数列的极限

第2节数列的极限

一、数列极限的引入

极限概念源于求解实际问题的精确解，如计算由 $y = x^2$、$y = 0$、$x = 1$ 围成的曲边三角形面积 $A$。
使用“台阶形”逼近法，将区间 $[0,1]$ 分为 $n$ 等份，构造面积 $A_n$：

\[
A_n = \frac{1}{n^3} \left[1^2 + 2^2 + \cdots + (n-1)^2\right] = \frac{1}{6n^3} \cdot n(n-1)(2n-1)
\]

化简得：

\[
A_n = \frac{1}{3} - \left( \frac{1}{2n} - \frac{1}{6n^2} \right)
\]

当 $n \to \infty$，$A_n \to A = \frac{1}{3}$，体现了极限思想。

二、数列与整标函数

定义：

数列是一列按顺序排列的实数：$x_1, x_2, \dots, x_n, \dots$，记为 $\{x_n\}$。
第 $n$ 项 $x_n$ 称为通项。

例子：

$A_2, A_3, \dots, A_n, \dots$
$1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots, \frac{1}{n}, \dots$
$2, 4, 8, \dots, 2^n, \dots$
$\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \dots, \frac{1}{2^n}, \dots$
$1, -1, 1, \dots, (-1)^{n+1}, \dots$
$2, \frac{1}{2}, \frac{4}{3}, \dots, \frac{n + (-1)^{n-1}}{n}, \dots$

几何意义：

数列 $\{x_n\}$ 表示数轴上的一列点。
从函数角度看，数列是整标函数：$x_n = f(n), \quad n \in \mathbb{N}^*$

三、极限思想的核心

利用规则图形（如台阶形）的极限来逼近不规则图形（如曲边三角形）的面积。
体现了“极限方法”在解决实际问题中的基本思想。

数列极限的定义（$\varepsilon–N$ 定义）: 设有数列 $\{x_n\}$，若对于 任意给定的正数 $\varepsilon > 0$，总存在正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，不等式

$|x_n - a| < \varepsilon$

恒成立，则称常数 $a$ 是数列 $\{x_n\}$ 的极限，或称数列 收敛于 $a$，记为：

$\lim_{n \to \infty} x_n = a \quad \text{或} \quad x_n \to a \ (n \to \infty)$

若数列没有极限，则称它是 发散的。

用定义证明极限的例子

例 1.2.1 证明：$\lim_{n \to \infty} \left[ 1 + \frac{(-1)^{n-1}}{n} \right] = 1$

证：
\[
|x_n - 1| = \left| \frac{(-1)^{n-1}}{n} \right| = \frac{1}{n}
\]
要使 $\frac{1}{n} < \varepsilon$，只需 $n > \frac{1}{\varepsilon}$。
取 $N = \left\lfloor \frac{1}{\varepsilon} \right\rfloor$，则当 $n > N$ 时，有 $|x_n - 1| < \varepsilon$，故极限为 1。

例 1.2.2 证明：$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n} = 0$

证：
\[
\left| \frac{1}{2^n} - 0 \right| = \frac{1}{2^n}
\]
要使 $\frac{1}{2^n} < \varepsilon$，只需 $n > \log_2 \frac{1}{\varepsilon}$。
取 $N = \left\lfloor \log_2 \frac{1}{\varepsilon} \right\rfloor$，则当 $n > N$ 时，有 $\left| \frac{1}{2^n} \right| < \varepsilon$，故极限为 0。

例 1.2.3 证明：$\lim_{n \to \infty} \frac{3n-1}{2n-1} = \frac{3}{2}$

证：
\[
\left| \frac{3n-1}{2n-1} - \frac{3}{2} \right| = \frac{1}{4n - 2} < \frac{1}{n}
\]
要使 $\frac{1}{n} < \varepsilon$，只需 $n > \frac{1}{\varepsilon}$。
取 $N = \left\lfloor \frac{1}{\varepsilon} \right\rfloor$，则当 $n > N$ 时，有 $\left| x_n - \frac{3}{2} \right| < \varepsilon$，故极限为 $\frac{3}{2}$。

