数 能在这个区间上展开成如下三角级数
证明:这个级数必为 的傅立叶级数.
10. 设 在 上内闭 Riemann 可积,证明:广义积分 绝对可积的充分必要条件是:对于任意满足 , 的单调递增序列 , 级数 绝对收敛.
2005 年
2. (1) 设 在开区间 可微,且 在 有界。证明 在 一致连续.
(2) 设 在开区间, (), 可微且一致连续,试问 在 是否一定有界.
(若肯定回到,请证明;若否定回答,举例说明)
3. 设.
(1) 求 的麦克劳林展开式.
(2) 求. ()
4. 试做出定义在 中的一个函数, 使得它在原点处同时满足以下三个条件:
(1) 的两个偏导数都存在;(2) 任何方向极限都存在;(3) 原点不连续.
6. 设函数列 满足下列条件:
(1) 对于任意的, 在 连续且有, ();
(2) 点点收敛于 上的连续函数.
证明: 在 上一致收敛于.
2002 年
1. (10 分) 求极限.
提示
用带 Lagrange 余项的 Taylor 公式
2. (10 分) 设, , , , 证明极限 存在并求极限值.
提示
由于
从而数列收敛,设, 对 两边取极限得, 解的.
容易证明数列 是单调有界的,所以有极限,对递推公式两边同时取极限算得极限为.
3. (10 分) 设 在 上连续,证明存在, 使得.
提示
构造函数, 则有
所以, 由函数 的连续性和介值定理,存在, 使得, 即存在, 使得
5. (10 分) 设 有二阶连续偏导数。证明 满足偏微分方程
当且仅当:存在二阶连续可微函数, , 使得
提示
充分性:由 可知,
和
所以
必要性:设 , 所以 , 从而
直接代入计算
所以 , 从而 ,
所以
其中 和 都是任意的连续函数。注意到 是二阶可导的,这使得 和 都是二阶可导函数,所以 可以写成 的形式。因此
取
所以有
必要性:考虑对应的特征方程
则有, 解出特征线为.
令, , 则, ,
代入原方程,化简得到. 解的, , 所以
充分性部分同前一种证法.
6. (10 分) 计算三重积分
其中 是曲面 与 围成的有界区域.
提示
也可以先计算内层积分。计算两曲面的交线为, . 记
则
根据对称性
7. (10 分) 计算第二型曲面积分
其中 是球面 () 的外侧.
提示
用高斯公式
其中 , 根据对称性可知 , 所以 , 做球坐标代换,有 , 则有
也可以用 的对称性,因为, 所以
8. (10 分) 判断级数 的收敛性并给出证明.
提示
根据比较判别法可知:
所以,当 , , 注意到 收敛,所以根据比较判别法,级数 收敛.
9. (10 分) 证明: (1) 函数项级数 在区间 上不一致收敛;
(2) 函数项级数 在区间 上可逐项求导.
提示
(1). 设, 对于任意固定的, 因为
所以 在 上收敛;或者对于任意固定的, 当 充分大时用
由 的收敛性知 在 上收敛.
最后,因为 不趋向于零,所以 不一致收敛于, 从而 在 上也不一致收敛.
(2). 对于任何, 存在, 使得. 于是 时,有
与
所以,, 在 上一致收敛,于是 在 上连续,且有 在 上连续,所以 在点 处连续可微.
由于 的任意性,函数 在 上连续可微,且.
10. (10 分) 设 连续,. 求.
提示
.
注意,本题是用 的一重积分给出了 的原函数的原函数,可推广.
2001 年
1. (10 分) 求极限
提示
当 时,有, 于是;
当 时,有, 于是;
当 时,有, 于是.
3. (10 分) 证明函数 在 上一致连续.
提示
对 求导,
显然 在 上有界,于是 在 上一致连续.
4. (10 分) 设 是包含原点的平面凸区域, 在 上可微,
证明: 在 上恒为常数.
提示
对于任意的, 设, 由于 在 上可微,且 是凸区域,所以 的定义域是一个连通的区间。所以有
所以 在其定义域上为常数函数,由中值定理,
其中, 故有 在 上恒为常数.
可微函数不一定 Riemann 可积,所以应避免使用曲线积分证明.
5. (10 分) 计算第一型曲面积分
其中 是锥面 被柱面, () 割下的部分.
提示
由于, 在 平面上的投影记为
所以
再结合区域 的对称性,有
也可以使用极坐标变换计算二重积分,设, , 则区域 表示满足 的区域,其中, 由, 有
6. (10 分) 求极限
其中 在 上连续,, .
提示
问题: 设函数 在 上连续可导,且. 试求
其中积分区域.
用球面坐标变换
于是
7. (10 分) 求常数, 使得曲线积分
对上半平面的任何光滑闭曲线 成立.
提示
设, , 则
由于曲线积分的值与闭曲线 的选取无关,所以 恒成立,解得.
8. (10 分) 证明函数 在 上无穷次可微.
提示
令, 显然, , 在 上连续;
对于任何, 当 时,, 而 收敛,所以, , , 都在 上一致收敛,故 在 内是连续的,并在这区间内有任意阶连续导数。由于 是任意的,所以 在 内是连续的,并在这区间内有任意阶连续导数.
由于 发散,显然 在 内非一致收敛, 在 内也不一致连续。若 在 内一致连续,则有 存在且有限,而在 中令, 取极限,得, , 矛盾.
9. (10 分) 求广义积分
提示
用 Frullani 积分公式,设, 则 在 上连续,且, , 所以
10. (10 分) 设 是以 为周期的周期函数,且, .
求 与 的 Fourier 级数。它们的 Fourier 级数是否一致收敛 (给出证明)?
