极限存在准则与两个重要极限

极限存在准则

准则1（夹逼定理）

数列形式: 如果数列 $\{x_n\}, \{y_n\}, \{z_n\}$ 满足：

$y_n \leq x_n \leq z_n \quad (n = 1, 2, 3, \ldots)$
$\lim\limits_{n \to \infty} y_n = \lim\limits_{n \to \infty} z_n = a$

则 $\{x_n\}$ 的极限存在，且 $\lim\limits_{n \to \infty} x_n = a$

函数形式（准则I’）: 如果函数 $f(x), g(x), h(x)$ 满足：

在 $x_0$ 的某去心邻域内（或 $|x| > X$），有 $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$
$\lim g(x) = \lim h(x) = A$

则 $\lim f(x) = A$

✅ 注意：函数形式的夹逼定理中的极限过程有如下两种常见形式：

当 $x \to x_0$ 时：$\lim_{x \to x_0} g(x) = \lim_{x \to x_0} h(x) = A$

当 $x \to \infty$ 时：$\lim_{x \to \infty} g(x) = \lim_{x \to \infty} h(x) = A$

准则II（单调有界准则）

单调有界数列必有极限：

单调增加且有上界的数列必有极限.
单调减少且有下界的数列必有极限.

应用实例

问题(夹逼定理的应用): 求 $\lim\limits_{n \to \infty} n \left( \frac{1}{n^2 + \pi} + \frac{1}{n^2 + 2\pi} + \cdots + \frac{1}{n^2 + n\pi} \right)$.

解

建立不等式：$\frac{n^2}{n^2 + n\pi} < x_n < \frac{n^2}{n^2 + \pi}$
两边极限：$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2 + n\pi} = 1$，$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2 + \pi} = 1$
由夹逼定理：$\lim_{n \to \infty} x_n = 1$

问题(单调有界准则的应用): 设 $x_1 = \sqrt{2}, x_n = \sqrt{2 + x_{n-1}}$，证明极限存在并求值.

提示

单调性：用数学归纳法证明 $x_{n+1} > x_n$（单调增加）
有界性：用数学归纳法证明 $x_n < 2$（有上界）
求极限：设 $\lim_{n \to \infty} x_n = a$，由递推关系：
\[
a = \sqrt{2 + a} \Rightarrow a^2 = 2 + a \Rightarrow a^2 - a - 2 = 0
\]
解得 $a = 2$ 或 $a = -1$（舍去负值），故 $\lim_{n \to \infty} x_n = 2$

重要提醒：对等式两边取极限，必须是在极限存在的情况下才可使用。

两个重要极限及其证明

重要极限：$\lim\limits_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ 的存在性证明.

提示

展开表达式：
\[
x_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = 1 + 1 + \frac{1}{2!}\left(1 - \frac{1}{n}\right) + \frac{1}{3!}\left(1 - \frac{1}{n}\right)\left(1 - \frac{2}{n}\right) + \cdots
\]
比较 $x_n$ 与 $x_{n+1}$：
- $x_{n+1}$ 的展开式中每一项都不小于 $x_n$ 的对应项
- $x_{n+1}$ 比 $x_n$ 多一项正数项
结论：数列$\{x_n\}$单调增加且有上界，极限存在，记为 $e$.

✅ 数值：$e \approx 2.71828$
✅ 等价形式：$\lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} = e$

函数版本：$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$

证明思路：

$x \to +\infty$：
- 设 $n \leq x < n+1$，建立不等式：
  \[
  \left(1 + \frac{1}{n+1}\right)^n < \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x < \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1}
  \]
- 两边极限均为 $e$，由夹逼定理得证
$x \to -\infty$：
- 令 $x = -(t+1)$，转化为正无穷情形
- 最终得：$\lim_{x \to -\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$

重要极限：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

几何证明：

在单位圆中，比较三角形与扇形面积：
\[
\frac{1}{2}\sin x < \frac{1}{2}x < \frac{1}{2}\tan x
\]
整理得：$\sin x < x < \tan x$
进一步：$\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$
由夹逼定理：$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

重要极限的应用例题

例: $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$

提示

\[
\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = \lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x}\right) = 1 \times 1 = 1
\]

例: $\lim\limits_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x + \sin x}$

提示

分子分母同除以 $x$：

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{\sin x}{x}}{1 + \frac{\sin x}{x}} = \frac{1 - 1}{1 + 1} = 0$

例: $\lim\limits_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$

提示

利用倍角公式：$1 - \cos x = 2\sin^2\frac{x}{2}$
\[
\lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{x^2} = \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2 = \frac{1}{2}
\]

例: $\lim\limits_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{-x}$

提示

\[
\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{-x} = \left[\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x\right]^{-1} = e^{-1}
\]

例: $\lim\limits_{x \to \infty} \left(1 - \frac{2}{x}\right)^{4x}$.

提示

令 $t = -\frac{2}{x}$，则： $\left(1 - \frac{2}{x}\right)^{4x} = \left(1 + t\right)^{4 \cdot (-2/t)} = (1 + t)^{-8/t}$ $\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{2}{x}\right)^{4x} = \lim_{t \to 0} (1 + t)^{-8/t} = e^{-8}$

例: $\lim\limits_{x \to \infty} \left( \frac{x-5}{x+3} \right)^x$.

提示

变形为：
\[
\left( \frac{1-\frac{5}{x}}{1+\frac{3}{x}} \right)^x = \frac{(1-\frac{5}{x})^x}{(1+\frac{3}{x})^x}
\]
分别求极限：
\[
\lim_{x \to \infty} \left(1-\frac{5}{x}\right)^x = e^{-5}, \quad \lim_{x \to \infty} \left(1+\frac{3}{x}\right)^x = e^{3}
\]
最终结果：
\[
\frac{e^{-5}}{e^{3}} = e^{-8}
\]