北京大学考研数学分析问题合集

随缘更新解答，长期更新的博文.

北京大学

2021 年

哦，北京大学从 2021 年之后不再招研究生了。好耶 (x)

2020 年

一. (15 分) 设$f(x)$ 在$[a,b]$ 上上半连续，即$\mathrm{\forall }{x}_0\in [a,b]$ 皆有上极限$\underset{x\to x_0}{lim sup}f(x)\le f(x_0)$. (端点处只考虑单侧极限). 问: $f(x)$ 在$[a,b]$ 上必有最大值？给出证明或举出反例.

提示

上半连续函数在有界闭区间上必有最大值.
由$\underset{x\to x_0}{lim sup}f(x)\le f(x_0)$ 知，对于任意的$\epsilon >0$, 存在$\delta >0$ 使得对于任意的$x\in [a,b]$, 当$|x-x_0|<\delta$ 时，有

$$f(x)<f(x_0)+\epsilon .$$

所以$f(x)$ 在$x_0$ 附近有上界，也即在$x_0$ 的局部开邻域$U(x_0,\delta )$ 内$f$ 有上界，由于$x_0$ 的任意性，$\{U(x_0,\delta ):x_0\in [a,b]\}$ 是有界闭集$[a,b]$ 的开覆盖。再由有限覆盖定理，存在有限多个$x_0$ 使得$f$ 在有限多个开邻域内有上界，从而$f$ 在$[a,b]$ 上有上界。于是$\underset{x\in [a,b]}{sup}f(x)$ 存在有限，记其值为$M$. 并设点列$\left\{x_n\right\}\subseteq [a,b]$ 满足$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x_n)=M$, (比如根据上确界的定义，取满足$M-\frac{1}{n}<f(x)\le M$ 的点作为 $x_n$). 由于$[a,b]$ 为紧集，所以不妨设这样的$\left\{x_n\right\}$ 是收敛序列，并设$x_n\to x^{\ast }$, 由于

$$M=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}f(x_n)\le \underset{x\to x^{\ast }}{lim sup}f(x)\le f(x^{\ast })\le M,$$

所以$f(x^{\ast })=M$.

二. (15 分) $f(x)=\frac{x}{1+x{\cos }^{2}x}$ 在$[0,+\mathrm{\infty })$ 上是否一致连续？证明你的结论.

提示

任取固定的正整数$m$, 令

$$x_n=(n+\frac{1}{2})\pi ,y_n=(n+\frac{1}{2})\pi +\frac{1}{m},$$

则

$$\begin{array}{rl}|f(x_n)-f(y_n)|& =|n\pi +\frac{\pi }{2}-\frac{n\pi +\frac{\pi }{2}+\frac{1}{m}}{1+(n\pi +\frac{\pi }{2}+\frac{1}{m})\cdot {\sin }^2\left(\frac{1}{m}\right)}|\\ & =\frac{{(n+\frac{1}{2})}^2{\pi }^2{\sin }^2\frac{1}{m}+(n+\frac{1}{2})\frac{\pi }{m}{\sin }^2\frac{1}{m}-\frac{1}{m}}{1+((n+\frac{1}{2})\pi +\frac{1}{m})\cdot {\sin }^2\left(\frac{1}{m}\right)}.\end{array}$$

由于对于任意的$x\in (0,\frac{\pi }{2})$, $|\sin x|\ge \frac{2}{\pi }x$, 则

$$\begin{array}{rl}|f(x_n)-f(y_n)|& \ge \frac{{(n+\frac{1}{2})}^2{\pi }^2{\left(\frac{2}{\pi }\frac{1}{m}\right)}^2+(n+\frac{1}{2})\pi \frac{1}{m}{\left(\frac{2}{\pi }\frac{1}{m}\right)}^2}{1+(n+\frac{1}{2})\pi +\frac{1}{m}}\\ & \ge \frac{4{(n+\frac{1}{2})}^2\frac{1}{m^2}+(n+\frac{1}{2})\frac{4}{\pi }\frac{1}{m^3}}{2n\pi +\frac{1}{m}}.\end{array}$$

再取$m=\sqrt{n}$, 则有

$$|f(x_n)-f(y_n)|\ge \frac{4{(n+\frac{1}{2})}^2\frac{1}{n}+\frac{4}{\pi }(n+\frac{1}{2})\frac{1}{n\sqrt{n}}}{2n\pi +\frac{1}{\sqrt{n}}}\to \frac{2}{\pi },n\to \mathrm{\infty }.$$

所以尽管$|x_n-y_n|\to 0$, 但当$n$ 充分大时，$|f(x_n)-f(y_n)|$ 有正下界。所以$f(x)$ 在$[0,+\mathrm{\infty })$ 上不一致连续.

三. (15 分) 设$f(x)$ 在$[1,+\mathrm{\infty })$ 上连续，$f(x)\ge 0$ 及

$$f(x+y)\le f(x)+f(y),\mathrm{\forall }x,y\in [0,+\mathrm{\infty }),$$

问$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{x}$ 是否存在？证明你的结论或举出反例.

提示

对于任意固定的$x\in [1,+\mathrm{\infty })$, 容易证明

$$f(yx)\le \left[y\right]f(x)+f\left(\left\{y\right\}x\right)$$

对于任意的$y\ge 1$ 成立，所以

$$\frac{f(yx)}{yx}\le \frac{\left[y\right]f(x)}{yx}+\frac{f\left(\left\{y\right\}x\right)}{yx},$$

两边同时对$y$ 取上极限，则有

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim sup}\frac{f(x)}{x}=\underset{y\to \mathrm{\infty }}{lim sup}\frac{f(yx)}{yx}\le \underset{y\to \mathrm{\infty }}{lim sup}(\frac{\left[y\right]f(x)}{yx}+\frac{f\left(\left\{y\right\}x\right)}{yx})=\frac{f(x)}{x}.$$

于是对于任意事先固定的$x\in [1,+\mathrm{\infty })$, 恒有

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim sup}\frac{f(x)}{x}\le \frac{f(x)}{x}<\mathrm{\infty },$$

由于上式左边是一个与$x$ 无关的常数，右边是$x$ 的函数，对上式的$x$ 取下极限得到

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim sup}\frac{f(x)}{x}\le \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim inf}\frac{f(x)}{x}.$$

由于$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim sup}\frac{f(x)}{x}$ 存在有界，所以$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{x}$ 存在.

四. (15 分) 设$f(x)\in C[0,1]$, 单增且$f(x)>0$, $x\in [0,1]$, 定义$s=\frac{{\int }_0^{1}xf(x)\mathrm{d}x}{{\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x}$.
(1) (7 分) 证明: $s\ge \frac{1}{2}$;
(2) (8 分) 指出${\int }_0^{s}f(x)\mathrm{d}x$ 与${\int }_s^{1}f(x)\mathrm{d}x$ 的大小关系并证明你的结论. (可应用物理或几何直观).

提示

(1).

• 方法 1
• 方法 2
• 方法 3

要证$s\ge \frac{1}{2}$, 只需证

$$I={\int }_0^1(x-\frac{1}{2})f(x)\ge 0,$$

而

$$\begin{array}{rl}I& ={\int }_0^{\frac{1}{2}}(x-\frac{1}{2})f(x)\mathrm{d}x+{\int }_{\frac{1}{2}}^1(x-\frac{1}{2})f(x)\mathrm{d}x\\ & ={\int }_0^{\frac{1}{2}}(x-\frac{1}{2})f(x)\mathrm{d}x-{\int }_0^{\frac{1}{2}}(x-\frac{1}{2})f(1-x)\mathrm{d}x\\ & ={\int }_0^{\frac{1}{2}}(x-\frac{1}{2})(f(x)-f(1-x))\mathrm{d}x.\end{array}$$

由于$f(x)$ 在$[0,1]$ 上单调递增，故当$x\in [0,\frac{1}{2}]$ 时，

$$(x-\frac{1}{2})(f(x)-f(1-x))\ge 0,$$

所以$I\ge 0$.

由 Chebyshev 不等式有

$${\int }_0^{1}xf(x)\mathrm{d}x\ge {\int }_0^{1}x\mathrm{d}x\cdot {\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}{\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x,$$

所以$s\ge \frac{1}{2}$.

由于 $f(x)$ 单调增加，所以对任意的 $x\in [a,b]$, 有

$$(x-\frac{a+b}{2})(f(x)-f\left(\frac{a+b}{2}\right))\ge 0,$$

即

$$xf(x)-\frac{a+b}{2}f(x)\ge (x-\frac{a+b}{2})f\left(\frac{a+b}{2}\right),$$

两边对 $x$ 从 $a$ 到 $b$ 积分可得不等式.

(2).

• 方法 1
• 方法 2
• 方法 3

设$F(x)={\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$, $x\in [0,1]$, 则$F(x)$ 是下凸单调递增函数，只需证明$F\left(s\right)\le \frac{1}{2}F(1)$.
由于

$$F(x)-F(s)={\int }_s^{x}f(t)\mathrm{d}t\ge f(s)(x-s),$$

两边同乘$f(x)$ 并在$[0,1]$ 上积分有

$${\int }_0^{1}F(x)f(x)\mathrm{d}x-{\int }_0^{1}F(s)f(x)\mathrm{d}x\ge {\int }_0^{1}f(s)f(x)(x-s)\mathrm{d}x=0,$$

即$\frac{1}{2}F(1{)}^2\ge F(s)F(1)$, 所以$2F(s)\le F(1)$.

设$g(x)={\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$, 在$[0,1]$ 上下凸递增，所以只需证明$g(s)\le \frac{1}{2}g(1)$. 将$[0,1]$ 按照分点${\left\{x_i\right\}}_{i=1}^n$ 划分，则由$g(x)$ 的凸性有

$$\begin{array}{rl}g(s)& =g\left(\frac{{\int }_0^{1}xf(x)\mathrm{d}x}{{\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x}\right)=g\left(\frac{\sum _{i=1}^n{\int }_{x_{i-1}}^{x_i}tf(t)\mathrm{d}t}{\sum _{i=1}^n{\int }_{x_{i-1}}^{x_i}f(t)\mathrm{d}t}\right)\\ & \le g\left(\frac{\sum _{i=1}^n{x}_i{\int }_{x_{i-1}}^{x_i}f(t)\mathrm{d}t}{\sum _{i=1}^n{\int }_{x_{i-1}}^{x_i}f(t)\mathrm{d}t}\right)=g\left(\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{x}_i\right)\\ & \le \sum _{i=1}^n{\lambda }_{i}g(x_i)=\sum _{i=1}^n\frac{g(x_i)}{g(1)}{\int }_{x_{i-1}}^{x_i}f(t)\mathrm{d}t,\end{array}$$

其中

$${\lambda }_i=\frac{{\int }_{x_{i-1}}^{x_i}f(t)\mathrm{d}t}{\sum _{i=1}^n{\int }_{x_{i-1}}^{x_i}f(t)\mathrm{d}t}=\frac{{\int }_{x_{i-1}}^{x_i}f(t)\mathrm{d}t}{g(1)}.$$

由于$f$ 连续，所以$g$ 也连续，故$fg$ 是 Riemann 可积函数，所以当$n\to \mathrm{\infty }$时，

$$\sum _{i=1}^n\frac{f(x_i)g(x_i)(x_i-x_{i-1})}{g(1)}\to \frac{1}{g(1)}{\int }_0^{1}f(x)g(x)\mathrm{d}x=\frac{g(1)}{2}.$$

考虑物理意义：即考虑一根在区间$[0,1]$ 上密度为$f(x)$ 的棒，则$s$ 是其重心所在位置，重心的左右两侧保持杠杆平衡，也就是满足重力与重力臂的乘积相等，即$F_1{l}_1=F_2{l}_2$, $s$ 的左边更长，其力臂更长，对应的重力小一些，也就是质量轻一点，因此

$${\int }_0^{s}f(x)\mathrm{d}x\le {\int }_s^{1}f(x)\mathrm{d}x.$$

五. (15 分) 已知${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x=\frac{\pi }{2}$, 计算

$$I={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\left(\frac{\sin x}{x}\right)}^2\mathrm{d}x,$$

并说明计算依据.

提示

直接分部积分

$$\begin{array}{rl}I& ={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\left(\frac{\sin x}{x}\right)}^2\mathrm{d}x=-{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\sin }^{2}x\mathrm{d}\left(\frac{1}{x}\right)\\ & =-({\frac{1}{x}{\sin }^{2}x|}_0^{+\mathrm{\infty }}-{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{2\sin x\cos x}{x}\mathrm{d}x)\\ & ={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\sin 2x}{x}\mathrm{d}x={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\sin 2x}{2x}\mathrm{d}(2x)\\ & ={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x=\frac{\pi }{2}.\end{array}$$

六. (15 分) 设曲面$S$ 由$C^2$ 函数$z=f(x,y)$, $(x,y)\in D$ 给出，此处$D$ 为$XOY$ 平面上的单连通区域，其边界为$C^1$ 简单闭曲线$C:x=x(t)$, $y=y(t)$, $t\in [\alpha ,\beta ]$, 在承认平面 Green 公式的前提下，请给出如下特殊情形 Stokes 公式的证明:

$${\int }_{\overrightarrow{L}}R(x,y,z)\mathrm{d}z={\int }_{\overrightarrow{S}}\frac{\partial R}{\partial y}\mathrm{d}y\mathrm{d}z-\frac{\partial R}{\partial x}\mathrm{d}z\mathrm{d}x.$$

七. (15 分) 设$f(x,y)$ 在$\mathbb{R}$ 上有连续二阶偏导数，满足$f(0,0)=0$ 及$f_{xx}+f_{yy}=x^2+y^2$, 用$C_r$ 表示中心在原点，半径为$r$ 的圆周，请求出$f(x,y)$ 在$C_r$ 上的平均值

$$A(r)=\frac{1}{2\pi r}{\int }_{C_r}f(x,y)\mathrm{d}s,$$

其中积分为第一型曲线积分.

