南京大学

2023 年

1. (10 分) 求极限

$\lim_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{5^{\frac{1}{n}}}{n+1}+\frac{5^{\frac{2}{n}}}{n+\frac{1}{2}}+\cdots+\frac{5^{\frac{n}{n}}}{n+\frac{1}{n}}\right).$

2. (20 分) (1). (10 分) 设 $C$ 为三维空间中环绕 $z$ 轴一周的光滑简单闭曲线 (与 $z$ 轴无交点), 其定向与 $z$ 轴成右手系, 记

$(P, Q, R)=\left(\frac{-y}{x^2+y^2}, \frac{x}{x^2+y^2}, 0\right),$

求 $\int_C P \ud x+Q \ud y+R \ud z$.
(2). (10 分) 设 $S$ 为三维空间中半径为 $R$ 的球面, $\mathbb{R}^3 \backslash\{0\}$ 中光滑向量场

$\vec{F}(x, y, z)=f(\|\vec{r}\|) \vec{r},$

其中 $\vec{r}=(x, y, z)$, $f$ 只依赖于 $|\vec{r}|$, $\vec{n}$ 为 $S$ 上单位外法向量. 若 $\int_S \vec{F} \cdot \vec{n} \ud \sigma$ 不依赖于 $R$, 求证: 存在常数 $C$ 使得

$f(\|\vec{r}\|)=C\|\vec{r}\|^{-3}.$

3. (15 分) 求 $y=x^2$ 到 $x-y=2$ 距离的最小值.

4. (15 分) 设 $B_1$ 为单位圆, $a, b \in \mathbb{R}$ 且 $a^2+b^2>1$. 求证:

$f(a, b)=\iint_{B_1} \ln \left[\left(x_1-a\right)^2+\left(x_2-b\right)^2\right] \mathrm{d} x_1 \ud x_2,$

只依赖于 $\sqrt{a^2+b^2}$, 并求其值.

5. (15 分) $f(x)$ 在 $(-1,1)$ 上 $2 k+2$ 阶连续可微, $k \in \mathbb{N}$ 满足

$f^{(i)}(0)=0,0 \leq i \leq 2 k \text { 且 } f^{(2 k+1)}(0) \neq 0.$

求证: $f(x)$ 在 $x=0$ 附近可逆.

6. (15 分) $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导,

$f(0)=f(1)=0, \min _{x \in[0,1]} f(x)=-1.$

求证: 存在 $\xi \in(0,1)$, 使得 $f^{\prime \prime}(\xi) \geq 8$.

7. (15 分) 幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} c_n x^n$ 的收敛半径为 $+\infty$ , 其和函数 $f(x)$ 是周期为 $2 \pi$ 的奇函数, $f(x)$ 的傅里叶级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin n x$. 求证:
(1). (5 分) $c_{2 k}=0, \forall k \in \mathbb{N}$.
(2). (10 分) $\forall k \in \mathbb{N}, \sum_{n=1}^{\infty} n^k\left|b_n\right|$ 收敛, 并求 $\sum_{n=1}^{\infty} n^{2 k-1} b_n$. (用幂级数系数表示)

8. (10 分) 比较 $\int_0^\pi \mathrm{e}^{\cos ^2 x} \ud x$ 与 $\frac{3}{2} \pi$ 的大小.

9. (20 分) 幂级数 $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n$ 在 $[0,1]$ 上收敛, $a_1 \neq 0$. 若 $f(x)$ 满足 $0 \leq f(x) \leq x, x \in[0,1]$, 且 $f(x) - x$ 不恒等于零.
(1). (5 分) 求证: $ 0 < a_1 \leq 1$;
(2). (10 分) 设 $0 < x_0 < 1$, $x_n = f\left(x_{n-1}\right)$, $n \geq 1$. 求证: $\exists \delta > 0$, 当 $x_0 < \delta$ 时, $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n = 0$;
(3). (5 分) 设 $a_2 \neq 0$, 令 $x_n$ 如上且 $x_0 < \delta$. 求证: $\sum_{n=1}^{\infty} x_n$ 收敛当且仅当 $a_1 < 1$.

10. (15 分) 末知.

2016 年¹⁶

1. (20 分) 计算
(1) $\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\cdots+\frac{1}{2n}\right)$;
(2) $\int_{0}^{\pi/2}\frac{\ud x}{1+\sin x}$.

2. (20 分) 计算三重积分

$\iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\ud x\ud y\ud z,$

其中$\Omega=\left\{ \left(x,y,z\right)\in\RR^{3}:\left|x\right|+\left|y\right|+\left|z\right|\le1\right\} $.

3. (15 分) 设函数$f:\RR\to\RR$在每一点附近都单调递增, 即$\forall x_{0}\in\RR$, $\exists\delta>0$, 使$f$在$\left(x_{0}-\delta,x_{0}+\delta\right)$中单调递增. 证明$f$在整个$\RR$中单调递增.

4. (15 分) 设级数$\sum_{n=1}^{\infty}\sqrt{n}a_{n}$收敛. 证明级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$收敛.

5. (20 分) 方程$x^{2}+2y^{2}+3z^{3}+2xy-z=7$在$\left(1,-2,1\right)$附近决定了隐函数$z=z(x,y)$. 计算二阶偏导数$\frac{\partial^{2}z}{\partial x\partial y}(1,-2)$.

