极限存在准则与两个重要极限

极限存在准则

准则1（夹逼定理）

数列形式: 如果数列 $\{x_n\}, \{y_n\}, \{z_n\}$ 满足：

1. $y_n \leq x_n \leq z_n \quad (n = 1, 2, 3, \ldots)$
2. $\lim\limits_{n \to \infty} y_n = \lim\limits_{n \to \infty} z_n = a$

则 $\{x_n\}$ 的极限存在，且 $\lim\limits_{n \to \infty} x_n = a$

函数形式（准则I’）: 如果函数 $f(x), g(x), h(x)$ 满足：

1. 在 $x_0$ 的某去心邻域内（或 $|x| > X$），有 $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$
2. $\lim g(x) = \lim h(x) = A$

则 $\lim f(x) = A$

✅ 注意：函数形式的夹逼定理中的极限过程有如下两种常见形式：

• 当 $x \to x_0$ 时：$\lim_{x \to x_0} g(x) = \lim_{x \to x_0} h(x) = A$
• 当 $x \to \infty$ 时：$\lim_{x \to \infty} g(x) = \lim_{x \to \infty} h(x) = A$

准则II（单调有界准则）

单调有界数列必有极限：

• 单调增加且有上界的数列必有极限.
• 单调减少且有下界的数列必有极限.

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应用实例

问题(夹逼定理的应用): 求 $\lim\limits_{n \to \infty} n \left( \frac{1}{n^2 + \pi} + \frac{1}{n^2 + 2\pi} + \cdots + \frac{1}{n^2 + n\pi} \right)$.

解

• 建立不等式：$\frac{n^2}{n^2 + n\pi} < x_n < \frac{n^2}{n^2 + \pi}$
• 两边极限：$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2 + n\pi} = 1$，$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2 + \pi} = 1$
• 由夹逼定理：$\lim_{n \to \infty} x_n = 1$

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问题(单调有界准则的应用): 设 $x_1 = \sqrt{2}, x_n = \sqrt{2 + x_{n-1}}$，证明极限存在并求值.

提示

1. 单调性：用数学归纳法证明 $x_{n+1} > x_n$（单调增加）
2. 有界性：用数学归纳法证明 $x_n < 2$（有上界）
3. 求极限：设 $\lim_{n \to \infty} x_n = a$，由递推关系： $$a = \sqrt{2 + a} \Rightarrow a^2 = 2 + a \Rightarrow a^2 - a - 2 = 0$$ 解得 $a = 2$ 或 $a = -1$（舍去负值），故 $\lim_{n \to \infty} x_n = 2$

重要提醒：对等式两边取极限，必须是在极限存在的情况下才可使用。

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两个重要极限及其证明

重要极限：$\lim\limits_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ 的存在性证明.

使用单调有界原理

1. 单调性: 用均值不等式,

   $$\begin{align*} x_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} & =1\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\\ & =1\cdot\underbrace{\left(1+\frac{1}{n}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)\cdot\cdots\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)}_{n\text{项}}\\ & \le\left[\frac{1+\overbrace{\left(1+\frac{1}{n}\right)+\left(1+\frac{1}{n}\right)+\cdots+\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{n\text{项}}}{n+1}\right]^{n+1}\\ & =\left[\frac{1+n+1}{n+1}\right]^{n+1}=\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}=x_{n+1}. \end{align*}$$

2. 有界性: 定义 $z_{n}=\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}$, 则同上面的证明, 有

   $$\begin{align*} z_{n}=\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n} & =1\cdot\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}\\ & =1\cdot\underbrace{\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdot\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdot\cdots\cdot\left(1-\frac{1}{n}\right)}_{n\text{项}}\\ & \le\left[\frac{1+\overbrace{\left(1-\frac{1}{n}\right)+\left(1-\frac{1}{n}\right)+\cdots+\left(1-\frac{1}{n}\right)}^{n\text{项}}}{n+1}\right]^{n+1}\\ & =\left[\frac{1+n-1}{n+1}\right]^{n+1}=\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}=z_{n+1}. \end{align*}$$

   所以数列 $\left\{ z_{n}\right\} $ 是单调递增的数列. 令 $y_{n}=\frac{1}{z_{n+1}}$, 则有数列 $\left\{ y_{n}\right\} $ 是单调递减数列, 并且

   $$y_{n}=\frac{1}{\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}=\frac{1}{\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n+1}}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1},$$

   以及显然的不等式

   $$y_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}>\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=x_{n}.$$

   最后, 根据 $\left\{ x_{n}\right\} $ 的单调性以及 $\left\{y_{n}\right\}$ 的单调性和上述不等式, 有

   $$y_{1}>y_{2}>\cdots>y_{n}>x_{n}>x_{n-1}>\cdots>x_{1}.$$

   由于 $y_{1}=\left(1+\frac{1}{1}\right)^{1+1}=4$, 所以上述不等式意味着 $x_{n}<y_{1}=4,$也即, 数列 $\left\{ x_{n}\right\} $ 有界.