八. (1) (10 分) 设$p\in (0,1)$, 求$f(x)=\cos px$, $x\in [-\pi ,\pi ]$, 以$2\pi$ 为周期的 Fourier 级数，
并给出其函数.
(2) (15 分) 证明余元公式$B(p,1-p)=\frac{\pi }{\sin \pi p}$, 此处$B(\cdot ,\cdot )$ 为 Beta 函数.

九. (20 分) 对整数$1<p<q$, 定义$T_{p,q}(x)$ 为下面三角多项式:

$$T_{p,q}(x)=\frac{\cos (q-p)x}{p}+\frac{\cos (q-p+1)x}{p-1}+\cdots +\frac{\cos (q-1)x}{1}-\frac{\cos (q+2)x}{2}-\cdots -\frac{\cos (q+p)x}{p}$$

对于$k\ge 1$, 取整数$1<p_k<q_k$ 及实数 $a_k>0$ 满足

$$q_k+p_k<q_{k+1}-p_{k+1},\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n<+\mathrm{\infty },\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{a}_k\ln p_k>0.$$

(满足上述要求的数是存在的，如$p_k=2^{k^3}$, $q_k=2^{k^3+1}$, $a_k=\frac{1}{k^2}$).
(1) 证明: $f(x)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{T}_{p_k,q_k}(x)$ 为$2\pi$ 周期的周期函数；
(2) $f(x)$ 的 Fourier 级数在$x=0$ 点是否收敛？说明理由.

2019 年 ¹⁰

1. (10 分) 讨论数列 $a_n=\sqrt[n]{1+\sqrt[n]{2+\cdots +\sqrt[n]{n}}}$ 的敛散性.

2. (10 分) $f(x)\in C[a,b]$ 且 $f(a)=f(b)$. 证明存在 $x_n,y_n\in [a,b]$, 使得 $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(x_n-y_n)=0$ 且 $f\left(x_n\right)=f\left(y_n\right)$,
$\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

3. (10 分) 证明恒等式 $\sum _{k=0}^n(-1{)}^k{C}_n^k\frac{1}{k+m+1}=\sum _{k=0}^m(-1{)}^k{C}_m^k\frac{1}{k+n+1}$.

4. (10 分) 已知无穷乘积 $\prod _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}(1+a_n)$ 收敛，是否有 $\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n$ 收敛？证明或者举出反例.

5. (10 分) 设 $f(x)=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{x}^n\ln x$, 求 ${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x$.

6. (20 分) $f(x)$ 为 $(0,+\mathrm{\infty })$ 上二次可微函数，若 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)$ 存在，$f^{\prime \prime }(x)$ 有界。证明 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{f}^{\prime }(x)=0$.

7. (20 分) 数列 $\left\{x_n\right\}$ 有界，且 $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(x_{n+1}-x_n)=0$, $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim inf}{x}_n=l$, $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim sup}{x}_n=L$, $-\mathrm{\infty }<l<L<+\mathrm{\infty }$. 证明 $\mathrm{\forall }c\in [l,L]$, 都有 $\left\{x_n\right\}$ 的子列收敛于 $c$.

8. (20 分) $p>0$, 讨论级数

$$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{\sin \frac{n\pi }{4}}{n^p+\sin \frac{n\pi }{4}}$$

的绝对敛散性和条件敛散性.

9. (20 分) 求 $f(x)=\frac{2x\sin \theta }{1-2x\cos \theta +x^2}$ 在 $x=0$ 处的 Taylor 展开式，并求 ${\int }_0^{\pi }\ln (1-2x\cos \theta +x^2)\mathrm{d}\theta$.

10. (20 分) 证明 ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x=\frac{\pi }{2}$, 求 ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{{\sin }^2(yx)}{x^2}\mathrm{d}x$.

2018 年 ⁹

1. (每小题 10 分，共 30 分) 证明如下极限:
(1) $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+{\int }_0^1\frac{{\sin }^{n}x}{x^n}\mathrm{d}x)}^n=+\mathrm{\infty }$;
(2) $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left({\int }_0^1\frac{\sin (x^n)}{x^n}\mathrm{d}x\right)}^n=\prod _{k=1}^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{\frac{(-1{)}^k}{2k(2k+1)}}$;
(3) $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\ln (1+\frac{k^2-k}{n^2})=\ln 2-2+\frac{\pi }{2}$.

2. (10 分) $f\in C(0,1)$, $\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}=\alpha <\beta =\frac{f\left(x_4\right)-f\left(x_3\right)}{x_4-x_3}$, 这里 $x_1,x_2,x_3,x_4\in (0,1)$. 证明：对任意 $\lambda \in (\alpha ,\beta )$, 存在 $x_5,x_6\in (0,1)$, 使得 $\lambda =\frac{f\left(x_6\right)-f\left(x_5\right)}{x_6-x_5}$.

3. (10 分) 设 $\gamma$ 是联结 ${\mathbb{R}}^3$ 中两点 $A,B$ 且长度为 $L$ 的光滑曲线，$U$ 是 ${\mathbb{R}}^3$ 中包含 $\gamma$ 的开集，$f$ 在 $U$ 上连续可微，梯度 $\mathrm{\nabla }f$ 的长度在 $\gamma$ 上的上界为 $M$. 证明:

$$|f(A)-f(B)|⩽ML.$$

4. (20 分) $f$ 在 $(0,0)$ 点局部三阶连续可微，$D_R$ 表示圆盘: $x^2+y^2⩽R^2$. 计算:

$$\underset{R\to 0^{+}}{lim}\frac{1}{R^4}{\iint }_{D_R}(f(x,y)-f(0,0))\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$

5. (20 分) $\phi (x)$ 在 0 处可导，$\phi (0)=0$, $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 点局部 2 阶连续可微，$\mathrm{\nabla }f(x,\phi (x))=0$, ${({\partial }_{ij}f(0,0))}_{2\times 2}$ 为半正定非 $0$ 阵。证明 $f$ 在 $(0,0)$ 点取得极小值.

6. (20 分) 证明: ${\mathrm{e}}^{-x}+\cos (2x)+x\sin x=0$ 在区间 $((2n-1)\pi ,(2n+1)\pi )$ 恰有两个根 $x_{2n-1}<x_{2n}$, $\mathrm{\forall }n=1,2,3,\cdots$. 证明如下极限存在并求之: $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(-1{)}^{n}n(x_n-n\pi )$.

7. (20 分) 证明: $\underset{x\to 0}{lim}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos (nx)}{n}=+\mathrm{\infty }$.

8. (20 分) $\mathrm{\forall }x\in [1,+\mathrm{\infty })$, $f(x)>0$, $f^{″}(x)⩽0$, 且 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }$. 证明如下极限存在并求之:

$$\underset{s\to 0^{+}}{lim}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{f^s(n)}.$$

2017 年 ⁸

1. (10 分) 证明:

$$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{{\sin }^{n}x}{\sqrt{\pi -2x}}\mathrm{d}x.$$

2. (10 分) 证明: $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{1+n{x}^2}\sin \frac{x}{n^{\alpha }}$ 在任何有限区间上一致收敛的充要条件是: $\alpha >\frac{1}{2}$.

3. (10 分) 设 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ 收敛。证明

$$\underset{s\to 0^{+}}{lim}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{n}^{-s}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n.$$

4. (10 分) 设 $\gamma (t)=(x(t),y(t))$, ($t$ 属于某个区间 $I)$ 是 ${\mathbb{R}}^1$ 上 $C^1$ 向量场 $(P(x,y),Q(x,y))$ 的积分曲线，若 $x^{\prime }(t)=P(\gamma (t))$, $y^{\prime }(t)=Q(\gamma (t))$, $\mathrm{\forall }t\in I$. 设 $P_x+Q_y$ 在 ${\mathbb{R}}^1$ 上处处非零，证明向量场 $(P,Q)$ 的积分曲线不可能封闭 (单点情形除外).

5. (20 分) 假设 $x_0=1$, $x_n=x_{n-1}+\cos x_{n-1}$, ($n=1,2,\cdots$). 证明：当 $n\to \mathrm{\infty }$ 时，$x_n-\frac{\pi }{2}=o\left(\frac{1}{n^n}\right)$.

6. (20 分) 假如 $f\in C[0,1]$, $\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\alpha <\beta =\underset{x\to 1^{-}}{lim}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$. 证明: $\mathrm{\forall }\lambda \in (\alpha ,\beta )$, $\mathrm{\exists }{x}_1,x_2\in [0,1]$ 使得 $\lambda =\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}$.

7. (20 分) 设 $f$ 是 $(0,+\mathrm{\infty })$ 上的凹 (或凸) 函数且 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)$ 存在有限，证明 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}x{f}^{\prime }(x)=0$ (仅在 $f$ 可导的点考虑极限过程).

8. (20 分) 设 $\varphi \in C^3\left({\mathbb{R}}^3\right)$, $\varphi$ 及其各个偏导数 ${\partial }_i\varphi$, ($i=1,2,3$), 在点 $X_0\in {\mathbb{R}}^3$ 处取值都是 $0$. $X_0$ 点的 $\delta$ 邻域记为 $U_{\delta }$, ($\delta >0$). 如果 ${\left({\partial }_{ij}^2\varphi \left(X_0\right)\right)}_{3\times 3}$ 是严格正定的，则当 $\delta$ 充分小时，证明如下极限存在并求之:

$$\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}{t}^{\frac{3}{2}}{\iiint }_{U_{\delta }}{\mathrm{e}}^{-t\varphi (x_1,x_2,x_3)}\mathrm{d}{x}_1\mathrm{d}{x}_2\mathrm{d}{x}_3.$$

9. (30 分) 将 $(0,\pi )$ 上常值函数 $f(x)=1$ 进行周期 $2\pi$ 奇延拓并展为正弦级数:

$$f(x)\sim \frac{4}{\pi }\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2n-1}\sin (2n-1)x.$$

记该 Fourier 级数的前 $n$ 项和为 $S_n(x)$, 则 $\mathrm{\forall }x\in (0,\pi )$, $S_n(x)=\frac{2}{\pi }{\int }_0^x\frac{\sin 2nt}{\sin t}\mathrm{d}t$, 且 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n(x)=1$. 证明 $S_n(x)$ 的最大值点是 $\frac{\pi }{2n}$ 且 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n\left(\frac{\pi }{2n}\right)=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }\frac{\sin t}{t}\mathrm{d}t$.

2016 年 ⁷

1. (15 分) 用开覆盖定理证明有界闭区间上的连续函数必一致连续.

2. (15 分) $f(x)$ 是 $[a,b]$ 上的实函数。叙述关于 Riemann 和 $\sum _{i=1}^{n}f\left(t_i\right)(x_i-x_{i-1})$ 的 Cauchy 准则 (不用证明) 并用你叙述的 Cauchy 准则证明闭区间上的单调函数可积.

3. (15 分) $(a,b)$ 上的连续函数 $f(x)$ 有反函数。证明反函数连续.

4. (15 分) $f(x_1,x_2,x_3)$ 是 $C^2$ 映射，$\frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1^0,x_2^0,x_3^0)\ne 0$. 证明 $f(x_1,x_2,x_3)=0$ 在 $(x_1^0,x_2^0,x_3^0)$ 附近确定了一个隐函数 $x_1=x_1(x_2,x_3)$. 证明 $x_1=x_1(x_2,x_3)$ 二次可微并求出 $\frac{{\partial }^2{x}_1}{\partial x_2\partial x_3}$ 的表达式.

5. (15 分) $n⩾m$, $f:U\subseteq {\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ 是 $C^1$ 映射，$U$ 为开集且 $f$ 的 Jacobi 矩阵的秩处处为 $m$. 证明 $f$ 将 $U$ 中的开集映为开集.

6. (15 分) $x_1=\sqrt{2}$, $x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}$. 证明 $\left\{x_n\right\}$ 收敛并求极限值.

7. (15 分) 证明 ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x$ 收敛并求值。写出计算过程.

8. (15 分)
(1) 证明存在 $[a,b]$ 上的多项式序列 $\{p_n(x)\}$ 使得 ${\int }_a^b{p}_i(x)p_j(x)\mathrm{d}x={\delta }_{ij}$ 并使得对于 $[a,b]$ 上的连续函数 $f(x)$, 若 ${\int }_a^{b}f(x)p_n(x)\mathrm{d}x=0$, $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$, 则必有 $f\equiv 0$.
(2) 设 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 平方可积，$g(x)$ 关于 (1) 中 $\{p_n(x)\}$ 的展式为 $g(x)\sim \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}({\int }_a^{b}g(x)p_n(x)\mathrm{d}x)p_n(x)$. 问

$${\int }_a^b{g}^2(x)\mathrm{d}x=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{[{\int }_a^{b}g(x)p_n(x)\mathrm{d}x]}^2$$

是否成立.