6. (20 分) 证明: 存在常数$c>0$, 使得当$f\in C^{1}[0,1]$且$\int_{0}^{1}f(x)\ud x=0$时成立

$\int_{0}^{1}f^{2}(x)\ud x\le c\int_{0}^{1}\left|f'(x)\right|^{2}\ud x.$

7. (20 分) 设$A=\left(a_{ij}\right)$为$n$阶实正定对称方阵, $b_{i}$ ($i=1,2,\cdots,n$) 为实数. 考虑$\RR^{n}$中的函数

$f\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right)=\sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}-\sum_{i=1}^{n}b_{i}x_{i}.$

证明: $f$在$\RR^{n}$中有唯一的最小值点.

8. (20 分) 设$f:\RR\to\RR$为连续函数. 证明: $f$为凸函数当且仅当对任意区间$[a,b]\subseteq\RR$, 均有

$f\left(\frac{a+b}{2}\right)\le\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\ud x.$

2015 年¹⁵

1. (20 分) 计算极限和积分:
(1) $\lim_{x\to0}\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{\cot x}{x}\right)$;
(2) $\int_{0}^{1}x\left(1-x\right)^{2014}\ud x$.

2. (20 分) 求$(0,2\pi)$中$f(x)=(\pi-x)/2$. 计算$f(x)$的Fourier展开式, 并利用它求级数

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin n}{n}$

之和.

3. (20 分) 设$a,b>0$, $q>p>0$. 计算由椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$, $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=2$以及直线$y=px$, $y=qx$在平面第一象限所围区域的面积.

4. (15 分) 设$f:\RR\to\RR$为连续函数, 且$\lim_{x\to-\infty}f(x)<0$, $\lim_{x\to+\infty}f(x)>0$. 证明: 存在$\xi\in\RR$, 使得$f(\xi)=0$.

5. (15 分) 设$f:\RR\to\RR$为可导函数, 且$\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=+\infty$, 证明: 存在数列$x_{n}\to+\infty$, 使得$\lim_{x\to+\infty}f’(x_{n})=+\infty$.

6. (20 分) 设$a_{1}>0$, $a_{n+1}=n+\frac{a_{n}}{n}$, 请判断极限$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{n}$是否存在, 如果存在请计算此极限.

7. (20 分) 设$f:\RR^{n}\to\RR$为可微函数, 且

$\left\langle \nabla f(x),x\right\rangle \ge0,\quad\forall x\in\RR^{n},$

其中$\left\langle \cdot,\cdot\right\rangle $为$\RR^{n}$中的标准内积, $\nabla f$为$f$的梯度. 证明原点为$f$的最小值点.

8. (20 分) 设$f:\RR^{n}\to\RR^{n}$可微, 且$\norm{Jf(x)}\le\frac{1}{2}$总成立, 其中

$f(x)=\left(f_{1}(x),\cdots,f_{n}(x)\right),\quad\norm{Jf(x)}=\left[\sum_{i,j=1}^{n}\left(\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}\right)^{2}\right]^{1/2}.$

令$g(x)=x+f(x)$, 证明$g$既是单射, 又是满射.

2014 年

1. (20) 计算极限和积分
(1)

$\lim_{n\to\infty}\left(n\sin\frac{1}{n}\right)^{n^{2}}.$

(2)

$\int_{0}^{\pi}\frac{\ud x}{2+\cos x}.$

2. (20) 设$f(x)$为偶函数, 在$[0,\pi]$中$f(x)=x(\pi-x)$. 计算$f(x)$的Fourier展开式, 并用它求级数$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^{2}}$之和.

3. (20) 计算积分$\int_{\Omega}(x^{2}+2y^{2})\ud x\ud y\ud z$, 其中$\Omega=\left\{ \left(x,y,z\right)\in\RR^{3}:x^{2}+2y^{2}+3z^{2}\le1\right\} $.

4. (15) 设方程$\sin x-x\cos x=0$在$(0,+\infty)$中的第$n$个解为$x_{n}$. 证明:

$n\pi+\frac{\pi}{2}-\frac{1}{n\pi}<x_{n}<n\pi+\frac{\pi}{2}.$

5. (15) 设$f:\RR\to\RR$为可导函数, 且$f(f(x))\equiv f(x)$. 证明: 要么$f$为常值函数, 要么$f(x)\equiv x$.

6. (20) 设$f(x,y)$为$[0,1]\times[0,1]$中定义的二元函数. 如果对每一个固定的$x\in[0,1]$, $f(x,y)$关于$y$在$[0,1]$中Riemann可积, 且

$\left|f(x_{1},y)-f(x_{2},y)\right|\le\left|x_{1}-x_{2}\right|,\quad\forall x_{1},x_{2},y\in[0,1].$

证明$f(x,y)$为二元Riemann可积函数.

7. (20) 证明方程$x^{2}-xy+z\sin y+\ue^{z}=0$在$(1,2,0)$附近决定了隐函数$z=z(x,y)$. 并计算$\frac{\partial z}{\partial x}(1,2)$, $\frac{\partial z}{\partial y}(1,2)$, $\frac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}}(1,2)$, $\frac{\partial^{2}z}{\partial x\partial y}(1,2)$, $\frac{\partial^{2}z}{\partial y^{2}}(1,2)$.

