无穷小与无穷大

一、无穷小的定义

定义: 若 $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = 0$（或 $\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = 0$），则称 $f(x)$ 为当 $x \to x_0$（或 $x \to \infty$）时的 无穷小。

例子：

$\lim_{x \to 0} \sin x = 0$ ⇒ $\sin x$ 是 $x \to 0$ 时的无穷小
$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$ ⇒ $\frac{1}{x}$ 是 $x \to \infty$ 时的无穷小

注意：

无穷小是相对于自变量变化过程而言的。
除 0 以外，任何常数都不是无穷小。
- 因为 $\lim_{x \to x_0} C = C \ne 0$（除非 $C = 0$）

无穷小与函数极限的关系

定理:

$\lim_{x \to x_0} f(x) = A \ \iff\ f(x) = A + \alpha(x)，\quad \lim_{x \to x_0} \alpha(x) = 0$

提示

设 $\alpha(x) = f(x) - A$，则 $\lim_{x \to x_0} \alpha(x) = 0$
反之，若 $f(x) = A + \alpha(x)$，且 $\alpha(x) \to 0$，则 $f(x) \to A$

无穷小的运算法则

定理: 有限个无穷小的和是无穷小.

提示

证明思路：对每个无穷小控制其绝对值小于 $\frac{\varepsilon}{n}$，取最小 $\delta$，利用三角不等式。

注意：无限个无穷小的和不一定是无穷小。

例如：
\[
\lim_{n \to \infty} n \left( \frac{1}{n^2 + \pi} + \frac{1}{n^2 + 2\pi} + \cdots + \frac{1}{n^2 + n\pi} \right) = 1
\]

定理: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.

提示

利用有界性 $|u(x)| \leq M$ 和无穷小定义，控制乘积小于 $\varepsilon$。

推论:

常数与无穷小的乘积是无穷小。
有限个无穷小的乘积是无穷小。

二、无穷大的定义

定义: 若对任意 $M > 0$，存在 $\delta > 0$（或 $X > 0$），使得当 $0 < |x - x_0| < \delta$（或 $|x| > X$）时，恒有：

$|f(x)| > M$

则称 $f(x)$ 当 $x \to x_0$（或 $x \to \infty$）时为 无穷大，记作：

$\lim_{x \to x_0} f(x) = \infty$

正无穷大与负无穷大：

若 $f(x) > M$，记为 $\lim f(x) = +\infty$
若 $f(x) < -M$，记为 $\lim f(x) = -\infty$

无穷大的运算定理

在自变量的同一变化过程中，关于无穷大有以下运算定理：

两个无穷大的积仍为无穷大。
无穷大与有界函数的和、差仍为无穷大。
无穷大与极限不为零的有界函数的积仍为无穷大。

✅ 说明：这些定理补充了前一节中“无穷小运算定理”的对应内容，但需注意：

无穷大之间相加、减不一定仍是无穷大（可能相消）。

无穷大与趋于零的函数的乘积不一定无穷大（可能为无穷小、有界或振荡）。

无穷大是一个变量（函数），不是具体的数。无论绝对值多大的常数都不是无穷大。

若函数在某过程中发散于无穷大，则它在该过程中无界。

反之不成立：无界函数不一定是无穷大。

例子说明

函数 $f(x) = \frac{1}{x} \sin \frac{1}{x}$ 在 $x \to 0$ 时无界，但不是无穷大，因为它在某些点取零。

无穷大的判定与铅垂渐近线

例：证明 $\lim_{x \to 1} \frac{1}{x-1} = \infty$
- 使用 $\varepsilon-\delta$ 方法，取 $\delta = \frac{1}{M}$，满足定义。
若 $\lim_{x \to x_0} f(x) = \infty$，则直线 $x = x_0$ 是函数图像的铅垂渐近线。

三、无穷大与无穷小的关系

定理: 在自变量的同一变化过程中：

若 $f(x)$ 是无穷大，则 $\frac{1}{f(x)}$ 是无穷小。
若 $f(x)$ 是无穷小且 $f(x) \neq 0$，则 $\frac{1}{f(x)}$ 是无穷大。

该定理将无穷大的问题转化为无穷小问题，简化讨论。

可能存在的错误或需澄清之处：

无界与无穷大的区别：例子 $f(x) = \frac{1}{x} \sin \frac{1}{x}$ 很好地说明了无界不一定无穷大，但应强调“无穷大要求函数值的绝对值始终大于任意大数”，而无界只要求存在某些点函数值很大。
关于无穷大，有没有相应的运算定理？
- 无穷大没有像无穷小那样统一的运算法则。例如：
  - 无穷大 + 无穷大不一定是无穷大（可能相消）；
  - 无穷大 × 有界函数不一定无穷大；
  - 无穷大 × 无穷大是无穷大（正负号需考虑）。