9. (15 分) 正项级数 $\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n$ 收敛，$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=0$, 令 $c_n=a_1{b}_n+a_2{b}_{n-1}+\cdots +a_n{b}_1$. 证明 $\left\{c_n\right\}$ 收敛并求 $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{c}_n$.

10. (15 分) 幂级数 $\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$ 的收敛半径为 $R$, $0<R<+\mathrm{\infty }$. 证明 $\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n{R}^n$ 收敛的充分必要条件为 $\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$ 在 $[0,R)$ 上一致收敛.

2015 年 ⁶

1. 计算 $\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{{\int }_0^x{e}^{-t^2}\mathrm{d}t-x}{\sin x-x}$.

2. 讨论广义积分 ${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}[\ln (1+\frac{1}{x})-\sin \frac{1}{x}]\mathrm{d}x$ 的敛散性.

3. 函数 $f(x,y)=\{\begin{array}{ll}(1-\cos \frac{x^2}{y})\sqrt{x^2+y^2},& y\ne 0;\\ 0,& y=0.\end{array}$, $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 可微吗？证明你的结论.

4. 计算 ${\int }_L{\mathrm{e}}^2[(1-\cos y)\mathrm{d}x-(y-\sin y)\mathrm{d}y]$, 这里 $L$ 是曲线 $y=\sin x$ 从 $(0,0)$ 到 $(\pi ,0)$.

5. 证明函数级数 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos nx}{n^2+1}$ 在 $(0,2\pi )$ 一致收敛，并且在 $(0,2\pi )$ 有连续导数.

6. $x_0=1$, $x_{n+1}=\frac{3+2x_n}{3+x_n}$, $n\ge 0$. 证明序列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛并求其极限.

7. 函数 $f\in C^2\left({\mathbb{R}}^2\right)$, 且对于任意 $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$, $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}(x,y)+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}(x,y)>0$. 证明: $f$ 没有极大值点.

8. $f$ 在 $[a,b]$ 连续，在 $(a,b)$ 可导，且 $f(b)>f(a)$, $c=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$. 证明: $f$ 必具备下述两条性质中的一个:
(1) 任意 $x\in [a,b]$, 有 $f(x)-f(a)=c(x-a)$;
(2) 存在 $\xi \in (a,b)$, 使得 $f^{\prime }(\xi )>c$.

9. $\mathbf{F}:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^2$ 是 $C^1$ 映射，$x_0\in {\mathbb{R}}^3$, $y_0\in {\mathbb{R}}^2$, $\mathbf{F}\left(x_0\right)=y_0$, 且 $\mathbf{F}$ 在 $x_0$ 处的 Jacobi 矩阵 $\mathbf{DF}\left(x_0\right)$ 的秩为 2. 证明：存在 $\epsilon >0$, 以及 $C^1$ 映射 $\gamma (t):(-\epsilon ,\epsilon )\to {\mathbb{R}}^3$, 使得 ${\gamma }^{\prime }(0)$ 是非零向量，且 $\mathbf{F}(\gamma (0))=y_0$.

10. 开集 $U\subseteq {\mathbb{R}}^n$, $f:U\to {\mathbb{R}}^n$ 是同胚映射，且 $f$ 在 $U$ 上一致连续。证明: $U={\mathbb{R}}^n$.

2014 年 ⁵

1. 叙述实数序列 $\left\{x_n\right\}$ 的 Cauchy 收敛原理，并且使用 Bolzano-Weierstrass 定理证明.

2. 序列 $\left\{x_n\right\}$ 满足 $x_1=1$, $x_{n+1}=\sqrt{4+3x_n}$, $n=1,2,\dots$ 证明此序列收敛并求极限.

3. 计算

$${\iiint }_{\mathrm{\Omega }}f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$$

其中 $\mathrm{\Omega }$ 是曲面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 与 $z=1$ 围成的有界区域.

4. 证明函数项级数 $\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{x}^3{\mathrm{e}}^{-n{x}^2}$ 在 $[0,+\mathrm{\infty })$ 一致收敘.

5. 讨论级数 $\sum _{n=3}^{+\mathrm{\infty }}\ln \cos \left(\frac{\pi }{n}\right)$ 的敛散性.

6. 设函数 $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ 在 ${\mathbb{R}}^n\mathrm{\setminus }\{\mathbf{0}\}$ 可微，在 $\mathbf{0}$ 点连续，且 $\underset{\mathbf{p}\to \mathbf{0}}{lim}\frac{\partial f(\mathbf{p})}{\partial x_i}=0$, $i=1,2,\cdots ,n$, 证明 $f$ 在 $\mathbf{0}$ 处可微.

7. 设 $f(x),g(x)$ 是 $[0,1]$ 上的连续函数，且 $\underset{x\in [0,1]}{sup}f(x)=\underset{x\in [0,1]}{sup}g(x)$. 证明存在 $x_0\in [0,1]$, 使得 ${\mathrm{e}}^{f\left(x_0\right)}+3f\left(x_0\right)={\mathrm{e}}^{g\left(x_0\right)}+3g\left(x_0\right)$.

8. 记 $\mathrm{\Omega }=\{\mathbf{p}\in {\mathbb{R}}^3:|\mathbf{p}|\le 1\}$, 设 $V:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^3$, $V=(V_1,V_2,V_3)$ 是 $C^1$ 向量场，$V$ 在 ${\mathbb{R}}^3\mathrm{\setminus }\mathrm{\Omega }$ 上恒为 $0$, $\frac{\partial V_1}{\partial x}+\frac{\partial V_2}{\partial y}+\frac{\partial V_3}{\partial z}$ 在 ${\mathbb{R}}^3$ 恒为 $0$.
(1) 设 $f:{\mathbb{R}}^3\to \mathbb{R}$ 是 $C^1$ 函数，求 ${\iiint }_{\mathrm{\Omega }}\mathrm{\nabla }f\cdot V\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$;
(2) 求 ${\iiint }_{\mathrm{\Omega }}{V}_1\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$.

9. 设 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 是有界连续函数，求

$$\underset{t\to 0^{+}}{lim}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x)\frac{t}{t^2+x^2}\mathrm{d}x.$$

10. $f:[0,1]\to [0,1]$ 是 $C^2$ 函数，$f(0)=f(1)=0$, 且 $f^{\prime \prime }(x)<0$, $\mathrm{\forall }x\in [0,1]$. 记曲线 $\{(x,f(x))\mid x\in [0,1]\}$ 的弧长是 $L$. 证明 $L<3$.

2013 年 ⁴

1. 用柯西收敛准则证明 ${\mathbb{R}}^n$ 上的有限覆盖定理.

2. $f(x)=\sin x+x^2+1$, 在 0 附近有反函数，求 ${\left(f^{-1}\right)}^{(4)}(1)$.

3. 类比第二型曲线积分 $\int p(x,y)\mathrm{d}x+q(x,y)\mathrm{d}y$, 给出积分 $\int p(x,y)\mathrm{d}q(x,y)$ 的定义，并给出合理的可积判别准则和计算方法，证明你的结论.

4. $f(x)$ 是 $[-\pi ,\pi ]$ 上的单调函数，定义 $F(x)={\int }_{-\pi }^{x}f(t)\mathrm{d}t$, 证明任意 $x\in (-\pi ,\pi )$, 极限

$$\underset{\mathrm{\Delta }\to 0^{+}}{lim}\frac{F(x+\mathrm{\Delta }x)-F(x-\mathrm{\Delta }x)}{2\mathrm{\Delta }x}$$

存在，并等于 $f(x)$ 的傅里叶级数的和.

5. 证明拉格朗日中值定理，并给出它的一个应用.

6. $f_n(x)$ 是 $[0,+\mathrm{\infty })$ 上一致有界的函数列，并且在任意的闭区间上一致收敛于 $f(x)$. 对于任意固定的 $n$, $f_n(x)$ 是单调递增或者递减的函数。又 ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}g(x)\mathrm{d}x$ 收敛，证明 $f(x)g(x)$ 与 $f_n(x)g(x)$ 都在 $[0,+\mathrm{\infty })$ 上可积，并且有

$$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{f}_n(x)g(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(x)g(x)\mathrm{d}x.$$

7. $f(x,y)$ 定义在 $[a,b]\times [c,d]$ 上，且对于任意固定的 $x\in [a,b]$, $f(x,y)$ 在 $[c,d]$ 上可积。而且 $\mathrm{\forall }\epsilon >0$, $\mathrm{\exists }\delta >0$, 当 $x_1,x_2\in [a,b]$, $|x_1-x_2|<\delta$ 时，有

$$|f(x_1,y)-f(x_2,y)|<\epsilon ,\mathrm{\forall }y\in [c,d].$$

证明 $p(x)={\int }_c^{d}f(x,y)\mathrm{d}y$ 在 $[a,b]$ 上可积，$q(y)={\int }_a^{b}f(x,y)\mathrm{d}x$ 在 $[c,d]$ 上可积，且积分相等.

8. 正项级数 $\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n$ 收敛，$b_n\to 0$, ($n\to +\mathrm{\infty }$), 证明 $a_1{b}_n+a_2{b}_{n-1}+\cdots +a_n{b}_1\to 0$, ($n\to +\mathrm{\infty }$).

9. 用两种方法将积分 ${\iint }_{\mathrm{\Omega }}xy\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 化成累次积分，其中 $\mathrm{\Omega }$ 是 $y=x^2$, $x+y=2$, $x$ 轴围成的区域.

2012 年 ³

1. 叙述函数在区间$[a,b]$ 上 Riemann 可积的定义，问：定义中的任意分割是否可以改为等距分割并说明理由.

2. 由$2x+y^2+\sin xy+1={\mathrm{e}}^x$ 确定$y$ 为$x$ 的函数$y=f(x)$, 求在$x=0$ 处$f(x)$ 带两阶 Peano 余项的 Taylor 展开式. (可能有误)

3. 设$f(x)=\frac{{\mathrm{e}}^x}{1-\sin x}$, 求$f^{(4)}(0)$.

4. 求${\iiint }_V(x^2+y^2+z^2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$, 其中$V=\{(x,y,z):\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\le 1\}$.

5. 由实数域的确界原理直接证明连续函数的介值定理，再应用连续函数介值定理证明确界定理.

6. 设$D=\{(x,y):x^2+y^2<1\}$, $u(x,y)$ 是定义在$D$ 上的二阶连续可微的二元函数并且在$\bar{D}$上连续，在$D$ 的边界$\partial D$ 上有$u(x,y)\ge 0$, 又$u(x,y)$ 在$D$ 上满足$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}=2u$, 求证在$D$ 上恒有$u(x,y)\ge 0$.

7. $f(x)$ 在$(a,b)$ 上可导，且$x_0\in (a,b)$ 是$f^{\prime }(x)$ 的唯一间断点，记

$$S=\{t\in \mathbb{R}\cup \{-\mathrm{\infty }\}\cup \{+\mathrm{\infty }\}:\text{ 存在数列 }\{x_n\}\subseteq (a,b)\text{ 满足 }{x}_n\to x_0,f^{\prime }(x_n)\to t,(n\to \mathrm{\infty })\}.$$

问: $S$ 是什么样的集合？若$f(x)$ 在$(a,b)\setminus \left\{x_0\right\}$ 上$n$ ($n\ge 2$) 阶可导，证明$f^{(n)}(x)$ 在$(a,b)\setminus \left\{x_0\right\}$ 上有无穷多个零点.

8. 设$f(x),g(x)\in C^{\mathrm{\infty }}(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$, 构造一个在$\mathbb{R}$ 上无穷次可微的函数$h(x)$, 使得$h(x)$ 在$[-1,1]$ 上等于$f(x)$, 在$\mathbb{R}\setminus \{-2,2\}$ 上等于$g(x)$.

9. 叙述并证明$\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$型的 L’Hospital 法则.

1. TODO.

2011 年

1. 用确界存在定理证明：如果 $f(x)$ 是区间 $I$ 上的连续函数，则 $f(I)$ 是一个区间.

2. 可微函数 $f$ 在 $(0,1)$ 上有界，$\underset{x\to 0^{+}}{lim}f(x)$ 不存在。证明：存在数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=0$, 使得 $f^{\prime }\left(x_n\right)=0$.

3. 证明如果 $f(x)$ 在 $I$ 上连续，$|f(x)|$ 可导，则 $f(x)$ 也可导.

4. 构造两个以 $2\pi$ 为周期的函数，它们的 Fourier 级数在 $[0,\pi ]$ 上一致收敛于 0.

5. 证明 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可积的充要条件是 $F(x,y)=f(x)$ 在 $[0,1]\times [0,1]$ 上可积.

6. $f(x,y)$ 在其定义域中的某个点上存在非零方向导数，且在三个方向上的方向向量均相等。证明 $f(x,y)$ 不可微.

7. 设 $D$ 为 ${\mathbb{R}}^2$ 中由一条光滑曲线所围成的无界闭区域，试构造一个函数 $f(x,y)$, 使它在 $D$ 上的二重积分 ${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 发散.

8. 设 $D\subset {\mathbb{R}}^n$, $D$ 是一个凸区域，$T(x)$ 在 $D$ 上有连续二阶偏导数，其 Jacobi 行列式正定。证明 $T(x)$ 是单射.

9. 设正项级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ 收敛。证明极限 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n^2}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\dots +\frac{1}{a_n}}$ 存在.