8. (20) 设$f(x)$在$[1,+\infty)$中单调递减趋于$0$. 且当$s>1$时, 广义积分$\int_{1}^{+\infty}\left[f(x)\right]^{s}\ud x$均收敛, 证明:
(1) 极限

$\lim_{n\to\infty}\left\{ \sum_{k=1}^{n}f(k)-\int_{1}^{n}f(x)\ud x\right\}$

存在且有限.
(2) 极限

$\lim_{s\to1+}\left\{ \sum_{k=1}^{\infty}\left[f(k)\right]^{s}-\int_{1}^{\infty}\left[f(x)\right]^{s}\ud x\right\}$

存在且有限.

2013 年¹³

1. (20 分) 计算下列极限
(1) $\lim_{n\to\infty}\left(\cos\frac{1}{n}\right)^{n^{2}}$.
(2) $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}$.

2. (20 分) 计算下列积分.
(1) $\int_{a}^{b}\left(x-a\right)^{2}\left(b-x\right)^{3}\ud x$.
(2) $\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin^{3}x}{x^{3}}\ud x$.

3. (20 分) 在$\RR^{4}$中定义如下有界区域$\Omega$.

$\Omega=\left\{ \left(x,y,z,w\right)\in\RR^{4}:\left|x\right|+\left|y\right|+\sqrt{z^{2}+w^{2}}\le1\right\}.$

计算$\Omega$的体积.

4. (15 分) 设$f(x)$在$[a,b]$中可导, $f(a)=0$. 如果$f’(x)\ge f(x)$, 证明: 函数$f(x)$为单调递增函数.

5. (15 分) 设数列$\left\{ a_{n}\right\} $单调递减趋于$0$, 证明$\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$收敛, 当且仅当$\sum_{n=1}^{\infty}3^{n}a_{3^{n}}$收敛.

6. (15 分) 设$f:\RR^{2}\to\RR$为连续函数, 且满足条件:

$f\left(x+1,y\right)=f\left(x,y+1\right)=f(x,y),\quad\forall(x,y)\in\RR^{2}.$

证明: $f$为一致连续函数.

7. (15 分) 证明: 方程$F(x,y)=1-\ue^{-x}+y^{3}\ue^{-y}=0$在$x>0$, $y\in\RR^{1}$中存在唯一解$y=y(x)$, $x>0$, 并且$y(x)$是连续可微.

8. (15 分) 设$\left\{ a_{n}\right\} $是一个数列, 且$S_{n}=\sum_{i=1}^{n}a_{i}$为部分和.
(1) 若$\lim_{n\to\infty}a_{n}=0$时, 证明: $\lim_{n\to\infty}\frac{S_{n}}{n}=0$.
(2) 设$\left\{ S_{n}\right\} $有界, $\lim_{n\to\infty}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)=0$时, 证明:

$\lim_{n\to\infty}a_{n}=0.$

(3) 当$\lim_{n\to\infty}\frac{S_{n}}{n}=0$且$\lim_{n\to\infty}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)=0$时, 能否推出

$\lim_{n\to\infty}a_{n}=0?$

9. (15 分) 设$f$为$\RR$上周期为$1$的连续可微函数, 如果$f$满足条件:

$f(x)+f\left(x+\frac{1}{2}\right)=f(2x),\quad\forall x\in\RR.$

证明: $f$恒等于$0$.

2012 年

1. (10 分) 设 $x_{n}=\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{4}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{\frac{1}{2^{n}}}\right)$, 证明: 数列 $\left\{ x_{n}\right\} $ 收敛.

2. (15 分) 设 $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=A$ 及 $\lim_{x\rightarrow A}g(x)=B$, 由此是否可推出 $\lim_{x\rightarrow a}g(f(x))=B$? 若答案为 “是”, 请给出证明; 若答案为 “否”, 请给出反例.

3. (15 分) 设 $F(y)=\int_{0}^{1}\ln\sqrt{x^{2}+y^{2}}\ud x$, 判断 $F(y)$ 在 $y=0$ 是否可导.

4. (15 分) 求由曲面 $x^{2}+\frac{y^{2}}{4}+\frac{z}{3}=1$, $x^{\frac{3}{3}}+\left(\frac{y}{2}\right)^{\frac{2}{3}}=1$, $z=0$ 所围立体体积.

5. (15 分) 计算

$\oint_{c}(y-z)\ud x+(z-x)\ud y+(x-y)\ud z,$

式中$c$为椭圆$x^{2}+y^{2}=1$, $x+\frac{z}{2}=1$, 若从$OX$轴正向看去, 此椭圆是依逆时针方向进行的.

6. (20 分) 若 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内是二阶可导的, 且 $f^{\prime}(1)=f^{\prime}(2)=0$, 证明: 存在 $c\in(1,2)$, 使得 $\left|f’’(c)\right|\ge4|f(2)-f(1)|$.

7. (20 分) 设 $f(x)$ 在 $(0,1]$ 内单调下降, 且 $\lim_{x\rightarrow0^{+}}f(x)=+\infty$, 若 $\int_{0}^{1}f(x)\ud x$ 存在, 证明:

$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)=\int_{0}^{1}f(x)\mathrm{d}x.$

8. (20 分) 判断数项级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{\left[\sqrt{n}\right]}}{n}$的敛散性, 这里$\left[\cdot\right]$表示$\cdot$的整数部分.

9. (20 分) 求级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^{2}}$ 的和.

2011 年

1. (10 分) 设 $f(x)$ 定义在实数轴上, 且对于任意 $x,y\in\mathbb{R}$, 有

$|f(x)-f(y)|\le |x-y|^{2},$

证明: $f(x)$ 是常值函数.

