无穷小的比较
定义: 设 $\alpha(x), \beta(x)$ 为无穷小.
- 高阶无穷小：$\lim \frac{\beta}{\alpha} = 0$，记作 $\beta = o(\alpha)$
- 低阶无穷小：$\lim \frac{\beta}{\alpha} = \infty$
- 同阶无穷小：$\lim \frac{\beta}{\alpha} = C \neq 0$
- $k$ 阶无穷小：$\lim \frac{\beta}{\alpha^k} = C \neq 0$
- 等价无穷小：$\lim \frac{\beta}{\alpha} = 1$，记作 $\alpha \sim \beta$
核心概念
在自变量同一变化趋势下(如 $x \to 0$)，比较两个无穷小 $\alpha$ 和 $\beta$ 趋于零的“速度”.
这里 $\alpha$ 和 $\beta$ 都是自变量的函数, 且极限均为零。
- 阶的比较标准：通过计算极限 $\lim \frac{\beta}{\alpha}$ 来判断：
- 如果 $\lim \frac{\beta}{\alpha} = 0$，则 $\beta$ 是比 $\alpha$ 高阶的无穷小，记作 $\beta = o(\alpha)$。
- 如果 $\lim \frac{\beta}{\alpha} = \infty$，则 $\beta$ 是比 $\alpha$ 低阶的无穷小。
- 如果 $\lim \frac{\beta}{\alpha} = C \neq 0$(C为常数)，则 $\beta$ 与 $\alpha$ 是同阶无穷小。
- 如果 $\lim \frac{\beta}{\alpha} = 1$，则 $\beta$ 与 $\alpha$ 是等价无穷小，记作 $\alpha \sim \beta$。
等价无穷小的性质
- 反身性：$\alpha \sim \alpha$
- 对称性：若 $\alpha \sim \beta$，则 $\beta \sim \alpha$
- 传递性：若 $\alpha \sim \beta$，$\beta \sim \gamma$，则 $\alpha \sim \gamma$
无穷小比较的例题分析
例: 当 $x \to 0$ 时比较无穷小:
(1) $\sin 5x$ 和 $3x$
所以 $\sin 5x$ 和 $3x$ 是 $x\to0$ 时的同阶无穷小.
(2) $1 - \cos x$ 和 $x$
所以 $1 - \cos x$ 是比 $x$ 高阶的无穷小.
(3) $1 - \cos x$ 和 $\frac{1}{2}x^2$
所以有 等价无穷小：$1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2$.
(4) $\sin x$ 和 $\tan x$
所以有 等价无穷小：$\sin x \sim \tan x$, (当 $x \to 0$).
(5) $\sqrt{1 + x} - 1$ 和 $\frac{x}{2}$
利用有理化可得：
所以有 等价无穷小：$\sqrt{1 + x} - 1 \sim \frac{x}{2}$.
例: 求 $\lim\limits_{x \to 0} \frac{2x^3 + x}{\sin x}$。
提示
利用 $\sin x \sim x$ 进行代换，简化为 $\lim_{x \to 0} (2x^2 + 1) = 1$。
例: 求 $\lim\limits_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2 + 3x^3}$。
提示
利用 $1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2$ 进行代换，简化为
例: 求 $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{\sin^3 x}$。
提示
通过恒等变形 $\tan x - \sin x = \tan x (1 - \cos x)$，再利用 $\tan x \sim x$，$1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2$，$\sin^3 x \sim x^3$ 进行代换求解。
无穷小比较的应用价值
- 为后续学习泰勒展开和极限计算奠定基础
- 等价无穷小替换是求极限的重要方法
常见等价无穷小 ($x \to 0$ 时)
- $\sin x \sim x$，$\tan x \sim x$
- $1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2$
- $\ln(1 + x) \sim x$，$e^x - 1 \sim x$
- $\sqrt{1 + x} - 1 \sim \frac{x}{2}$
- $\sqrt[n]{1 + x} - 1 \sim \frac{x}{n}$
- $(1+x)^{\mu}-1\sim \mu x$
重要定理
定理: (等价无穷小的充要条件): $\beta$ 与 $\alpha$ 是等价无穷小的充分必要条件是：
\[
\beta = \alpha + o(\alpha)
\]
提示
- 必要性($\Rightarrow$)：根据等价无穷小的定义, 有 $\lim \frac{\beta}{\alpha} = 1$，可推出 $\lim \frac{\beta - \alpha}{\alpha} = 0$，即 $\beta - \alpha = o(\alpha)$。
- 充分性($\Leftarrow$)：由 $\beta = \alpha + o(\alpha)$，可推出 $\lim \frac{\beta}{\alpha} = \lim (1 + \frac{o(\alpha)}{\alpha}) = 1$。满足等价无穷小的定义, 所以 $\beta\sim\alpha$.
定理: (等价无穷小在乘除极限中的代换): 设 $\alpha \sim \alpha’$，$\beta \sim \beta’$，$\gamma \sim \gamma’$ 为同一极限过程中的非零无穷小，则有：
\[
\lim \frac{\beta \gamma}{\alpha} = \lim \frac{\beta’ \gamma’}{\alpha’}
\]
提示
利用极限的乘法性质，将原极限拆分为 $\lim \frac{\beta’ \gamma’}{\alpha’} \cdot \frac{\alpha’}{\alpha} \cdot \frac{\beta}{\beta’} \cdot \frac{\gamma}{\gamma’}$，由于每个等价比的极限均为1，故整体极限不变。
应用价值：在求极限时，分子或分母的乘积因子可以被其等价无穷小替换，从而简化计算。