2000 年
一。计算: (每题 8 分)
求极限
求 到含 项的 Taylor 展开式.
求积分
其中.
求积分
其中 是实心球, .
求积分
其中 是 的外表面.
二。叙述定义 (每题 5 分)
.
当 时, 不以 为极限.
三. (13 分) 函数 在 上一致连续,又在 上一致连续,, 用定义证明 在 上一致连续.
四. (10 分) 构造一个二元函数, 使得它在原点 两个偏导数都存在,但在原点不可微.
六. (7 分 + 8 分)
在区间 内展开 的 Fourier 级数:
证明它的 Fourier 级数在 内每一点上收敛于.
1999 年
一. (15 分) 判断下列命题的真伪:
设 是一个数列。若在任一子列 中均存在收敛子列, 则 必为收敛列.
设, 若存在
则必存在, 使得.
设 在 上有界。若对任意的, 在 上可积,则 在 上可积.
设 在 上的瑕积分均存在,则乘积 在 上的瑕积分必存在.
设级数 收敛,若有, (), 则级数 必收敛.
二. (40 分) 求下列极限值. (写出计算过程)
三. (45 分) 求解下列命题:
求级数 之和.
设, 且在 上可微。若有, 证明:存在, 使得.
证明:级数 收敛.
证明:积分 在 上不一致收敛.
设, , , 且已知 与 都有一阶连续偏导数,. 求.
设 在 上二次连续可微,且有
证明:级数 绝对收敛.
1998 年
一. (26 分) 选一个最确切的答案,填入括号中.
- 设 定义在 上。若对任意的, 有, 则 ( ).
(A) , (B) , (C) 可微,(D) 可导.
- 设. 若存在 则 ( )
(A) 在 一致连续,(B) 在 连续,(C) 在 一致连续,(D) 在 可微.
- 若反常 (广义) 积分, 都存在,则反常积分
(A) 收敛,(B) 发散,(C) 不一定收敛,(D) 一定不收敛.
- 若, 则?
(A) 发散,(B) 收敛,(C) 不一定收敛,(D) 绝对收敛.
- 设 在区域 上有定义。若存在偏导数 则?
(A) 在点 处连续,(B) 在点 处可微,(C) 在点 处不一定连续,(D) 在点 处不可微.
二. (24 分) 计算下列极限 (写出演算过程)
, ().
.
.
三. (10 分) 求下列积分值.
, 其中, , .
, 其中, , 逆时针一周.
四. (16 分) 解答下列问题:
求幂级数 的收敛半径.
求级数 的和.
五. (24 分) 试证明下列命题:
反常积分, () 是收敛的.
设 在 上有定义。若 在 处连续,且 在 上有界,则 在 处连续.
1997 年
一. (10 分) 将函数 在 点展开为幂级数,并指出收敛区间.
三. (15 分) 设 在 上有任意阶导数 , 且对任意有限闭区间 , 在 上一致收敛于 (), 求证: , 为常数.
四. (15 分) 设 , () 及 , 用 语言证明: .
五. (15 分) 求第二型曲面积分 , 其中 为 的外侧.
六. (20 分) 设 , , 有二阶连续偏导数,满足 , , , 证明:
(1) ,
(2) 满足 .
1996 年
一. (共 25 分) 判断下列命题的真伪,不必说明理由.
- 对数列 作和 , 若 是有界数列,则 是有界列.
- 数列 存在极限 的充分必要条件是:对任一自然数 , 都有
- 设 是 上的递增连续函数,若 在 上有界,则 在 上一致连续.
- 设 在 上连续,且在 上可微,若存在极限 , 则右导数 存在且等于 .
- 若 是 上的非负连续函数,且积分 收敛,则 .
二. (13 分) 设 在 处可微,, 求极限: .
三. (20 分)
- 求幂级数 , () 的和.
- 求级数 的和.
四. (12 分) 求积分 的值。其中 是由平面 以及三个坐标平面所围成的区域.
五. (20 分) 设 , (), 且 , 若存在极限 , 证明: .
六. (10 分) 设在 上, 一致收敛于 一致收敛于 , 若存在正数列 使得 , , (, ), 证明: 在 上一致收敛于 .
研究生保送试题
2005 级
二. (10 分) , , 求证: 有极限存在.
提示
中 与 均为单调有界数列,故收敛,且有相同的极限.
三. (10 分) 在区间 上任意点可以展开成幂级数,且在 上存在一列, 使得, ; 且对于任意的 有. 求证: , .
提示
由于 在区间 上的任意一点可以展开成幂级数,所以 所展开的幂级数在 上内闭一致收敛。由于幂级数的部分和均是 上的连续函数,所以 在 上也连续,(因为连续函数的一致收敛极限是连续函数). 由于 是任意的,而且存在序列 满足 且, 取极限并利用 的连续性可得. 所以.
四. (18 分) 设 在区间 一致连续。问 在 上是否一致连续?并证明 在 上一致连续.
提示
不一定一致连续。取, , 则 在 上不一致连续。因为存在, 对于任意的, 存在, , 使得
所以 在 上不一致连续.
取, 在 上有界,所以 在 上一致连续。另一方面,, 所以 在 上一致连续,所以 在 上一致连续.
五. (12 分) 将 在 上分别展开成为正弦和余弦级数,并说明其级数的和收敛到何种函数.
七. (10 分) 设 在 严格单调上升,且, . 求证:
八. (10 分) 设 在 上单调下降趋于零, 为非常值的周期函数。求证: 收敛等价于 收敛.
九. (10 分) 求解二型曲线积分
其中 为 从 经上半平面到 的部分.
提示
用 Green 公式,对于封闭曲线: ,
而在 上
所以
References
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