2. (10 分) 设幂级数$\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}$的收敛半径为$1$, 问级数$\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}$是否收敛. 请说明理由.

3. (20 分) 设 $f(x)$ 是 $[1,+\infty)$ 上单调递减的非负函数, 令

$a_{n}=\sum_{k=1}^{n}f(k)-\int_{1}^{n}f(x)\mathrm{d}x,$

其中 $n$ 是正整数, 证明: 数列 $\left\{ a_{n}\right\} $ 收敛.

4. (20 分) 设二元函数 $f(x,y),g(x,y)$ 定义在紧集 $\mathbb{K}$ 上且有连续的一阶偏导数, 对 $\forall(x,y)\in\mathbb{K}$, 有 $f_{x}^{\prime}g_{y}^{\prime}-f_{y}^{\prime}g_{x}^{\prime}\neq0$, 证明: 在 $\mathbb{K}$ 内同时满足 $f(x,y)=0$ 和 $g(x,y)=0$ 的点至多只有有限个.

5. (15 分) 方程 $z^{2}x-z^{3}y+y-1=0$ 在点 $(1,2,1)$ 附近确定了函数 $z=z(x,y)$, 求 $\left.\frac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}}\right|_{(1,2)}$.

方程$z^{2}y-xz^{3}-1=0$在$(1,2,1)$附近决定了隐函数$z=z(x,y)$, 求$\frac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}}(1,2)$的值.

6. (20 分) 讨论广义积分 $\iint_{D}\frac{\ud x\ud y}{|x|^{p}+|y|^{q}}$ 的敛散性, 其中 $D=\{(x,y):|x|+|y\mid\geqslant1\}$.

7. (20 分) 设$f(x)$在$[0,\pi]$上二阶连续可微, 且$f(\pi)=2$, 满足

$\int_{0}^{\pi}\left(f(x)+f''(x)\right)\sin x\ud x=5.$

求$f(0)$.

8. (15 分) 设级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}-a_{n-1}\right)$ 绝对收敛, 级数 $\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}$ 收敛, 证明: 级数 $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}b_{n}$ 收敛.

9. (20 分) 设$\sum$是由$F(x,y,z)=0$确定的光滑简单闭曲面, $F(x,y,z)$二阶连续可微, 且$\nabla F(x,y,z)\ne0$, 这里$\nabla F$是$F$的梯度. 如果$\Omega=\left\{ (x,y,z):F(x,y,z)<0\right\} $为曲面$\sum$所围成的区域, 计算三重积分

$\iiint_{\Omega}\udiv\left(\frac{\nabla F}{\norm{\nabla F}}\right)\ud x\ud y\ud z,$

这里$\udiv\left(\cdot\right)$是向量场的散度.

2010 年

一. 设 $a_{1}=1$, $a_{n+1}=\sqrt{1+a_{n}}$, 说明 $a_{n}$ 的收敛性并求极限.

二. 确定 $a,b$ 的值

$\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=\ue+\frac{a}{n}+\frac{b}{n^{2}}+O\left(\frac{1}{n^{3}}\right),\quad(n\rightarrow\infty).$

三. 计算积分

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{x^{2}}{\sin^{2}x}\ud x.$

四. 计算

$\iint_{\Sigma}\frac{z}{r^{3}}\ud x\ud y+\frac{x}{r^{3}}\ud y\ud z+\frac{y}{r^{3}}\ud z\ud x,$

其中 $\sum:\{(x,y,z):|x|+|y|+|z|\leq1\}$, $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$, 方向向外.

五. 设正项级数 $\sum_{x=1}^{\infty}a_{n}$ 收敛, 证明: 级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\sqrt[n]{a_{n}a_{n+1}\cdots a_{2n-1}}$ 收敛.

六. 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, 且在 0 处可微, 证明:

$\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(x)\left[\frac{1}{2}+\cos x+\cos2x+\cdots+\cos nx\right]dx=\frac{\pi}{2}f(0).$

七. 映射 $f:\RR^{n}\rightarrow \RR$ 二阶连续可微, 且 $\mathrm{Hesse}(f)\geq I_{n}$, $I_{n}$ 为 $n$ 阶单位方阵, 证明: $\nabla f:\RR^{n}\rightarrow \RR^{n}$ 可逆且逆映射光滑, 其中 $\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x_{1}},\frac{\partial f}{\partial x_{2}},\cdots,\frac{\partial f}{\partial x_{n}}\right)$ 为 $f$ 的梯度.

八. 函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, 在一个可数集之外可导且导数非负, 证明: $f(a)\leq f(b)$.

九. $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上二阶可导, $f(a)=f(b)=0$, 证明: 存在 $\xi\in(a,b)$ 使得 $\int_{a}^{b}f(x)dx=\frac{f^{\prime\prime}(\xi)}{12}(a-b)^{3}$.

2009 年

一. (10 分) 能否将 $(0,1)$ 之间的有理数按照从小到大的顺序排成一列? 请说明你的理由.

二. (10 分) 如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ 收敛, 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}^{2}$ 是否也收敛? 请说明你的理由.

三. (20 分, 每题 10 分) 计算下列极限:
(1) 设 $a>0$, $b>0$. 求极限 $\lim_{n\rightarrow+\infty}\sqrt[n]{a^{n}+b^{n}}$.
(2) 求极限 $\lim_{x\rightarrow0}\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x\sin x}\right)$.