10. 设 $f_n(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$f_n^{\prime }(x)$ 在 $[a,b]$ 上一致有界，并且 $f_n(x)$ 逐点收敛于极限函数 $f(x)$. 证明 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续.

2010 年

1. (15 分) 用有限覆盖定理证明聚点定理.

2. (15 分) 是否存在数列$\left\{x_n\right\}$, 其极限点构成的集合为$M=\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots \}$, 说明理由.

3. (15 分) 设$I$ 是无穷区间，$f(x)$ 为$I$ 上的非多项式连续函数。证明：不存在$I$ 上的一致收敛的多项式序列$\{P_n(x)\}$, 其极限函数为$f(x)$.

4. (15 分) $f(x)$ 在$[0,1]$ 上连续，在$(0,1)$ 上可导，且满足$f(1)=\frac{1}{2}{\int }_0^{1/2}{\mathrm{e}}^{1-x^2}f(x)\mathrm{d}x$. 求证：存在$\xi \in (0,1)$ 使得$f^{\prime }(\xi )=2\xi f(\xi )$.

5. (15 分) $f(x)\in C^1(\mathbb{R})$, $I$ 是有界闭区间，$F_n(x)=n[f(x+\frac{1}{n})-f(x)]$, 证明函数序列$\{F_n(x)\}$ 在$I$ 上一致收敛。如果$I$ 是有界开区间，问$\{F_n(x)\}$ 在$I$ 上是否仍然一致收敛？说明理由.

6. (15 分) 构造$\mathbb{R}$ 上的函数$f(x)$, 使其在$\mathbb{Q}$ 上间断，其它点连续.

7. (15 分) 广义积分${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}xf(x)\mathrm{d}x$ 与${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{f(x)}{x}\mathrm{d}x$ 均收敛，证明:

$$I(t)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{x}^{t}f(x)\mathrm{d}x$$

在$(-1,1)$ 上有定义，并且有连续导函数.

8. (15 分) 计算曲线积分

$$I={\oint }_{\mathrm{\Gamma }}y\mathrm{d}x+z\mathrm{d}y+x\mathrm{d}z,$$

其中$\mathrm{\Gamma }$ 为$x^2+y^2+z^2=1$ 与$x+y+z=0$ 的交线，从$x$ 轴正向看是逆时针.

9. (15 分) 证明下面的方程在点$(0,0,0)$ 附近唯一确定了隐函数$z=f(x,y)$,

$$x+\frac{1}{2}{y}^2+\frac{1}{2}z+\sin z=0$$

并将$f(x,y)$ 在点$(0,0)$ 展开为带 Peano 型余项的 Taylor 公式，展开到二阶.

10. (15 分) $f(x),g(x)$ 是$[0,+\mathrm{\infty })$ 上的非负单调递减连续函数，且${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x$ 和${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}g(x)\mathrm{d}x$ 均发散，设$h(x)=min\{f(x),g(x)\}$, 试问${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}h(x)\mathrm{d}x$ 是否一定发散？说明理由.

2009 年

1. 证明闭区间上的连续函数能取到最大最小值.

2. 设$f(x)$, $g(x)$ 是$\mathbb{R}$ 上的有界一致连续函数，求证$f(x)g(x)$ 在$\mathbb{R}$ 上一致连续.

3. 设$f(x)$ 是周期为$2\pi$ 的连续函数，且其 Fourier 级数

$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\cos nx+b_n\sin nx$$

处处收敛，求证这个 Fourier 级数处处收敛到$f(x)$.

4. 设${\left\{a_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$和${\left\{b_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$都是有界数列，且$a_{n+1}+2a_n=b_n$. 若$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n$ 存在，求证$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n$ 也存在.

5. 是否存在$\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 的连续可导函数$f(x)$ 满足: $f(x)>0$ 且$f^{\prime }(x)=f(f(x))$?

6. 已知$f(x)$ 是$[0,+\mathrm{\infty })$ 上的单调连续函数且$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=0$. 求证

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(x)\sin nx\mathrm{d}x=0.$$

7. 求曲线积分

$${\iint }_L(y-z)\mathrm{d}x+(z-x)\mathrm{d}y+(x-y)\mathrm{d}z$$

这里$L$ 是球面$x^2+y^2+z^2=1$ 与$(x-1{)}^2+(y-1{)}^2+(z-1{)}^2=4$ 交成的曲线.

8. 设$x,y,z\ge 0$, $x+y+z=\pi$. 求$2\cos x+3\cos y+4\cos z$ 的最大最小值.

9. 设$f(x)\in C(a,b)$, 且对于任何$x\in (a,b)$ 都有

$$\underset{h\to 0+}{lim inf}\frac{f(x+h)-f(x-h)}{h}\ge 0.$$

求证$f(x)$ 在$(a,b)$ 上单调不减.

10. 已知$f(x)$ 是$[0,+\mathrm{\infty })$ 上的正的连续函数，且${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{f(x)}\mathrm{d}x<+\mathrm{\infty }$. 求证:

$$\underset{A\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{A^2}{\int }_0^{A}f(x)\mathrm{d}x=+\mathrm{\infty }.$$

2008 年

1. 证明有界闭区间上的连续函数一致连续.

2. 是否存在$\mathbb{R}$ 上的连续函数$f(x)$, 满足$f(f(x))={\mathrm{e}}^{-x}$? 证明你的结论.

3. 数列$\left\{x_n\right\}$, ($n\ge 1$), 满足对于任意的 $n\frac{1}{n}$,\mathrm{求}\mathrm{证}$ \left\{x_{n}\right\} $ 无界.

4. $f(x)$ 是$(-1,1)$ 上的无穷次可导函数，$f(0)=1$, $|f^{\prime }(0)|\le 2$, 令$g(x)=\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}$, $|g^{(n)}(0)|\le 2n!$. 证明对所有正整数$n$, $|f^{(n)}(0)|\le (n+1)!$.

5. 求

$${\iint }_{\mathrm{\Sigma }}(y-z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z+(z-x)\mathrm{d}z\mathrm{d}x+(x-y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y,$$

其中$\mathrm{\Sigma }$ 为球面$x^2+y^2+z^2=2Rx$ 被圆柱面$x^2+y^2=2rx$, ($0<r<R$), 所截得的部分，定向取外侧.

6. 证明$F(x,y)=2-\sin x+y^3{\mathrm{e}}^{-y}$ 在全平面有唯一解$y=y(x)$, 且$y(x)$ 连续，可微.

7. $f(x)$ 在$[0,+\mathrm{\infty })$ 上内闭 Riemann 可积，且${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x$ 数列，求证

$$\underset{a\to 0+}{lim}{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-ax}f(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x.$$

8. $f(x)$ 是$\mathbb{R}$ 上的二阶连续可导函数，满足:
1). $\underset{\left|x\right|\to +\mathrm{\infty }}{lim}(f(x)-\left|x\right|)=0$;
2). 存在$x_0\in \mathbb{R}$, 满足$f(x_0)\le 0$. 求证: $f^{″}(x)$ 在$\mathbb{R}$ 上变号.

9. $g(x)$ 是周期为$1$ 的连续函数，${\int }_0^{1}g(x)\mathrm{d}x=0$. $f(x)$ 在$[0,1]$ 上有连续一阶导函数，$f(0)=f(1)$.

$$a_n={\int }_0^{1}f(x)g(nx)\mathrm{d}x,$$

求证:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n{a}_n=0.$$

10. $f(x)$ 在$[0,1]$ 上 Riemann 可积，且对$[0,1]$ 上任何有限个两两不交的闭区间$[a_i,b_i]$, $1\le i\le n$, 都有

$$|\sum _{i=1}^n{\int }_{a_i}^{b_i}f(x)\mathrm{d}x|\le 1.$$

求证:

$${\int }_0^1|f(x)|\mathrm{d}x\le 2.$$

2007 年

这里转的内容的顺序可能会有些不同.

1. 用有限覆盖定理证明连续函数的介值性定理.

2. $f(x)$, $g(x)$ 在有界区间上一致连续，证明$f(x)g(x)$ 在此区间上也一致连续.

3. 已知$f(x)$ 在$[a,b]$ 上有$4$ 阶导数，且有$f^{(4)}(\beta )\ne 0$, $f^{‴}(\beta )=0$, $\beta \in (a,b)$. 证明：存在$x_1,x_2\in (a,b)$, 使$f(x_1)-f(x_2)=f^{\prime }(\beta )(x_1-x_2)$ 成立.

4. 构造一函数在$\mathbb{R}$ 上无穷次可微，且$f^{(2n+1)}(0)=n$, $f^{(2n)}(0)=0$, 并说明满足条件的函数有任意多个.

5. 设$D=[0,1]\times [0,1]$, $f(x,y)$ 是$D$ 删连续函数，证明

$${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=f(\xi ,\eta ),$$

这样的$\xi ,\eta$ 有无穷多个.

6. 求

$${\iint }_S{\sin }^{4}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z+{\mathrm{e}}^{-\left|y\right|}\mathrm{d}z\mathrm{d}x+z^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y,$$

其中$S$ 是$x^2+y^2+z^2=1$, $z>0$ 方向向上.

7. $f(x)$ 是${\mathbb{R}}^2$ 上连续函数，试作一个无界区域$D$, 使$f(x)$ 在$D$ 上广义积分收敛.

8. $f(x)=\ln (1+\frac{\sin x}{x^p})$, 讨论不同的$p$ 对$f(x)$ 在$(1,+\mathrm{\infty })$ 上积分的敛散性.

9. $F(x,y)=\sum ny{\mathrm{e}}^{-n(x+y)}$, 是否存在$a$ 以及函数$h(x)$ 在$(1-a,1+a)$ 可导，且$h(1)=0$, 使$F(x,h(x))=0$.

10. 设$f(x)$, $g(x)$ 在$[a,b]$ 上 Riemann 可积，证明: $f(x)$, $g(x)$ 的 Fourier 展开式有相同的系数的充要条件是${\int }_a^b|f(x)-g(x)|\mathrm{d}x=0$.

2006 年

满分 150 分，每小题 15 分，考试时间 3 小时.

1. 确界存在原理是关于实数域完备性的一种描述，试给出一个描述实数域完备性的其他定理，并证明其与确界存在原理的等价性.

2. 设函数$f(x,y)=x^3+3xy-y^2-6x+2y+1$, 求$f(x,y)$ 在$(-2,2)$ 处二阶带 Peano 余项的 Taylor 展开。问$f(x,y)$ 在${\mathbb{R}}^2$ 上有哪些关于极值的判别点，这些点是否为极值点，说明理由.

3. 设$F(x,y)=x^2{y}^3+\left|x\right|y+y-5$.
(1) 证明方程$F(x,y)=0$ 在$\mathbb{R}$ 上确定唯一的隐函数$y=f(x)$;
(2) 求$f(x)$ 的极值点.

4. 计算第二型曲面积分${\iint }_{\mathrm{\Sigma }}{x}^2\mathrm{d}y\mathrm{d}z+y^2\mathrm{d}z\mathrm{d}x+z^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y$, 其中曲面$\mathrm{\Sigma }$ 是椭球面$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 的外侧.

5. 证明广义积分${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x$ 收敛，并计算此积分.

6. 设$f(x,y)$ 定义在$D=(a,b)\times [c,d]$ 上，$x$ 固定时对$y$ 连续。设$x_0\in (a,b)$ 取定，对于任意的$y\in [c,d]$, 极限$\underset{x\to x_0}{lim}f(x,y)=g(y)$ 收敛。证明重极限

$$\underset{x\to x_0,y\to y_0}{lim}f(x,y)=g(y_0)$$

对于任意的$y_0\in [c,d]$ 成立的充分必要条件是，极限$\underset{x\to x_0}{lim}f(x,y)=g(y)$ 在$[c,d]$ 上一致收敛.

7. 若函数$f(x)$ 在区间$[a,b]$ 上有界，给出并证明$f(x)$ 在$[a,b]$ 上 Riemann 和的极限

$$\underset{\lambda (\mathrm{\Delta })\to 0}{lim}\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)(x_i-x_{i-1})$$

收敛的 Cauchy 准则.

8. 设$\{f_n(x)\}$ 是$\mathbb{R}$ 上的一连续函数列，满足存在常数$M$, 使得对于任意的$f_n(x)$ 和$x\in \mathbb{R}$ 恒有$|f_n(x)|\le M$. 假定对于$\mathbb{R}$ 中任意的区间$[a,b]$ 都有

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_a^b{f}_n(x)\mathrm{d}x=0.$$

证明：对于任意的区间$[c,d]\subset \mathbb{R}$ 以及$[c,d]$ 上绝对可积函数$h(x)$, 恒有

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_a^b{f}_n(x)h(x)\mathrm{d}x=0.$$

9. 设存在一区间$[a,b]$ 使得两个 Fourier 级数

$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\cos nx+b_n\sin nx,\frac{{\alpha }_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\alpha }_n\cos nx+{\beta }_n\sin nx$$

都在$[a,b]$ 上收敛，并且其和函数在$[a,b]$ 上连续且相等.

问对于任意的自然数$n$, $a_n={\alpha }_n$, $b_n={\beta }_n$ 是否成立？如成立，请证明；如不成立，加上什么条件后能保证成立，说明理由.

10. 设$f(x)$ 在$[0,+\mathrm{\infty })$ 上内闭 Riemann 可积，证明：广义积分${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x$ 绝对可积的充分必要条件是：对于任意的满足$x_0=0$, $x_n\to +\mathrm{\infty }$的单调递增序列$\left\{x_n\right\}$, 级数$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{x_n}^{x_{n+1}}f(x)\mathrm{d}x$ 绝对收敛.