四、数列极限的性质

1. 唯一性

定理 1: 任何收敛数列 $\{x_n\}$ 的极限都是唯一的。

用反证法证明

假设 $\{x_n\}$ 收敛于两个不同的极限 $a$ 和 $b$（设 $a < b$），取 $\varepsilon = \frac{b - a}{2}$，则存在 $N_1, N_2$ 使得：

当 $n > N_1$ 时，$x_n < \frac{a + b}{2}$
当 $n > N_2$ 时，$x_n > \frac{a + b}{2}$

取 $N = \max\{N_1, N_2\}$，则当 $n > N$ 时，$x_n$ 同时满足上述两个矛盾的不等式，故假设不成立，极限唯一。

2. 有界性

定理 2: 如果数列 $\{x_n\}$ 收敛，则 $\{x_n\}$ 一定有界。

证明

设 $\lim_{n \to \infty} x_n = a$，取 $\varepsilon = 1$，则存在 $N$，当 $n > N$ 时：
\[
|x_n - a| < 1 \Rightarrow |x_n| < 1 + |a|
\]
取：
\[
M = \max\{|x_1|, |x_2|, \dots, |x_N|, 1 + |a|\}
\]
则对所有 $n$，有 $|x_n| \leq M$，即 $\{x_n\}$ 有界。

3. 有界性与收敛性的关系

收敛 ⇒ 有界（定理 2）
有界 ⇏ 收敛（反例：$x_n = (-1)^{n+1}$）
无界 ⇒ 发散
发散 ⇏ 无界（反例：$(-1)^{n+1}$ 有界但发散）

4. 例题：证明发散性

例 1.2.4：证明 $x_n = (-1)^{n+1}$ 发散

证（反证法）：
假设收敛于 $a$，取 $\varepsilon = \frac{1}{2}$，则存在 $N$，当 $n > N$ 时：

若 $n = 2k$，则 $x_n = -1$，有 $| -1 - a | < \frac{1}{2}$
若 $n = 2k+1$，则 $x_n = 1$，有 $|1 - a| < \frac{1}{2}$

于是：
\[
2 = |(1 - a) + (1 + a)| \leq |1 - a| + |1 + a| < 1
\]
矛盾，故发散。

5. 思考与解惑

下列说法错误的是：

(A) 数列有界是数列收敛的必要条件 ✅
(B) 有界数列不一定收敛 ✅
(C) 无界数列一定发散 ✅
(D) 发散数列一定无界 ❌（反例：$(-1)^{n+1}$）

正确答案：D

五、子列（子数列）

（1）定义

在数列 $\{x_n\}$ 中，任意取出无穷多项，并保持这些项在原数列中的先后次序，得到的新数列称为子列，记为 $\{x_{n_k}\}$，其中：

$x_{n_k}$ 是子列的第 $k$ 项；
$n_k$ 是该项在原数列中的下标，且满足 $n_k \geq k$。

定理 3 (子列的收敛性): 若数列 $\{x_n\}$ 收敛于 $a$，则它的 任意子列 $\{x_{n_k}\}$ 也收敛于 $a$。

证明思路

由 $\lim_{n \to \infty} x_n = a$，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N$，当 $n > N$ 时，$|x_n - a| < \varepsilon$。
对于子列 $\{x_{n_k}\}$，取 $K = N$，则当 $k > K$ 时，有 $n_k \geq k > N$，故 $|x_{n_k} - a| < \varepsilon$。

（3）推论：判断发散的方法

若一个数列存在 两个子列收敛于不同的极限，则该数列发散。

例子：

$x_n = (-1)^{n+1}$，其奇子列 $x_{2k-1} \to 1$，偶子列 $x_{2k} \to -1$，故原数列发散。

（4）奇子列与偶子列的关系

若数列 $\{x_n\}$ 收敛于 $a$，则其奇子列 $\{x_{2k-1}\}$ 和偶子列 $\{x_{2k}\}$ 都收敛于 $a$。
反之，若奇子列和偶子列都收敛于 同一个极限 $a$，则原数列也收敛于 $a$。

思考与解惑（选择题回顾）