四. (20 分) 设 $f(x)$ 为 $[0,1]$ 上的可微函数. 问: $f^{\prime}(x)$ 是否在 $[0,1]$ 上有界? 若答案为 “是”, 请给出证明; 若答案为“否”, 请给出反例.

五. (20 分) 设 $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ 是连续函数. 如果 $f$ 有一个惟一的极值点, 证明这个极值点一定是最值点(最小值或最大值).

六. (15 分) 设函数, $f(x)$ 在 $[0,1]$ 区间二阶连续可微, 且 $f(0)=0$, $f(1)=1$, $f^{\prime\prime}(x)<0$, $\forall x\in[0,1]$. 证明 $f(x)\geq x$, $\forall x\in[0,1]$.

七. (20 分) 设 $f(x,y)$ 是 $z_{0}=\left(x_{0},y_{0}\right)\in\mathbb{R}^{2}$ 附近的 $C^{2}$ 函数, 请计算下面的极限

$\lim_{h\rightarrow0}h^{-2}\left[\frac{1}{\pi h^{2}}\int_{B\left(z_{0},h\right)}f(x,y)\ud x\ud y-f\left(x_{0},y_{0}\right)\right],$

其中 $B\left(z_{0},h\right)$ 是平面上以 $z_{0}$ 为中心, $h$ 为半径的圆盘.

八. (15 分) 计算积分 $\iint_{\Sigma}z\ud x\ud y+x\ud y\ud z+y\ud z\ud x$, 其中 $\Sigma$ 为八分之一球面

$\Sigma=\left\{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x\geq0,y\geq0,z\geq0,x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}\right\} ,$

方向朝外.

九. (20 分) 设 $f(x)$ 是 $[-\pi,\pi]$ 上的有界变差函数, 证明其 Fourier 系数 $a_{n},b_{n}$ 满足条件

$a_{n}=O(n),\quad b_{n}=O(n).$

2008 年

一. (10分) 设 $f(x)$ 为 $\mathbb{R}^{1}$ 上的周期函数, 且 $\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=0$. 证明 $f$ 恒为 0.

二. (10分) 设定义在 $\mathbb{R}^{2}$ 上的二元函数 $f(x,y)$ 关于 $x,y$ 的偏导数均恒为零, 证明 $f$ 为常值函数.

三. (10分) 设 $f_{n}(x)$ ($n\geq1$) 为 $\mathbb{R}^{1}$ 上的一致连续函数, 且 $\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}(x)=f(x)$, $\forall x\in\mathbb{R}^{1}$. 问: $f(x)$ 是否为连续函数? 若答案为 “是”, 请给出证明; 若答案为 “否”, 请给出反例.

四. (15分) 是否存在$[0,1]$区间上的数列$\left\{ x_{n}\right\} _{n\ge1}$, 使得该数列的极限点 (即聚点) 集为$[0,1]$? 把极限点集换成$(0,1)$, 结论如何? 请证明你的所有结论.

五. (10分) 设 $f(x)$ 为 $[0,+\infty)$ 上的非负连续函数, 且 $\int_{0}^{+\infty}f(x)dx<\infty$. 问: $f(x)$ 是否在 $[0,+\infty)$ 上有界? 若答案为 “是”, 请给出证明; 若答案为 “否”, 请给出反例.

六. (10分) 计算由函数 $f_{1}(x)=\frac{1}{2}x^{2}$ 和 $f_{2}(x)=-x^{2}+1$ 的图像在平面 $\mathbb{R}^{2}$ 上所围成区域的面积.

七. (10分) 计算积分

$\iint_{\mathbb{R}^{2}}\ue^{-\left(2x^{2}+2xy+y^{2}\right)}\ud x\ud y.$

八. (15分) 计算积分 $\iiint_{\Omega}xyz\ud x\ud y\ud z$, 其中 $\Omega$ 为如下区域:

$\Omega=\left\{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x\geq0,y\geq0,z\geq0,x+y+z\leq a\right\} ,$

$a$ 为正常数.

九. (10分) 设 $a_{n}>0$, ($n\geq1$), $S_{n}=\sum_{k=1}^{n}a_{k}$. 证明级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n}}{S_{n}^{2}}$ 是收敛的.

十. (15分) 方程 $x^{2}+2y^{2}+3z^{3}+2xy-z=7$ 在 $(1,-2,1)$ 附近决定了隐函数 $z=z(x,y)$. 求 $\frac{\partial^{2}z}{\partial x\partial y}(1,-2)$ 的值.

十一. (15分) 求函数 $f(x,y,z)=x^{3}+y^{3}+z^{3}$ 在约束条件

$x+y+z=2,x^{2}+y^{2}+z^{2}=12$

下的极值, 并判断极值的类型.

十二. (10分) 设 $f\in C^{1}[0,1]$, 且 $f(0)=f(1)=0$, 证明

$\int_{0}^{1}[f(x)]^{2}\ud x\leq\frac{1}{4}\cdot\int_{0}^{1}\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}\ud x.$

十三. (10分) 设 $f(x)$ 为 $[0,\pi]$ 上的连续函数, 且对任意正整数 $n\geq1$, 均有

$\int_{0}^{\pi}f(x)\cos nx\ud x=0.$

证明 $f$ 为常值函数.