2006 年 - ?

试卷满分 150 分，每小题 15 分，考试时间: 3 小时

1. 证明：确界存在原理与有界单调递增序列必有极限原理是等价的.

2. 设函数 $z=f(x,y)$ 由方程 $x^2-6xy+10y^2-2yz-z^2+18=0$ 所确定，求 $z=f(x,y)$ 的极值点和极值，并判断是极大值还是极小值。说明理由.

3. 设 $x=y+\phi (y)$, $\phi$ 满足 $\phi (0)=0$, ${\phi }^{\prime }(y)$ 在 $(-a,a)$ 中连续，且 $|{\phi }^{\prime }(0)|\le k<1$, 证明：存在 $\delta >0$, 使得当 $x\in (-\delta ,\delta )$ 时有惟一连续，可微的隐函数 $y=y(x)$ 满足方程 $x=y+\phi (y)$ 且 $y(0)=0$.

4. 计算曲面积分 $I={\iint }_{\mathrm{\Sigma }}xyz(y^2{z}^2+z^2{x}^2+x^2{y}^2)\mathrm{d}S$, 其中曲面 $\mathrm{\Sigma }$ 为第一卦限椭球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$, ($x\ge 0,y\ge 0,z\ge 0$).

5. 设 $f(x,y)$ 定义在 $D=(a,b)\times [c,d]$ 上，$x$ 固定时对 $y$ 连续。设 $x_0\in (a,b)$ 取定，对于任意 $y\in [c,d]$, 极限 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x,y)=g(y)$ 收敛。证明重极限

$$\underset{x\to x_0,y\to y_0}{lim}f(x,y)=g(y_0)$$

对任意 $y_0\in [c,d]$ 成立的充分必要条件是，极限 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x,y)=g(y)$ 在 $[c,d]$ 上一致收敛.

6. 证明广义积分 ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x$ 存在，并计算此积分.

7. 若函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上有界，满足 $\mathrm{\forall }\epsilon >0$, $\mathrm{\exists }\delta >0$, 对 $[a,b]$ 的任意两个分割 $T_1,T_2$, 只要其分割的小区间的最大长度 $\Vert T_1\Vert <\delta$, $\Vert T_2\Vert <\delta$, 就有相应的两种 Riemann 和之差满足 $|\sum _{T_1}f\left({\xi }_i\right)\mathrm{\Delta }{x}_i-\sum _{T_2}f\left({\eta }_j\right)\mathrm{\Delta }{x}_j|<\epsilon$, 则称其满足 Cauchy 准则。证明: Cauchy 准则与 Riemann 可积是等价的.

8. 设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上 Riemann 可积且满足 ${\int }_0^{1}f(x)dx=1$, 函数 $g(x)=\sum _{k=1}^m{a}_k[kx]$, 满足 $g(1)=0$, 记 $b_n={\int }_0^{1}f(x)g(nx)\mathrm{d}x$, 证明 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n$ 存在，并求出此极限. (其中 $\left[x\right]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数)

9. 如果区间 $[-\pi ,\pi ]$ 上 Riemann 可积的函数 $f(x)$ 能在这个区间上展开成如下三角级数

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\cos nx+b_n\sin nx,$$

证明：这个级数必为 $f(x)$ 的傅立叶级数.

10. 设 $f(x)$ 在 $[0,+\mathrm{\infty })$ 上内闭 Riemann 可积，证明：广义积分 ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx$ 绝对可积的充分必要条件是：对于任意满足 $x_0=0$, $x_n\to +\mathrm{\infty }$ 的单调递增序列 $\left\{x_n\right\}$, 级数 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{x_n}^{x_{n+1}}f(x)dx$ 绝对收敛.

2005 年

1. 设$f(x)=\frac{x^2\sin x-1}{x^2-\sin x}\cdot \sin x$, 试求$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim sup}f(x)$ 和$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim inf}f(x)$.

2. (1) 设$f(x)$ 在开区间$(a,b)$ 可微，且$f^{\prime }(x)$ 在$(a,b)$ 有界。证明$f(x)$ 在$(a,b)$ 一致连续.
(2) 设$f(x)$ 在开区间$(a,b)$, ($-\mathrm{\infty }<a<b<+\mathrm{\infty }$), 可微且一致连续，试问$f^{\prime }(x)$ 在$(a,b)$ 是否一定有界.
(若肯定回到，请证明；若否定回答，举例说明)

3. 设$f(x)={\sin }^2(x^2+1)$.
(1) 求$f(x)$ 的麦克劳林展开式.
(2) 求$f^{(n)}(0)$. ($n=1,2,3,\cdots$)

4. 试做出定义在${\mathbb{R}}^2$ 中的一个函数$f(x,y)$, 使得它在原点处同时满足以下三个条件:
(1) $f(x,y)$ 的两个偏导数都存在；(2) 任何方向极限都存在；(3) 原点不连续.

5. 计算${\int }_L{x}^2\mathrm{d}s$. 其中$L$ 是球面$x^2+y^2+z^2=1$ 与平面$x+y+z=0$ 的交线.

6. 设函数列$\{f_n(x)\}$ 满足下列条件:
(1) 对于任意的$n$, $f_n(x)$ 在$[a,b]$ 连续且有$f_n(x)\le f_{n+1}(x)$, ($x\in [a,b]$);
(2) $\{f_n(x)\}$ 点点收敛于$[a,b]$ 上的连续函数$s(x)$.
证明: $\{f_n(x)\}$ 在$[a,b]$ 上一致收敛于$s(x)$.

2002 年

1. (10 分) 求极限$\underset{x\to 0}{lim}{\left(\frac{\sin x}{x}\right)}^{\frac{1}{1-\cos x}}$.

提示

用带 Lagrange 余项的 Taylor 公式

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{lim}{\left(\frac{\sin x}{x}\right)}^{\frac{1}{1-\cos x}}& =\underset{x\to 0}{lim}{\mathrm{e}}^{\frac{1}{1-\cos x}\ln \frac{\sin x}{x}}\\ & =\underset{x\to 0}{lim}{\mathrm{e}}^{\frac{1}{1-(1-\frac{x^2}{2!}+o(x^2))}\ln \frac{x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3)}{x}}\\ & =\exp \left(\underset{x\to 0}{lim}\frac{\ln (1-\frac{x^2}{6}+o(x^2))}{\frac{x^2}{2}+o(x^2)}\right)\\ & =\exp \left(\underset{x\to 0}{lim}\frac{-\frac{x^2}{6}+o(x^2)}{\frac{x^2}{2}+o(x^2)}\right)={\mathrm{e}}^{-1/3}.\end{array}$$

2. (10 分) 设$a\ge 0$, $x_1=\sqrt{2+a}$, $x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}$, $n=1,2,\cdots$, 证明极限$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n$ 存在并求极限值.

提示

• 方法 1
• 方法 2

由于

$$|x_{n+1}-x_n|=\left|\frac{x_n-x_{n-1}}{\sqrt{2+x_n}+\sqrt{2+x_{n-1}}}\right|\le \left|\frac{x_n-x_{n-1}}{2\sqrt{2}}\right|\le \cdots \le \frac{1}{{\left(2\sqrt{2}\right)}^{n-1}}|x_2-x_1|,$$

从而数列收敛，设$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=x^{\star }$, 对$x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}$ 两边取极限得$x^{\star }=\sqrt{2+x^{\star }}$, 解的$x^{\star }=2$.

容易证明数列$\left\{x_n\right\}$ 是单调有界的，所以有极限，对递推公式两边同时取极限算得极限为$2$.

3. (10 分) 设$f(x)$ 在$[a,a+2\alpha ]$ 上连续，证明存在$x\in [a,a+\alpha ]$, 使得$f(x+\alpha )-f(x)=\frac{1}{2}(f(a+2\alpha )-f(a))$.

提示

构造函数$g(x)=f(x+\alpha )-f(x)-\frac{1}{2}f(a+2\alpha )+\frac{1}{2}f(a)$, 则有

$$\begin{array}{rl}g(a)& =f(a+\alpha )-\frac{1}{2}f(a+2\alpha )-\frac{1}{2}f(a),\\ g(a+\alpha )& =\frac{1}{2}f(a+2\alpha )+\frac{1}{2}f(a)-f(a+\alpha ),\end{array}$$

所以$g(a)=-g(a+\alpha )$, 由函数$y=g(x)$ 的连续性和介值定理，存在$x\in [a,a+\alpha ]$, 使得$g(x)=0$, 即存在$x\in [a,a+\alpha ]$, 使得

$$f(x+a)-f(x)=\frac{1}{2}[f(a+2\alpha )-f(a)].$$

4. (10 分) 设

$$f(x)=x\sqrt{1-x^2}+\arcsin x.$$

求$f^{\prime }(x)$.

提示

直接求导，

$$f^{\prime }(x)=2\sqrt{1-x^2},x\in (-1,1).$$

5. (10 分) 设$u(x,y)$ 有二阶连续偏导数。证明$u$ 满足偏微分方程

$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}-2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0$$

当且仅当：存在二阶连续可微函数$\phi (t)$, $\psi (t)$, 使得

$$u(x,y)=x\phi (x+y)+y\psi (x+y).$$

提示

• 解法 1
• 解法 2

充分性：由 $u(x,y)=x\phi (x+y)+y\psi (x+y)$ 可知，

$$\{\begin{array}{l}\frac{\partial u}{\partial x}=\phi (x+y)+x{\phi }^{\prime }(x+y)+y{\psi }^{\prime }(x+y)=\phi +x{\phi }^{\prime }+y{\psi }^{\prime }\\ \frac{\partial u}{\partial y}=x{\phi }^{\prime }(x+y)+\psi (x+y)+y{\psi }^{\prime }(x+y)=x{\phi }^{\prime }+\psi +y{\psi }^{\prime }\end{array}$$

和

$$\{\begin{array}{l}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=2{\phi }^{\prime }+x{\phi }^{\prime \prime }+y{\psi }^{\prime \prime }\\ \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}={\phi }^{\prime }+x{\phi }^{\prime \prime }+{\psi }^{\prime }+y{\psi }^{\prime \prime }\\ \frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=x{\phi }^{\prime \prime }+2{\psi }^{\prime }+y{\psi }^{\prime \prime }\end{array}$$

所以

$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}-2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=2{\phi }^{\prime }+x{\phi }^{\prime \prime }+y{\psi }^{\prime \prime }-2{\phi }^{\prime }-2x{\phi }^{\prime \prime }-2{\psi }^{\prime }-2y{\psi }^{\prime \prime }+2x{\phi }^{\prime \prime }+2{\psi }^{\prime }+y{\psi }^{\prime \prime }=0.$$

必要性：设 $\{\begin{array}{l}w=x+y\\ v=x-y\end{array}$, 所以 $\{\begin{array}{l}\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial w}+\frac{\partial u}{\partial v}\\ \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial w}-\frac{\partial u}{\partial v}\end{array}$, 从而

$$\{\begin{array}{l}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial w^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial v^2}+2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial w\partial v}\\ \frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=\frac{\partial u^2}{\partial w^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial v^2}-2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial w\partial v}\\ \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial w^2}-\frac{{\partial }^{2}u}{\partial w\partial v}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial w\partial v}-\frac{{\partial }^{2}u}{\partial v^2}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial w^2}-\frac{{\partial }^{2}u}{\partial v^2}\end{array}$$

直接代入计算

$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}-2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial w^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial v^2}+2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial w\partial v}-2(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial w^2}-\frac{{\partial }^{2}u}{\partial v^2})+\frac{\partial u^2}{\partial w^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial v^2}-2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial w\partial v}=4\frac{{\partial }^{2}u}{\partial v^2}=0.$$

所以 $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial v^2}=0$, 从而 $\frac{\partial u}{\partial v}=f(w)$,
所以

$$u=vf(w)+G(w),$$

其中$f$ 和$G$ 都是任意的连续函数。注意到$u$ 是二阶可导的，这使得$vf(w)$ 和$g(w)$ 都是二阶可导函数，所以$G(w)$ 可以写成$wg(w)+C$ 的形式。因此

$$u(x,y)=(x-y)f(x+y)+(x+y)g(x+y)+C=x(f(x+y)+g(x+y))+y(g(x+y)-f(x+y))+C,$$

取

$$\{\begin{array}{l}f(x+y)+g(x+y)=\phi (x+y)\\ g(x+y)-f(x+y)=\psi (x+y),\end{array}$$

所以有

$$u(x,y)=x\phi (x+y)+y\psi (x+y)+C.$$

必要性：考虑对应的特征方程

$${\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)}^2+2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+1=0,$$

则有${(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+1)}^2=0$, 解出特征线为$x+y=C$.

令$\xi =x+y$, $\eta =x$, 则$u_x=u_{\xi }+u_{\eta }$, $u_y=u_{\xi }$,

$$u_{xx}=u_{\xi \xi }+2u_{\xi \eta }+u_{\eta \eta },u_{xy}=u_{\xi \xi }+u_{\eta \xi },u_{yy}=u_{\xi \xi },$$

代入原方程，化简得到$u_{\eta \eta }=0$. 解的$u_{\eta }=f(\xi )$, $u=\eta f(\xi )+g(\xi )$, 所以

$$u(x,y)=xf(x+y)+g(x+y)=xf(x+y)+(x+y)\frac{g(x+y)}{x+y}=x\phi (x+y)+y\varphi (x+y).$$

充分性部分同前一种证法.