3. 结论：数列$\{x_n\}$单调增加且有上界，极限存在，记为 $e$.

✅ 数值：$e \approx 2.71828$
✅ 等价形式：$\lim\limits_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} = e$

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函数版本：$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$

证明思路：

1. $x \to +\infty$：

   • 设 $n \leq x < n+1$，建立不等式： $$\left(1 + \frac{1}{n+1}\right)^n < \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x < \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1}$$
   • 两边极限均为 $e$，由夹逼定理得证

2. $x \to -\infty$：

   • 令 $x = -(t+1)$，转化为正无穷情形
   • 最终得：$\lim_{x \to -\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$

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重要极限：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

几何证明：

• 在单位圆中，比较三角形与扇形面积： $$\frac{1}{2}\sin x < \frac{1}{2}x < \frac{1}{2}\tan x$$
• 整理得：$\sin x < x < \tan x$
• 进一步：$\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$
• 由夹逼定理：$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

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重要极限的应用例题

例: $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$

提示

$$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = \lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x}\right) = 1 \times 1 = 1$$

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例: $\lim\limits_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x + \sin x}$

提示

分子分母同除以 $x$：

$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{\sin x}{x}}{1 + \frac{\sin x}{x}} = \frac{1 - 1}{1 + 1} = 0$$

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例: $\lim\limits_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$

提示

• 利用倍角公式：$1 - \cos x = 2\sin^2\frac{x}{2}$
• $$\lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{x^2} = \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2 = \frac{1}{2}$$

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例: $\lim\limits_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{-x}$

提示

$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{-x} = \left[\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x\right]^{-1} = e^{-1}$$

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例: $\lim\limits_{x \to \infty} \left(1 - \frac{2}{x}\right)^{4x}$.

提示

• 令 $t = -\frac{2}{x}$，则： $$\left(1 - \frac{2}{x}\right)^{4x} = \left(1 + t\right)^{4 \cdot (-2/t)} = (1 + t)^{-8/t}$$ $$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{2}{x}\right)^{4x} = \lim_{t \to 0} (1 + t)^{-8/t} = e^{-8}$$

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例: $\lim\limits_{x \to \infty} \left( \frac{x-5}{x+3} \right)^x$.

提示

1. 变形为：

   $$\left( \frac{1-\frac{5}{x}}{1+\frac{3}{x}} \right)^x = \frac{(1-\frac{5}{x})^x}{(1+\frac{3}{x})^x}$$

2. 分别求极限：

   $$\lim_{x \to \infty} \left(1-\frac{5}{x}\right)^x = e^{-5}, \quad \lim_{x \to \infty} \left(1+\frac{3}{x}\right)^x = e^{3}$$

3. 最终结果：

   $$\frac{e^{-5}}{e^{3}} = e^{-8}$$

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连续复利问题: 本金1000元，年利率8%，连续复利计息，求5年末本利和.

提示

• 每年结算 $n$ 次：$A_n = 1000\left(1+\frac{0.08}{n}\right)^{nx}$
• 连续复利（$n \to \infty$）： $$A = \lim_{n \to \infty} A_n = 1000 \cdot e^{0.08x}$$
• 5年末本利和： $$A = 1000e^{0.08 \times 5} = 1000e^{0.4} \approx 1492 \text{元}$$

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连续复利的意义

• 连续复利公式：$A = P \cdot e^{rt}$
• 在金融、生物增长等领域有广泛应用

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✅ 补充说明：

重要极限的变体：

• $\lim\limits_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} = e$
• $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$
• $\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$

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总结与重要说明

夹逼定理的应用要点：

• 需要构造合适的上下界函数
• 上下界函数的极限必须相同
• 适用于求复杂表达式的极限

单调有界准则的应用要点：

• 先证明单调性（数学归纳法）
• 再证明有界性（数学归纳法）
• 最后通过递推关系求极限值

重要极限：

• $\lim\limits_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$
• $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$.