2007 年

一. (30分) 举例

举一个极限点在$[0,1]$区间上稠密的数列.
举一个有振动间断点的函数.
举一个连续但不是一致连续的函数.
举一个可逆的可微函数, 其逆函数不可微.
举一个非零的可微函数, 它在某一点的任意阶导数均为零.
举一个Riemann不可积的函数.
举一个非负函数$f(x)$, 它在$[0,+\infty)$上积分收敛, 但极限$\lim_{x\to+\infty}f(x)$不存在.
举一个在$[0,1]\times[0,1]$上定义的二元函数$f(x,y)$, 它分别对于变量$x,y$连续, 但不是连续的二元函数.
举一个偏导数存在, 但不可微的二元函数.
举一个收敛但不绝对收敛的数项级数.

二. (10分) 假设一元函数$\varphi(x)$一阶连续可导. 令$f(x)=x^{2}\cdot\varphi(x)$, 计算$f’’(x)$.

三. (10分) 研究一元函数 $y=\sin\left(x^{3}\right)$ 的极值点, 零点, 并画出草图.

四. (10分) 计算积分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\cos x+\cos2x+\cdots+\cos20x)\cdot\sin(10x)\ud x$.

五. (10分) 计算积分 $\iint_{S}\frac{ds}{(1+x+y)^{2}}$, 其中 $S$ 为四面体 $x+y+z\leq1$.

六. (10分) 计算二重积分 $\iint_{D}|x-y|\ud x\ud y$, 其中 $D$ 为圆域 $x^{2}+y^{2}\leq a^{2}$.

七. (10分) 设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 区间二阶连续可微, 且 $f(0)=0$, $f(1)=1$, $f^{\prime\prime}(x)<0$, $\forall x\in[0,1]$. 证明 $f(x)\geq x$, $\forall x\in[0,1]$.

八. (10分) 设 $a_{n+1}>a_{n}>0$, $n=1,2,\cdots$. 证明: 级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a_{n-1}}{a_{n}}-1\right)$ 收敛的充分必要条件是级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\right)$ 收敛.

九. (15分) 设 $f_{n}(x)$ 是 $[0,1]$ 上的非负连续函数.对 $\forall\varepsilon>0$, 级数 $\sum_{n=1}^{\infty}f_{n}(x)$ 在 $[0,\varepsilon]$ 上一致收敛到 $f(x)$. 若 $\lim_{x\rightarrow1^{-}}f(x)=a$ 有限. 证明:
(1) $\sum_{n=1}^{\infty}f_{n}(1)$ 收敛, 且 $\sum_{n=1}^{\infty}f_{n}(1)=a$;
(2) 若令 $\overline{f}(x)=\begin{cases}
f(x), & x\in[0,1),\\
a, & x=1,
\end{cases}$, 则 $\sum_{n=1}^{\infty}f_{n}(x)$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛到 $\overline{f}(x)$.

十. (10分) 设 $f:\RR^{2}\rightarrow\RR$ 为二元连续函数. 证明存在两个不同的点 $p,q$ 使得 $f(p)=f(q)$.

十一. (15分) (1) 设 $f(t)$ 连续, 试证明

$\iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq1}f(ax+by+cz)\ud x\ud y\ud z=\pi\int_{-1}^{1}(1-u)f(ku)\ud u,$

其中 $k=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}>0$.
(2) 利用 (1) 或直接计算积分 $\iint_{S}\left(\frac{1}{2}x^{2}+xy+xz\right)\ud y\ud z$, 其中 $S$ 是球面 $(x-\alpha)^{2}+(y-\beta)^{2}+(z-\gamma)^{2}=R^{2}$, 且积分是沿球面外侧而取的.

十二. (10分) 设 $f:\RR^{n}\rightarrow\RR^{n}$ 为 $C^{1}$ 的向量值函数, 且满足条件

$\|f(x)-f(y)\|\geq\|x-y\|,\quad\forall x,y\in\RR^{n},$

这里 $\norm{\cdot}$ 是 $\RR^{n}$ 上的标准范数. 证明 $f$ 可逆, 且其逆映射也是 $C^{1}$ 的.

2006 年

一. (每小题 8 分) 计算下列各题:

求
$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2^{2}}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n^{2}}}\right);$
求
$\lim_{x\to0+}\frac{x^{\sin x}-1}{x^{x}-1};$
设$0<\alpha<1$, 求
$\lim_{x\to0,y\to0}\left(x^{\alpha}+y^{\alpha}\right)\ln\left(x^{2}+y^{2}\right);$
设$f(x)\in C(-\infty,+\infty)$, 且$\lim_{x\to2}\frac{f(x)}{x-2}=2$, 求$f’(2)$;
设$f(x)\in C[0,+\infty)$, $b>a>0$, 求$\lim_{x\to0+}\int_{ax}^{bx}\frac{f(t)}{t}\ud t$.

二. (10分) 设$f(x)$在$\RR$上二次可导, $\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=1$, 且$f’’(x)>0$, 试证明, $f(x)\ge x$, $\forall x\in\RR$.

三. (15分) 设$f(x)=x\ln x+a$, $a$为实参数, 试讨论方程$f(x)=0$在$(0,+\infty)$内有几个实根, 并指出实根的范围.