6. (10 分) 计算三重积分

$${\iiint }_{\mathrm{\Omega }}{x}^2\sqrt{x^2+y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z,$$

其中$\mathrm{\Omega }$ 是曲面$z=\sqrt{x^2+y^2}$ 与$z=x^2+y^2$ 围成的有界区域.

提示

• 解法 1
• 解法 2

直接做柱坐标变换，有

$$\begin{array}{rl}I& ={\iiint }_{\mathrm{\Omega }}{x}^2\sqrt{x^2+y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z\\ & =\frac{1}{2}{\iiint }_{\mathrm{\Omega }}(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z\\ & =\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{1}dz{\int }_z^{\sqrt{z}}{\rho }^3\cdot \rho \mathrm{d}\rho =\frac{\pi }{42}\end{array}$$

也可以先计算内层积分。计算两曲面的交线为$z=1$, $x^2+y^2=1$. 记

$$D=\{(x,y):x^2+y^2\le 1\},$$

则

$$\begin{array}{rl}{\iiint }_{\mathrm{\Omega }}{x}^2\sqrt{x^2+y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z& ={\iint }_D\mathrm{d}x\mathrm{d}y{\int }_{x^2+y^2}^{\sqrt{x^2+y^2}}{x}^2\sqrt{x^2+y^2}\mathrm{d}z\\ & ={\iint }_D{x}^2\sqrt{x^2+y^2}(\sqrt{x^2+y^2}-(x^2+y^2))\mathrm{d}x\mathrm{d}y\end{array}$$

根据对称性

$$\begin{array}{rl}{\iint }_D{x}^2\sqrt{x^2+y^2}(\sqrt{x^2+y^2}-(x^2+y^2))\mathrm{d}x\mathrm{d}y& =\frac{1}{2}{\iint }_D(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}(\sqrt{x^2+y^2}-(x^2+y^2))\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & =\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^1{r}^{2}r(r-r^2)r\mathrm{d}r\\ & =\frac{1}{2}2\pi {\int }_0^1(r^5-r^6)\mathrm{d}r=\pi (\frac{1}{6}-\frac{1}{7})=\frac{\pi }{42}.\end{array}$$

7. (10 分) 计算第二型曲面积分

$$I={\iint }_{\mathrm{\Sigma }}{x}^2\mathrm{d}y\mathrm{d}z+y^2\mathrm{d}z\mathrm{d}x+z^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y,$$

其中$\mathrm{\Sigma }$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=az$ ($a>0$) 的外侧.

提示

用高斯公式

$$I={\iiint }_V(\frac{\partial x^2}{\partial x}+\frac{\partial y^2}{\partial y}+\frac{\partial z^2}{\partial z})\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z={\iiint }_V(2x+2y+2z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$$

其中 $V=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2+z^2\le az,a>0\}$, 根据对称性可知 ${\iiint }_{V}2xdxdydz={\iiint }_{V}2ydxdydz=0$, 所以 $I=2{\iiint }_{V}zdxdydz$, 做球坐标代换，有 $\rho \le a\cos \phi$, 则有

$$\begin{array}{rl}I& =2{\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}d\phi {\int }_0^{a\cos \phi }\rho \cos \phi \cdot {\rho }^2\sin \phi d\rho =2\cdot 2\pi \cdot \frac{1}{4}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\cos \phi \cdot \sin \phi \cdot \left({{\rho }^4|}_0^{a\cos \phi }\right)d\phi \\ & =a^4\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^5\phi \cdot \sin \phi d\phi =a^4\pi \cdot \frac{1}{2}B(1,3)=a^4\pi \cdot \frac{\mathrm{\Gamma }(1)\mathrm{\Gamma }(3)}{2\mathrm{\Gamma }(4)}=\frac{a^4\pi }{6}.\end{array}$$

也可以用$z$ 的对称性，因为${\iiint }_{V}z-\frac{a}{2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=0$, 所以

$$\begin{array}{rl}{\iiint }_V(2x+2y+2z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z& =2{\iiint }_V[(x+y+z-\frac{a}{2})+\frac{a}{2}]\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z\\ & =2\cdot \frac{a}{2}{\iiint }_V\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z\\ & =a\cdot \frac{4}{3}\pi {\left(\frac{a}{2}\right)}^3=\frac{\pi a^4}{6}.\end{array}$$

8. (10 分) 判断级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\ln \cos \frac{1}{n}$ 的收敛性并给出证明.

提示

根据比较判别法可知:

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\ln \cos \frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\ln (1-2{\sin }^2\frac{1}{2x})}{-\frac{1}{x^2}}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{-2{\sin }^2\frac{1}{2x^2}}{-\frac{1}{x^2}}=\frac{1}{2},$$

所以，当 $n\to +\mathrm{\infty }$, $\ln \cos \frac{1}{n}\sim -\frac{1}{2n^2}$, 注意到 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}$ 收敛，所以根据比较判别法，级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\ln \cos \frac{1}{n}$ 收敛.

9. (10 分) 证明: (1) 函数项级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}nx{\mathrm{e}}^{-nx}$ 在区间$(0,\mathrm{\infty })$ 上不一致收敛；

(2) 函数项级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}nx{\mathrm{e}}^{-nx}$ 在区间$(0,\mathrm{\infty })$ 上可逐项求导.

提示

(1). 设$u_n(x)=nx{\mathrm{e}}^{-nx}$, 对于任意固定的$x>0$, 因为

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left|\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}\right|={\mathrm{e}}^{-x}<1,$$

所以$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n(x)$ 在$(0,+\mathrm{\infty })$ 上收敛；或者对于任意固定的$x>0$, 当$n$ 充分大时用

$$0\le u_n(x)\le nx\cdot \frac{1}{\frac{(nx{)}^3}{3!}}=\frac{6}{x^2}\cdot \frac{1}{n^2},$$

由$\sum \frac{1}{n^2}$ 的收敛性知$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n(x)$ 在$(0,+\mathrm{\infty })$ 上收敛.

最后，因为${\beta }_n=\underset{0<x<+\mathrm{\infty }}{sup}|u_n(x)|\ge \left|u_n\left(\frac{1}{n}\right)\right|={\mathrm{e}}^{-1}$ 不趋向于零，所以$\{u_n(x)\}$ 不一致收敛于$0$, 从而$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n(x)$ 在$(0,+\mathrm{\infty })$ 上也不一致收敛.

(2). 对于任何$x_0\in I=(0,+\mathrm{\infty })$, 存在$b>\delta >0$, 使得$0<\delta <x_0<b$. 于是$x\in [\delta ,b]$ 时，有

$$|u_n(x)|=nx{\mathrm{e}}^{-nx}\le bn{\mathrm{e}}^{-n\delta },$$

与

$$|u_n^{\prime }(x)|=|n{\mathrm{e}}^{-nx}-n^{2}x{\mathrm{e}}^{-nx}|\le n{\mathrm{e}}^{-n\delta }+b{n}^2{\mathrm{e}}^{-n\delta }.$$

所以，$\sum u_n(x)$, $\sum u_n^{\prime }(x)$ 在$[\delta ,b]$ 上一致收敛，于是$f(x)=\sum u_n(x)$ 在$[\delta ,b]$ 上连续，且有$f^{\prime }(x)=\sum u_n^{\prime }(x)$ 在$[\delta ,b]$ 上连续，所以$f(x)$ 在点$x_0\in I$ 处连续可微.

由于$x_0$ 的任意性，函数$f$ 在$I$ 上连续可微，且$f^{\prime }(x)={[\sum u_n(x)]}^{\prime }=\sum u_n^{\prime }(x)$.

10. (10 分) 设$f(x)$ 连续，$g(x)={\int }_0^{x}yf(x-y)\mathrm{d}y$. 求$g^{″}(x)$.

提示

$g^{″}(x)=f(x)$.
注意，本题是用$f(x)$ 的一重积分给出了$f(x)$ 的原函数的原函数，可推广.

2001 年

1. (10 分) 求极限

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a^{2n}}{1+a^{2n}}.$$

提示

当$\left|a\right|<1$ 时，有$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}^{2n}=0$, 于是$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a^{2n}}{1+a^{2n}}=0$;
当$\left|a\right|=1$ 时，有$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}^{2n}=1$, 于是$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a^{2n}}{1+a^{2n}}=\frac{1}{2}$;
当$\left|a\right|>1$ 时，有$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}^{-2n}=0$, 于是$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a^{2n}}{1+a^{2n}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{1+a^{-2n}}=1$.

2. (10 分) 设 $f(x)$ 在点 $a$ 可导，$f(a)\ne 0$. 求极限

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left(\frac{f(a+\frac{1}{n})}{f(a)}\right)}^n.$$

提示

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left(\frac{f(a+\frac{1}{n})}{f(a)}\right)}^n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{f(a)}\cdot \frac{f(a+\frac{1}{n})-f(a)}{\frac{1}{n}})}^n={\mathrm{e}}^{\frac{f^{\prime }(a)}{f(a)}}.$$

3. (10 分) 证明函数$f(x)=\sqrt{x}\ln x$ 在$[1,+\mathrm{\infty })$ 上一致连续.

提示

对$f(x)$ 求导，

$$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\ln x+\frac{1}{\sqrt{x}},$$

显然$f^{\prime }(x)$ 在$[1,+\mathrm{\infty })$ 上有界，于是$f(x)$ 在$[1,+\mathrm{\infty })$ 上一致连续.

4. (10 分) 设$D$ 是包含原点的平面凸区域，$f(x,y)$ 在$D$ 上可微，

$$x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}=0.$$

证明: $f(x,y)$ 在$D$ 上恒为常数.

提示

对于任意的$(x,y)\in D$, 设$g(t)=f(tx,ty)$, 由于$f$ 在$D$ 上可微，且$D$ 是凸区域，所以$g$ 的定义域是一个连通的区间。所以有

$$g^{\prime }(t)=x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{t}(tx\frac{\partial f}{\partial x}+ty\frac{\partial f}{\partial y})=0,$$

所以$g(t)$ 在其定义域上为常数函数，由中值定理，

$$f(x,y)=f(0,0)=g(1)-g(0)=g^{\prime }(\xi )=0,$$

其中$\xi \in (0,1)$, 故有$f(x,y)$ 在$D$ 上恒为常数.

可微函数不一定 Riemann 可积，所以应避免使用曲线积分证明.

5. (10 分) 计算第一型曲面积分

$${\iint }_{\mathrm{\Sigma }}x\mathrm{d}S,$$

其中$\mathrm{\Sigma }$ 是锥面$z=\sqrt{x^2+y^2}$ 被柱面$x^2+y^2=ax$, ($a>0$) 割下的部分.

提示

由于$z=\sqrt{x^2+y^2}$, $\mathrm{\Sigma }$ 在$xoy$ 平面上的投影记为

$$D=\{(x,y):x^2+y^2\le ax\}=\{(x,y):{(x-\frac{a}{2})}^2+y^2\le {\left(\frac{a}{2}\right)}^2\},$$

所以

$$\mathrm{d}S=\sqrt{1+{\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)}^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\sqrt{2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y;$$

再结合区域$D$ 的对称性，有

$${\iint }_{\mathrm{\Sigma }}x\mathrm{d}S={\iint }_D\sqrt{2}x\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\sqrt{2}{\iint }_D[(x-\frac{a}{2})+\frac{a}{2}]\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\frac{\sqrt{2}a}{2}{\iint }_D\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\frac{\sqrt{2}}{8}\pi a^3.$$

也可以使用极坐标变换计算二重积分，设$x=r\cos t$, $y=r\sin t$, 则区域$D$ 表示满足$r\le a\cos t$ 的区域，其中$-\frac{\pi }{2}\le t\le \frac{\pi }{2}$, 由$\mathrm{d}x\mathrm{d}y=r\mathrm{d}r\mathrm{d}t$, 有

$$\begin{array}{rl}{\iint }_{\mathrm{\Sigma }}x\mathrm{d}S& ={\iint }_D\sqrt{2}x\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & =\sqrt{2}{\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\mathrm{d}t{\int }_0^{a\cos t}r\cos t\cdot r\mathrm{d}r\\ & =\frac{2\sqrt{2}}{3}{a}^3{\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{4}t\mathrm{d}t=\frac{\sqrt{2}}{8}\pi a^3.\end{array}$$

6. (10 分) 求极限

$$\underset{t\to 0+}{lim}\frac{1}{t^4}{\iiint }_{x^2+y^2+z^2\le t^2}f\left(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z,$$

其中$f$ 在$[0,1]$ 上连续，$f(0)=0$, $f^{\prime }(0)=1$.

提示

问题: 设函数$f(r)$ 在$[0,+\mathrm{\infty })$ 上连续可导，且$f(0)=0$. 试求

$$\underset{t\to 0+}{lim}\frac{1}{\pi t^4}{\iiint }_{V}f\left(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z,$$

其中积分区域$V:x^2+y^2+z^2\le t^2$.

