关于每个变量连续的间断函数.

\[
f(x,y)=\begin{cases}
\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2}\ne0,\\
0, & x=y=0.
\end{cases}
\]

一个二元函数在原点没有极限, 但沿着任一直线逼近原点存在极限.

\[
f(x,y)=\begin{cases}
\frac{x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2}\ne0,\\
0, & x=y=0.
\end{cases}
\]

以下三种极限恰有两个存在且相等的函数

\[
\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)\quad\lim_{x\to a}\lim_{y\to b}f(x,y),\quad\lim_{y\to b}\lim_{x\to a}f(x,y).
\]

(1).
\[
f(x,y)=\begin{cases}
\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2}\ne0,\\
0, & x=y=0.
\end{cases}
\]

(2).
\[
f(x,y)=\begin{cases}
y+x\sin(1/y), & y\ne0,\\
0, & y=0.
\end{cases}
\]

(3).
\[
f(x,y)=\begin{cases}
x+y\sin(1/x), & x\ne0,\\
0, & x=0.
\end{cases}
\]

以上三种极限恰有一个存在的函数.

(1).
\[
f(x,y)=\begin{cases}
x\sin(1/y)+y\sin(1/x), & xy\ne0,\\
0, & xy=0.
\end{cases}
\]

(2).
\[
f(x,y)=\begin{cases}
\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}+y\sin(1/x), & x\ne0,\\
0, & x=0.
\end{cases}
\]

(3).
\[
f(x,y)=\begin{cases}
\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}+x\sin(1/y), & y\ne0,\\
0, & y=0.
\end{cases}
\]

累次极限交换次序不相等的函数.

\[
f(x,y)=\begin{cases}
\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2}\ne0,\\
0, & x=y=0.
\end{cases}
\]

$f(x,y)\rightrightarrows g(x)$, $y\to 0$, $f(x,y)\rightrightarrows h(y)$, $x\to0$, 且
\[
\lim_{x\to0}g(x)=\lim_{y\to0}h(y),
\]
但
\[
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)
\]
仍不存在的函数.

\[
f(x,y)=\begin{cases}
1, & xy\ne0,\\
0, & xy=0.
\end{cases}
\]

可微, 但不连续可微的二元函数.

\[
f(x,y)=\begin{cases}
x^{2}\sin(1/x)+y^{2}\sin(1/y), & xy\ne0,\\
x^{2}\sin(1/x), & x\ne0,y=0,\\
y^{2}\sin(1/y), & x=0,y\ne0,\\
0, & x=y=0.
\end{cases}
\]

二阶混合偏导不相等的可微函数.

\[
f(x,y)=\begin{cases}
xy\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2}\ne0,\\
0, & x=y=0.
\end{cases}
\]

$f(x,y)\in C^{1}$, 在区域$R$上$\partial_{y}f=0$恒成立, 但$f$并非与$y$无关.

取$L=\RR_{\ge0}\times\left\{ 0\right\} $, $R=\RR\setminus L$, 定义
\[
f(x,y)=\begin{cases}
x^{3}, & x>0\text{ 且 }y>0,\\
0, & \text{others}.
\end{cases}
\]

微分和积分交换次序:

存在满足

\[
\frac{\ud}{\ud x}\int_{a}^{b}f(x,y)\ud y\ne\int_{a}^{b}\left[\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)\right]\ud y,
\]
的函数, 尽管每个积分都是常义积分.

\[
f(x,y)=\begin{cases}
\frac{x^{2}}{y^{2}}\ue^{-x^{2}/y}, & y>0,\\
0, & y=0,
\end{cases}
\]
分$x$是否等于零两种情况.

交换积分次序不相等的函数, 即使每个积分都是常义积分.

在$[0,1]^{2}$中,

\[
f(x,y)=\begin{cases}
y^{-2}, & 0<x<y<1,\\
-x^{-2}, & 0<y<x<1,\\
0, & \text{others.}
\end{cases}
\]

二重级数$\sum_{m,n}a_{mn}$, 虽然按行和按列都有收敛性, 但求和次序交换并不相等.

如:
\[
\begin{bmatrix}0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{8} & \frac{1}{16} & \frac{1}{32} & \cdots\\
-\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{8} & \frac{1}{16} & \cdots\\
-\frac{1}{4} & -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{8} & \cdots\\
-\frac{1}{8} & -\frac{1}{4} & -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \cdots\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots
\end{bmatrix}
\]