四. (15分) 设$x_{1}=\frac{1}{2}$, $x_{n+1}=\frac{1}{1+x_{n}}$, $n=1,2,3,\cdots$, 试证明级数$\sum_{n=1}^{\infty}\left(x_{n+1}-x_{n}\right)$绝对收敛, 并求级数$\sum_{n=1}^{\infty}\left(x_{n+1}-x_{n}\right)$之和.

五. (10分) 设$S$为椭球面$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$的上半部, $\left(\lambda,\mu,\nu\right)$为$S$的外法向的方向余弦, 计算曲面积分

$I=\iint_{S}\left(\lambda\frac{x^{2}}{a^{2}}+\mu\frac{y^{2}}{b^{2}}+\nu\frac{z^{2}}{c^{2}}\right)\ud S.$

六. (15分) 试求函数级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x}{x^{2}+n^{2}}$和$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n(-1)^{n}}{x^{2}+n^{2}}$收敛域 (绝对收敛或条件收敛), 并讨论它们在收敛域内的一致收敛性.

七. (15分) 设$f(x)$, $g(x)$在$[a,b]$上二阶可导, $f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0$, 且$x\in(a,b)$时, $g’’(x)\ne0$, 试证明:

$\forall x\in(a,b)$, $g(x)\ne0$;
存在$\xi\in(a,b)$, 使$f(\xi)g’’(\xi)-g(\xi)f’’(\xi)=0$.

八. (15分) 设$f(x)\in C[0,+\infty)$, $\int_{0}^{+\infty}\varphi(x)\ud x$绝对收敛, 试证明:

$\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{n}f\left(\frac{x}{n^{1+\alpha}}\right)\varphi(x)\ud x=f(0)\int_{0}^{+\infty}\varphi(x)\ud x,$

其中$\alpha>0$.

九. (15分) 设$f(x)\in C[a,b]$, 在$(a,b)$内二次可导, $f(a)=f(b)$, 且存在一点$c\in(a,b)$, 使$f(c)>f(a)$, 试证明存在两点$\xi_{1},\xi_{2}\in(a,b)$, 使$f’’(\xi_{1})<0$, $f’’(\xi_{2})<0$.

2001 年⁰⁰

1. 求下列极限
(1) 设$a_{1}=0$, $a_{n}=\frac{a_{n-1}+3}{4}$, ($n\ge2$), 求$\lim_{n\to\infty}a_{n}$;
(2)

$\lim_{x\to+\infty,y\to0+}\left(x^{2}+\frac{1}{y^{2}}\right)\ue^{-\sqrt{x+\frac{1}{y}}};$

(3) 设$f(x)\in C[A,B]$, $A<a<b<B$, 试求

$\lim_{h\to0}\int_{a}^{b}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\ud x.$

(4) 设$f(x)$在$(0,1)$内可导, 且$\left|f’(x)\right|<1$, $\forall x\in(0,1)$, 令$x_{n}=f\left(\frac{1}{n}\right)$, ($n\ge2$), 试证明$\lim_{n\to\infty}x_{n}$存在有限.

2. 设$g(x)\in C^{2}(-\infty,+\infty)$, $g(0)=1$, 令$f(x)=\begin{cases}
g’(0), & \text{当}x=0\text{时,}\\
\frac{g(x)-\cos x}{x}, & \text{当}x\ne0\text{时.}
\end{cases}$
(1) 讨论$f(x)$在$x=0$处的连续性;
(2) 求$f’(x)$, 并讨论$f’(x)$在$x=0$处的连续性.

3. 设$f(x)\in C^{1}[0,1]$, $f(0)=0$, $0<f’(x)\le1$, $\forall x\in[0,1]$, 试证明对于一切$t\in[0,1]$, 成立

$\left(\int_{0}^{t}f(x)\ud x\right)^{2}\ge\int_{0}^{t}\left[f(x)\right]^{3}\ud x.$

4. 求下列积分
(1) 计算反常积分$I=\int_{0}^{+\infty}\frac{\ue^{-x}\sin x}{x}\ud x$;
(2) 计算曲面积分$I=\iint_{\sum}x^{2}\ud y\ud z+y^{2}\ud z\ud x+z^{2}\ud x\ud y$, 其中$\sum$为锥面$z^{2}=\frac{h^{2}}{a^{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right)$, $0\le z\le h$那部分的外侧.

5. 求$f(x)=\arctan\frac{2x}{1-x^{2}}$在$x=0$处的幂级数展开式, 并计算$S=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2n+1}$的值.

6. 设$x_{n+1}=\frac{\alpha+x_{n}}{1+x_{n}}$, $\alpha>1$, $x_{1}\ge0$.
(1) 证明级数$\sum_{n=1}^{\infty}\left(x_{n+1}-x_{n}\right)$绝对收敛;
(2) 求级数$\sum_{n=1}^{\infty}\left(x_{n+1}-x_{n}\right)$的和.

7. 设$I(\alpha,\beta)=\int_{0}^{+\infty}\exp\left(\frac{-t^{4}}{\alpha^{2}+\beta^{2}}\right)\ud t$, 其中$\alpha,\beta$满足不等式$\alpha^{2}-2\alpha+\beta^{2}\le-\frac{3}{4}$.
(1) 讨论含参变量积分$I(\alpha,\beta)$在区域$D:\alpha^{2}-2\alpha+\beta^{2}\le-\frac{3}{4}$上的一致收敛性;
(2) 求$I(\alpha,\beta)$在区域$D$上的最小值.