用球面坐标变换

$$T:\{\begin{array}{l}x=r\sin \phi \cos \theta ,\\ y=r\sin \phi \sin \theta ,& 0\le \theta \le 2\pi ,0\le \phi \le \pi ,0\le r\le t;\\ z=r\cos \phi ,\end{array}$$

于是

$$\begin{array}{rl}\underset{t\to 0+}{lim}\frac{1}{\pi t^4}{\iiint }_{V}f\left(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z& =\underset{t\to 0+}{lim}\frac{1}{\pi t^4}{\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^{\pi }\mathrm{d}\phi {\int }_0^{t}f(r)r^2\sin \phi \mathrm{d}r\\ & =\underset{t\to 0+}{lim}\frac{4{\int }_0^{t}f(r)r^2\mathrm{d}r}{t^4}\\ & =\underset{t\to 0+}{lim}\frac{f(t)}{t}=f_{+}^{\prime }(0).\end{array}$$

7. (10 分) 求常数$\lambda$, 使得曲线积分

$${\int }_L\frac{x}{y}{r}^{\lambda }\mathrm{d}x-\frac{x^2}{y^2}{r}^{\lambda }\mathrm{d}y=0,(r=\sqrt{x^2+y^2})$$

对上半平面的任何光滑闭曲线$L$ 成立.

提示

设$P(x,y)=\frac{x}{y}{r}^{\lambda }$, $Q(x,y)=-\frac{x^2}{y^2}{r}^{\lambda }$, 则

$${\partial }_{y}P(x,y)=-\frac{x}{y^2}{r}^{\lambda }+\lambda x\cdot r^{\lambda -2},{\partial }_{x}Q(x,y)=-\frac{2x}{y^2}{r}^{\lambda }-\frac{x^3}{y^2}\lambda r^{\lambda -2}.$$

由于曲线积分的值与闭曲线$L$ 的选取无关，所以${\partial }_{y}P(x,y)={\partial }_{x}Q(x,y)$ 恒成立，解得$\lambda =-1$.

8. (10 分) 证明函数$f(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^x}$ 在$(1,\mathrm{\infty })$ 上无穷次可微.

提示

令$u_n(x)=\frac{1}{n^x}$, 显然$u_n^{(k)}(x)=(-1{)}^k{n}^{-x}{\ln }^{k}n$, $k=1,2,3,\cdots$, 在$(1,+\mathrm{\infty })$ 上连续；

对于任何$\delta >1$, 当$x\ge \delta$ 时，$|u_n^{(k)}(x)|\le \frac{1}{n^{\delta }}{\ln }^{k}n$, 而$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\ln }^{k}n}{n^{\delta }}$ 收敛，所以$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n(x)$, $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n^{(k)}(x)$, $k=1,2,3,\cdots$, 都在$[\delta ,+\mathrm{\infty })$ 上一致收敛，故$\zeta (x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^x}$ 在$[\delta ,+\mathrm{\infty })$ 内是连续的，并在这区间内有任意阶连续导数。由于$\delta >1$ 是任意的，所以$\zeta (x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^x}$ 在$(1,+\mathrm{\infty })$ 内是连续的，并在这区间内有任意阶连续导数.

由于$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$ 发散，显然$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^x}$ 在$(1,+\mathrm{\infty })$ 内非一致收敛，$\zeta (x)$ 在$(1,+\mathrm{\infty })$ 内也不一致连续。若$\zeta (x)$ 在$(1,+\mathrm{\infty })$ 内一致连续，则有$\underset{x\to 1+}{lim}\zeta (x)=A$ 存在且有限，而在$\zeta (x)>\sum _{n=1}^N\frac{1}{n^x}$ 中令$x\to 1+$, 取极限，得$A>\sum _{n=1}^N\frac{1}{n}$, $N=1,2,3,\cdots$, 矛盾.

9. (10 分) 求广义积分

$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\arctan (b{x}^2)-\arctan (a{x}^2)}{x}\mathrm{d}x,b>a>0.$$

提示

• 解法 1
• 解法 2

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\arctan \left(b{x}^2\right)-\arctan \left(a{x}^2\right)}{x}\mathrm{d}x& =\frac{1}{2}{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\arctan \left(b{x}^2\right)-\arctan \left(a{x}^2\right)}{x^2}\mathrm{d}{x}^2\\ & =\frac{1}{2}{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\arctan (by)-\arctan (ay)}{y}\mathrm{d}y\\ & =\frac{1}{2}{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\int }_a^b\frac{\partial }{\partial u}(\frac{1}{y}\arctan uy)\mathrm{d}u\mathrm{d}y\\ & =\frac{1}{2}{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\int }_a^b\frac{1}{1+u^2{y}^2}\mathrm{d}u\mathrm{d}y\\ & =\frac{1}{2}{\int }_a^b\mathrm{d}u{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{1+u^2{y}^2}\mathrm{d}y\\ & =\frac{1}{2}{\int }_a^b(\frac{1}{u}\arctan uy){\mid }_0^{+\mathrm{\infty }}\mathrm{d}u\\ & =\frac{1}{2}{\int }_a^b\frac{1}{u}\frac{\pi }{2}\mathrm{d}u=\frac{\pi }{4}\ln \frac{b}{a}.\end{array}$$

用 Frullani 积分公式，设$f(x)=\arctan x^2$, 则$f$ 在$[0,+\mathrm{\infty })$ 上连续，且$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\frac{\pi }{2}$, $f(0)=0$, 所以

$${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\arctan (b{x}^2)-\arctan (a{x}^2)}{x}\mathrm{d}x={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{f\left(\sqrt{b}x\right)-f\left(\sqrt{a}x\right)}{x}\mathrm{d}x=-f(+\mathrm{\infty })\ln \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\frac{\pi }{4}\ln \frac{b}{a}.$$

10. (10 分) 设$f(x)$ 是以$2\pi$ 为周期的周期函数，且$f(x)=x$, $-\pi \le x<\pi$.
求$f(x)$ 与$|f(x)|$ 的 Fourier 级数。它们的 Fourier 级数是否一致收敛 (给出证明)?

2000 年

一。计算: (每题 8 分)

1. 求极限

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{{(a+x)}^x-a^x}{x^2},a>0.$$

2. 求${\mathrm{e}}^{2x-x^2}$ 到含$x^5$ 项的 Taylor 展开式.

3. 求积分

   $${\int }_0^1\frac{x^b-x^a}{\ln x}\mathrm{d}x,$$

   其中$a>b>0$.

4. 求积分

   $${\iiint }_V{(x^2+y^2+z^2)}^{\alpha }\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z,$$

   其中$V$ 是实心球$x^2+y^2+z^2\le R^2$, $\alpha >0$.

5. 求积分

   $${\iint }_S{x}^3\mathrm{d}y\mathrm{d}z+y^3\mathrm{d}x\mathrm{d}z+z^3\mathrm{d}x\mathrm{d}y,$$

   其中$S$ 是$x^2+y^2+z^2=a^2$ 的外表面.

二。叙述定义 (每题 5 分)

1. $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }$.

2. 当$x\to a-0$ 时，$f(x)$ 不以$A$ 为极限.

三. (13 分) 函数$f(x)$ 在$[a,b]$ 上一致连续，又在$[b,c]$ 上一致连续，$a<b<c$, 用定义证明$f(x)$ 在$[a,c]$ 上一致连续.

四. (10 分) 构造一个二元函数$f(x,y)$, 使得它在原点$(0,0)$ 两个偏导数都存在，但在原点不可微.

五. (12 分) 函数$f(x)$ 在$[a,b]$ 连续，证明不等式

$${[{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x]}^2\le (b-a){\int }_a^b{f}^2(x)\mathrm{d}x.$$

六. (7 分 + 8 分)

1. 在区间$(0,2\pi )$ 内展开$f(x)$ 的 Fourier 级数:

   $$f(x)=\frac{\pi -x}{2}.$$

2. 证明它的 Fourier 级数在$(0,2\pi )$ 内每一点上收敛于$f(x)$.

1999 年

一. (15 分) 判断下列命题的真伪:

1. 设$\left\{a_n\right\}$ 是一个数列。若在任一子列$\left\{a_{n_k}\right\}$ 中均存在收敛子列$\left\{a_{n_{k_i}}\right\}$, 则$\left\{a_n\right\}$ 必为收敛列.

2. 设$f\in C((a,b))$, 若存在

   $$\underset{x\to a+}{lim}f(x)=A<0,\underset{x\to b-}{lim}f(x)=B>0,$$

   则必存在$\xi \in (a,b)$, 使得$f(\xi )=0$.

3. 设$f(x)$ 在$[a,b]$ 上有界。若对任意的$\delta >0$, $f(x)$ 在$[a+\delta ,b]$ 上可积，则$f(x)$ 在$[a,b]$ 上可积.

4. 设$f(x),g(x)$ 在$[0,1]$ 上的瑕积分均存在，则乘积$f(x)\cdot g(x)$ 在$[0,1]$ 上的瑕积分必存在.

5. 设级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ 收敛，若有$a_n\le b_n$, ($n=1,2,\cdots$), 则级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ 必收敛.

二. (40 分) 求下列极限值. (写出计算过程)

1. $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{a\tan x+b(1-\cos x)}{\alpha \log (1-x)+\beta (1-{\mathrm{e}}^{-x^2})},(a^2+{\alpha }^2\ne 0).$$
2. $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{\sin \frac{\pi }{n}}{n+1}+\frac{\sin \frac{2\pi }{n}}{n+\frac{1}{2}}+\cdots +\frac{\sin \pi }{n+\frac{1}{n}}).$$
3. $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^1{(1-x^2)}^n\mathrm{d}x.$$
4. $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{1+a^n},a>0.$$

三. (45 分) 求解下列命题:

1. 求级数$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{n}{3^n}{2}^n$ 之和.

2. 设$f\in C([0,1])$, 且在$(0,1)$ 上可微。若有$8{\int }_{7/8}^{1}f(x)\mathrm{d}x=f(0)$, 证明：存在$\xi \in (0,1)$, 使得$f^{\prime }(\xi )=0$.

3. 证明：级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{\arctan n}{\sqrt{n}}$ 收敛.

4. 证明：积分${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}x{\mathrm{e}}^{-xy}\mathrm{d}y$ 在$(0,+\mathrm{\infty })$ 上不一致收敛.

5. 设$u=f(x,y,z)$, $g(x^2,{\mathrm{e}}^y,z)=0$, $y=\sin x$, 且已知$f$ 与$g$ 都有一阶连续偏导数，$\frac{\partial g}{\partial z}\ne 0$. 求$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$.

6. 设$f(x)$ 在$[-1,1]$ 上二次连续可微，且有

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)}{x}=0.$$

   证明：级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}f\left(\frac{1}{n}\right)$ 绝对收敛.

1998 年

一. (26 分) 选一个最确切的答案，填入括号中.

1. 设$f(x)$ 定义在$[a,b]$ 上。若对任意的$g\in R([a,b])$, 有$f\cdot g\in R([a,b])$, 则 ( ).

(A) $f\in R([a,b])$, (B) $f\in C([a,b])$, (C) $f$ 可微，(D) $f$ 可导.

1. 设$f\in C((a,b))$. 若存在$$\underset{x\to a+}{lim}f(x)=1,\underset{x\to b-}{lim}f(x)=2$$ 则 ( )

(A) $f(x)$ 在$[a,b]$ 一致连续，(B) $f(x)$ 在$[a,b]$ 连续，(C) $f(x)$ 在$(a,b)$ 一致连续，(D) $f(x)$ 在$(a,b)$ 可微.

1. 若反常 (广义) 积分${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x$, ${\int }_0^{1}g(x)\mathrm{d}x$ 都存在，则反常积分$${\int }_0^{1}f(x)g(x)\mathrm{d}x.$$

(A) 收敛，(B) 发散，(C) 不一定收敛，(D) 一定不收敛.

1. 若$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n{a}_n=1$, 则$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$?

(A) 发散，(B) 收敛，(C) 不一定收敛，(D) 绝对收敛.

1. 设$f(x,y)$ 在区域$\{(x,y):x^2+y^2<1\}$ 上有定义。若存在偏导数$$f_x^{\prime }(0,0)=0=f_y^{\prime }(0,0),$$ 则$f(x,y)$?

(A) 在点$(0,0)$ 处连续，(B) 在点$(0,0)$ 处可微，(C) 在点$(0,0)$ 处不一定连续，(D) 在点$(0,0)$ 处不可微.

提示

1. A 2. C 3. C 4. A 5. C

二. (24 分) 计算下列极限 (写出演算过程)

1. $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{1+a^n}$, ($a>0$).

2. $\underset{x\to 0}{lim}(\frac{1}{x^2}-\frac{\cot x}{x})$.

3. $\underset{x\to 0+}{lim}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n{n}^x}$.

三. (10 分) 求下列积分值.

1. ${\iint }_S{x}^3\mathrm{d}y\mathrm{d}z+x^{2}y\mathrm{d}z\mathrm{d}x+x^{2}z\mathrm{d}x\mathrm{d}y$, 其中$S:z=0$, $z=b$, $x^2+y^2=a^2$.

2. ${\int }_C\frac{1}{y}\mathrm{d}x+\frac{1}{x}\mathrm{d}y$, 其中$C:y=1$, $x=4$, $y=\sqrt{x}$ 逆时针一周.

四. (16 分) 解答下列问题:

1. 求幂级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n!}{\left(\frac{n}{\mathrm{e}}\right)}^n{x}^n$ 的收敛半径.

2. 求级数$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^n(n+1)}{n!}$ 的和.

