无穷小的比较

定义: 设 $\alpha(x), \beta(x)$ 为无穷小.

  1. 高阶无穷小：$\lim \frac{\beta}{\alpha} = 0$，记作 $\beta = o(\alpha)$
  2. 低阶无穷小：$\lim \frac{\beta}{\alpha} = \infty$
  3. 同阶无穷小：$\lim \frac{\beta}{\alpha} = C \neq 0$
  4. $k$阶无穷小：$\lim \frac{\beta}{\alpha^k} = C \neq 0$
  5. 等价无穷小：$\lim \frac{\beta}{\alpha} = 1$，记作 $\alpha \sim \beta$

等价无穷小的性质

  1. 反身性：$\alpha \sim \alpha$
  2. 对称性：若 $\alpha \sim \beta$，则 $\beta \sim \alpha$
  3. 传递性：若 $\alpha \sim \beta$，$\beta \sim \gamma$，则 $\alpha \sim \gamma$

无穷小比较的例题分析

例: 当 $x \to 0$ 时比较无穷小

(1) $\sin 5x$ 和 $3x$
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{3x} = \frac{5}{3} \neq 0
\]
⇒ 同阶无穷小

(2) $1 - \cos x$ 和 $x$
\[
\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0
\]
⇒ $1 - \cos x$ 是比 $x$ 高阶的无穷小

(3) $1 - \cos x$ 和 $\frac{1}{2}x^2$
\[
\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\frac{1}{2}x^2} = 1
\]
⇒ 等价无穷小：$1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2$

(4) $\sin x$ 和 $\tan x$
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x} = 1
\]
⇒ 等价无穷小：$\sin x \sim \tan x$（当 $x \to 0$）

(5) $\sqrt{1 + x} - 1$ 和 $\frac{x}{2}$
利用有理化可得：
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{\frac{x}{2}} = 1
\]
⇒ 等价无穷小：$\sqrt{1 + x} - 1 \sim \frac{x}{2}$

无穷小比较的应用价值

  • 为后续学习泰勒展开和极限计算奠定基础
  • 等价无穷小替换是求极限的重要方法

常见等价无穷小（$x \to 0$时）

  • $\sin x \sim x$，$\tan x \sim x$
  • $1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2$
  • $\ln(1 + x) \sim x$，$e^x - 1 \sim x$
  • $\sqrt{1 + x} - 1 \sim \frac{x}{2}$