2000 年⁰⁰

1. 求下列极限.
(1) 设$x_{n+1}=\frac{3\left(1+x_{n}\right)}{3+x_{n}}$, ($x_{1}>0$为已知), 求$\lim_{n\to\infty}x_{n}$;
(2) $\lim_{x\to0,y\to0}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{x^{2}y^{2}}$;
(3) $\lim_{x\to0+}\int_{1/x}^{+\infty}\frac{\cos t}{t^{2}}\ud t$;
(4) $\lim_{r\to0+}\frac{1}{\pi r^{2}}\iint_{x^{2}+y^{2}\le2r^{2}}\ue^{xy^{2}}\cos\left(x^{2}-y\right)\ud x\ud y$.

2. 在$[-1,1]$上有二阶连续导数, $f(0)=0$, 令$g(x)=\frac{f(x)}{x}$, ($x\ne0$),
$g(0)=f’(0)$, 证明:
(1) $g(x)$在$x=0$处连续, 且可导, 并计算$g’(0)$;
(2) $g’(0)$在$x=0$处也连续.

3. 设$f_{n}(t)=\left(1-\ue^{-t/n}\right)\ue^{-t}\sin^{3}t$, ($t\ge0$), 试证明
(1) 函数序列$\left\{ f_{n}(t)\right\} $在任一有穷区间$[0,A]$上和无穷区间$[0,+\infty)$上均一致收敛于$0$;
(2)

$\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{+\infty}\left(1-\ue^{-t/n}\right)^{4}\ue^{-t}\sin^{3}t\ud t=0.$

4. 设对任意的$A>0$, $f(x)$在$[0,A]$上正常可积, 且$\int_{0}^{+\infty}f(t)\ud\ne0$收敛. 令$\varphi(x)=\int_{0}^{x}f(t)\ud t-\int_{x}^{+\infty}f(t)\ud t$, ($x\ge0$), 试证明$\varphi(x)$在$(0,+\infty)$内至少有一个零点.

5. 计算积分$I(a)=\int_{0}^{\pi/2}\ln\left(a^{2}\cos^{2}x+\sin^{2}x\right)\ud x$, ($a>0$).

6. 试求指数$\lambda$, 使得$\frac{x}{y}r^{\lambda}\ud x-\frac{x^{2}}{y^{2}}r^{\lambda}\ud y$为某个函数$u(x,y)$的全微分, 并求$u(x,y)$, 其中$r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$.

7. 计算下列曲线积分和曲面积分
(1)

$I=\oint_{C}\left(x+\sqrt{2}y^{3}z\right)\ud x+\left(x-\sqrt{2}y\right)\ud y+\left(x+y+z\right)\ud z,$

其中$C$为$x^{2}+2y^{2}=1$与$x^{2}+2y^{2}=-z$的交线, 从原点看去是逆时针方向.
(2)

$I=\oiint_{S}x^{2}\ud y\ud z+y^{2}\ud z\ud x+z^{2}\ud x\ud y,$

其中$S:\left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}+\left(z-c\right)^{2}=R^{2}$.

8. 设$u_{n}(x)=x^{n}\ln x$, $x\in[0,1]$,
(1) 试讨论$\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}(x)$在$(0,1]$上的收敛性和一致收敛性;
(2) 计算$\int_{0}^{1}\sum_{n=1}^{\infty}x^{n}\ln x\ud x$.

9. 设

$f(x,t)=\begin{cases} \exp\left[-\left(t^{2}+\frac{x^{2}}{t^{2}}\right)\right], & t>0,x>0\\ 0, & t=0,x>0 \end{cases},\quad I(x)=\int_{0}^{\infty}f(x,t)\ud t,\quad(x>0).$

(1) 讨论$\int_{0}^{+\infty}f(x,t)\ud t$在$(0,+\infty)$上的一致收敛性, 并证明

$\lim_{x\to0+}I(x)=\int_{0}^{+\infty}\ue^{-t^{2}}\ud t=\frac{\sqrt{\pi}}{2}.$

(2) 计算$I(x)$.

References

¹³. https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzA4NDI3MjgyMw==&mid=2448247856&idx=4&sn=b3becd82db75bcd4b40708ce916f3e22&chksm=8bf05fe8bc87d6fe2b3901fe1ccf1a157c8c946f82d3307f3057a6a7d455b337f8ae09fd1b87&scene=27 ↩

^13-1. https://www.cnblogs.com/xiaoxixi/p/4204609.html ↩

¹⁵. https://wenku.baidu.com/view/cc557eb0a55177232f60ddccda38376bae1fe009.html?_wkts_=1676378982685&bdQuery=2015%E5%B9%B4%E5%8D%97%E4%BA%AC%E5%A4%A7%E5%AD%A6%E8%80%83%E7%A0%94%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%88%86%E6%9E%90 ↩

¹⁶. https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzI2OTE2NzczNQ==&mid=2650056977&idx=1&sn=a29fd5dd249580b129477041e54406e7&chksm=f2e47409c593fd1fe90d56e457c6572f1d845107e9def5061aad86ef4c048da1c7be52d29d76&scene=27 ↩

⁰⁰. https://wenku.baidu.com/view/c50fe6a3a3116c175f0e7cd184254b35effd1a52.html?_wkts_=1676380533808&bdQuery=2017%E5%B9%B4%E5%8D%97%E4%BA%AC%E5%A4%A7%E5%AD%A6%E8%80%83%E7%A0%94%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%88%86%E6%9E%90 ↩