五. (24 分) 试证明下列命题:

1. 反常积分${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\sin x^2}{1+x^p}\mathrm{d}x$, ($p\ge 0$) 是收敛的.

2. 设$f(x,y)$ 在$G=\{(x,y):x^2+y^2<1\}$ 上有定义。若$f(x,0)$ 在$x=0$ 处连续，且$f_y^{\prime }(x,y)$ 在$G$ 上有界，则$f(x,y)$ 在$(0,0)$ 处连续.

1997 年

一. (10 分) 将函数 $f(x)=\arctan \frac{2x}{1-x^2}$ 在 $x=0$ 点展开为幂级数，并指出收敛区间.

二. (10 分) 判别广义积分的收敛性: ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\ln (1+x)}{x^p}\mathrm{d}x$.

三. (15 分) 设 $f(x)$ 在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 上有任意阶导数 $f^{(n)}(x)$, 且对任意有限闭区间 $[a,b]$, $f^{(n)}(x)$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $\varphi (x)$ ($n\to +\mathrm{\infty }$), 求证: $\varphi (x)=c{e}^x$, $c$ 为常数.

四. (15 分) 设 $x_n>0$, ($n=1,2\cdots$) 及 $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=a$, 用 $\epsilon -N$ 语言证明: $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{x_n}=\sqrt{a}$.

五. (15 分) 求第二型曲面积分 ${∯}_S(x\mathrm{d}y\mathrm{d}z+\cos y\mathrm{d}z\mathrm{d}x+\mathrm{d}x\mathrm{d}y)$, 其中 $S$ 为 $x^2+y^2+z^2=1$ 的外侧.

六. (20 分) 设 $x=f(u,v)$, $y=g(u,v)$, $w=w(x,y)$ 有二阶连续偏导数，满足 $\frac{\partial f}{\partial u}=\frac{\partial g}{\partial v}$, $\frac{\partial f}{\partial v}=-\frac{\partial g}{\partial u}$, $\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}w}{\partial y^2}=0$, 证明:
(1) $\frac{{\partial }^2(fg)}{\partial u^2}+\frac{{\partial }^2(fg)}{\partial v^2}=0$,
(2) $w(u,v)=w(f(u,v),g(u,v))$ 满足 $\frac{{\partial }^{2}w}{\partial u^2}+\frac{{\partial }^{2}w}{\partial v^2}=0$.

七. (15 分) 计算三重积分 ${\iiint }_{\mathrm{\Omega }:x^2+y^2+z^2\le 2z}{(x^2+y^2+z^2)}^{5/2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$.

1996 年

一. (共 25 分) 判断下列命题的真伪，不必说明理由.

1. 对数列 $\left\{a_n\right\}$ 作和 $S_n=\sum _{k=1}^n{a}_k$, 若 $\left\{S_n\right\}$ 是有界数列，则 $\left\{a_n\right\}$ 是有界列.
2. 数列 $\left\{a_n\right\}$ 存在极限 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a$ 的充分必要条件是：对任一自然数 $p$, 都有
   $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}|a_{n+p}-a_n|=0.$$
3. 设 $f(x)$ 是 $[a,+\mathrm{\infty })$ 上的递增连续函数，若 $f(x)$ 在 $[a,+\mathrm{\infty })$ 上有界，则 $f(x)$ 在 $[a,+\mathrm{\infty })$ 上一致连续.
4. 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且在 $(a,b)$ 上可微，若存在极限 $\underset{x\to a+0}{lim}{f}^{\prime }(x)=l$, 则右导数 $f_{+}^{\prime }(a)$ 存在且等于 $l$.
5. 若 $f(x)$ 是 $[a,+\mathrm{\infty })$ 上的非负连续函数，且积分 ${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x$ 收敛，则 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=0$.

二. (13 分) 设 $f(x)$ 在 $x=a$ 处可微，$f(a)\ne 0$, 求极限: $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left(\frac{f(a+\frac{1}{n})}{f(a)}\right)}^n$.

三. (20 分)

1. 求幂级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n{x}^{n-1}$, ($|x|<1$) 的和.
2. 求级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2n}{3^n}$ 的和.

四. (12 分) 求积分 $I={\iiint }_D(x+y+z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$ 的值。其中 $D$ 是由平面 $x+y+z=1$ 以及三个坐标平面所围成的区域.

五. (20 分) 设 $a_n\ne 0$, ($n=1,2,\cdots$), 且 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=0$, 若存在极限 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_{n+1}}{a_n}=l$, 证明: $|l|\le 1$.

六. (10 分) 设在 $[a,b]$ 上，$f_n(x)$ 一致收敛于 $f(x),g_n(x)$ 一致收敛于 $g(x)$, 若存在正数列 $\left\{M_n\right\}$ 使得 $|f_n(x)|\le M_n$, $|g_n(x)|\le M_n$, ($x\in [a,b]$, $n=1,2,\cdots$), 证明: $f_n(x)g_n(x)$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $f(x)g(x)$.

研究生保送试题

2005 级

一. (10 分) 用肯定语气叙述:

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)\ne -\mathrm{\infty }.$$

提示

解。存在序列$\left\{x_n\right\}$ 和实数$M$, 使得$x_n\to +\mathrm{\infty }$时，恒有$f(x_n)>M$.

二. (10 分) $a_1=1$, $a_{n+1}=\frac{1}{a_n+1}$, 求证: $a_n$ 有极限存在.

提示

$\left\{a_n\right\}$ 中$\left\{a_{2n-1}\right\}$ 与$\left\{a_{2n}\right\}$ 均为单调有界数列，故收敛，且有相同的极限.

三. (10 分) $f(x)$ 在区间$I=(a,b)$ 上任意点可以展开成幂级数，且在$I$ 上存在一列$\left\{x_j\right\}$, 使得$\underset{j\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}_j=x_0$, $x_0\in I$; 且对于任意的$j$ 有$f(x_j)=0$. 求证: $f(x)\equiv 0$, $x\in I$.

提示

由于$f(x)$ 在区间$I$ 上的任意一点可以展开成幂级数，所以$f(x)$ 所展开的幂级数在$I$ 上内闭一致收敛。由于幂级数的部分和均是$I$ 上的连续函数，所以$f(x)$ 在$I$ 上也连续，(因为连续函数的一致收敛极限是连续函数). 由于$x_0\in I$ 是任意的，而且存在序列$\left\{x_j\right\}$ 满足$x_j\to x_0$ 且$f(x_j)=0$, 取极限并利用$f$ 的连续性可得$f(x_0)=0$. 所以$f(I)=\left\{0\right\}$.

四. (18 分) 设$f(x),g(x)$ 在区间$I$ 一致连续。问$f(x)g(x)$ 在$I$ 上是否一致连续？并证明$\sqrt{x}\ln x$ 在$(0,+\mathrm{\infty })$ 上一致连续.

提示

不一定一致连续。取$f(x)=g(x)=x$, $I=\mathbb{R}$, 则$f(x)g(x)=x^2$ 在$I$ 上不一致连续。因为存在${\epsilon }_0=1$, 对于任意的$0<\delta <1$, 存在$x^{\prime }=\frac{1}{\delta }$, $x^{″}=\delta +\frac{1}{\delta }$, 使得

$$|{\delta }^2-{(\delta +\frac{1}{\delta })}^2|\ge 2-\frac{1}{{\delta }^2}>{\epsilon }_0=1,$$

所以$f(x)g(x)$ 在$I$ 上不一致连续.

取$f(x)=\sqrt{x}\ln x$, $f^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{2\sqrt{x}}\ln x$ 在$[1,+\mathrm{\infty })$ 上有界，所以$f(x)$ 在$[1,+\mathrm{\infty })$ 上一致连续。另一方面，$\underset{x\to 0}{lim}\sqrt{x}\ln x=0$, 所以$f(x)$ 在$(0,1]$ 上一致连续，所以$f(x)$ 在$(0,+\mathrm{\infty })$ 上一致连续.

五. (12 分) 将$\cos x$ 在$[0,\pi ]$ 上分别展开成为正弦和余弦级数，并说明其级数的和收敛到何种函数.

六. (10 分) 求

$${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{{\mathrm{e}}^{-2x}-{\mathrm{e}}^{-6x}}{x}\mathrm{d}x.$$

提示

$${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{e^{-2x}-e^{-6x}}{x}\mathrm{d}x={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\mathrm{d}x{\int }_2^6{e}^{-yx}\mathrm{d}y={\int }_2^6\frac{1}{y}\mathrm{d}y=\ln 3.$$

七. (10 分) 设$f(x)$ 在$(0,1)$ 严格单调上升，且$f(0)=0$, $f(1)=1$. 求证:

$$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^1{f}^n(x)\mathrm{d}x=0.$$

提示

$$|{\int }_0^1{f}^n(x)dx|\le |{\int }_0^{1-\epsilon }{f}^n(x)dx|+|{\int }_{1-\epsilon }^1{f}^n(x)dx|\le {\int }_0^{1-\epsilon }{f}^n(1-\epsilon )dx+f(1)\epsilon \to 0,n\to \mathrm{\infty }.$$

八. (10 分) 设$f(x)$ 在$(0,+\mathrm{\infty })$ 上单调下降趋于零，$g(x)\in C(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 为非常值的周期函数。求证: ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x$ 收敛等价于${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(x)|g(x)|\mathrm{d}x$ 收敛.

九. (10 分) 求解二型曲线积分

$${\int }_{\mathrm{\Delta }}({\mathrm{e}}^x\sin y-y^2)\mathrm{d}x+{\mathrm{e}}^x\cos y\mathrm{d}y,$$

其中$\mathrm{\Delta }$ 为${(x-\frac{a}{2})}^2+y^2=\frac{a^2}{4}$ 从$(a,0)$ 经上半平面到$(0,0)$ 的部分.

提示

用 Green 公式，对于封闭曲线$L$: $\mathrm{\Delta }\cup ((0,a)\times \left\{0\right\})$,

$${\oint }_L({\mathrm{e}}^x\sin y-y^2)\mathrm{d}x+{\mathrm{e}}^x\cos y\mathrm{d}y={\iint }_{D}2y\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_0^{\pi /2}2r\sin \theta \mathrm{d}\theta {\int }_0^{a\cos \theta }r\mathrm{d}r=\frac{a^3}{6}.$$

而在$(0,a)\times \left\{0\right\}$ 上

$${\int }_{(0,a)\times \left\{0\right\}}({\mathrm{e}}^x\sin y-y^2)\mathrm{d}x+{\mathrm{e}}^x\cos y\mathrm{d}y=0,$$

所以

$${\int }_{\mathrm{\Delta }}({\mathrm{e}}^x\sin y-y^2)\mathrm{d}x+{\mathrm{e}}^x\cos y\mathrm{d}y=\frac{a^3}{6}.$$

References

¹. https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzI2OTE2NzczNQ==&mid=2650060164&idx=1&sn=6819374267096850656515ce07008f73&chksm=f2e4689cc593e18adda4c16b9a9fc5a47528939eecd758ffa123a8f750126288f02759b084e7&scene=27 ↩

². https://zhuanlan.zhihu.com/p/458340430 ↩

³. https://baijiahao.baidu.com/s?id=1633482652167791589&wfr=spider&for=pc ↩

⁴. https://wenku.baidu.com/view/dc2a31e0777f5acfa1c7aa00b52acfc789eb9fba.html?_wkts_=1675994770732&bdQuery=%E5%8C%97%E4%BA%AC%E5%A4%A7%E5%AD%A62013%E5%B9%B4%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%88%86%E6%9E%90%E8%AF%95%E9%A2%98 ↩

⁵. https://wenku.baidu.com/view/769564e226d3240c844769eae009581b6ad9bd39.html?_wkts_=1675995958566&bdQuery=%E5%8C%97%E4%BA%AC%E5%A4%A7%E5%AD%A62014%E5%B9%B4%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%88%86%E6%9E%90%E8%AF%95%E9%A2%98 ↩

⁶. https://max.book118.com/html/2019/0505/7013145035002024.shtm ↩

⁷. https://wenku.baidu.com/view/53ada08a2379168884868762caaedd3382c4b559.html?_wkts_=1676013101055&bdQuery=%E5%8C%97%E4%BA%AC%E5%A4%A7%E5%AD%A62016%E5%B9%B4%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%88%86%E6%9E%90%E8%AF%95%E9%A2%98 ↩

⁸. https://wenku.baidu.com/view/2168c70ed0f34693daef5ef7ba0d4a7303766c7b.html?_wkts_=1676013636456&bdQuery=%E5%8C%97%E4%BA%AC%E5%A4%A7%E5%AD%A62017%E5%B9%B4%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%88%86%E6%9E%90%E8%AF%95%E9%A2%98 ↩

⁹. https://wenku.baidu.com/view/39f2e5bf54270722192e453610661ed9ac5155ce.html?_wkts_=1676014659277&bdQuery=%E5%8C%97%E4%BA%AC%E5%A4%A7%E5%AD%A62018%E5%B9%B4%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%88%86%E6%9E%90%E8%AF%95%E9%A2%98 ↩

¹⁰. https://wenku.baidu.com/view/ec952237b4360b4c2e3f5727a5e9856a561226d8.html?_wkts_=1676015610459&bdQuery=%E5%8C%97%E4%BA%AC%E5%A4%A7%E5%AD%A62019%E5%B9%B4%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%88%86%E6%9E%90%E8%AF%95%E9%A2%98 ↩