极限的四则运算法则

极限的四则运算法则

定理(极限四则运算): 在自变量的同一变化过程中，设 $\lim f(x) = A$，$\lim g(x) = B$，则：
(1) 和差的极限：

$$\lim [f(x) \pm g(x)] = A \pm B$$

(2) 乘积的极限：

$$\lim [f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B$$

(3) 商的极限（当 $B \ne 0$）：

$$\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}$$

提示

将 $f(x), g(x)$ 表示为极限值加无穷小，利用无穷小的和仍是无穷小。

• 可推广到有限个函数相乘。
• $\lim [C \cdot f(x)] = C \cdot A$
• $\lim [f(x)]^n = A^n$

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典型例题与应用技巧

例：多项式极限

\[
\lim_{x \to x_0} P_n(x) = P_n(x_0)
\]

• 直接代入即可，由极限的加法和乘法法则保证。

例：“0/0”型未定式

• 当分子、分母极限均为零时，先因式分解，约去公因子，再求极限。
• 例如：
  \[
  \lim_{x \to -2} \frac{x^2 - 4}{x + 2} = \lim_{x \to -2} (x - 2) = -4
  \]

例：分母为零而分子不为零

• 若 $\lim g(x) = 0$，$\lim f(x) \ne 0$，则：
  \[
  \lim \frac{f(x)}{g(x)} = \infty
  \]
  • 此处仍然要求 $\lim f(x)$ 存在, 否则会有反例, 如: $g(x)=x$, 有 $\lim\limits_{x\to0} g(x)=0$, $f(x)=\sin\frac1x$, 但 $\lim\limits_{x\to 0} f(x)$ 不存在,
    $\lim\limits_{x\to0} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin\frac1x}{x}$ 不存在.
• 使用无穷小与无穷大的关系：$\frac{1}{\text{无穷小}} = \text{无穷大}$。

例：“∞/∞”型未定式（多项式分式）

• 分子分母同除以最高次幂 $x^n$，再求极限。
• 例如： $$\lim_{x \to \infty} \frac{6x^4 - 7x^3 + 2}{2x^4 + 6x^2 - 1} = \lim_{x\to\infty}\frac{6-\frac7x+\frac{2}{x^4}}{2+\frac6{x^2}-\frac1{x^4}} = \frac{6}{2} = 3$$

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例：有理函数在无穷远处的极限（分子次数 < 分母次数）

\[
\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 - 3x - 2}{x^3 + 5x^2 - 2} = 0
\]

• 方法：分子分母同除以最高次幂 $x^3$
• 结论：当分子次数 < 分母次数时，极限为 0

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总结与修正说明

✅ 正确理解与适用范围：

• 极限四则运算法则前提是每个函数的极限存在（商的情形还要求分母极限不为零）。

❗ 常见误区与修正：

1. “0/0”型不能直接用法则，需约去 “零因子” 化简；
2. “∞/∞”型需通过分子分母同除最高次项处理；
3. 无穷大运算不能随意推广到加减法（如“无穷大 - 无穷大”是不定型）；

极限四则运算法则的进一步应用

例：无穷大减无穷大型（根式差）

\[
\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x+2} - \sqrt{x}) = 0
\]

• 方法：分子有理化
• 技巧：$\sqrt{a} - \sqrt{b} = \frac{a-b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$

例：有界函数与无穷小的乘积

\[
\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0
\]

• 依据：$|\sin x| \leq 1$（有界），$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$（无穷小）
• 几何意义：$y = 0$ 是水平渐近线

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常见错误辨析与修正

错误 (1)：无限项和的极限

• 错误做法：逐项取极限相加
• 错误原因：极限四则运算法则只适用于有限项
• 正确解法：先合并为有限形式：
  \[
  \lim_{n \to \infty} \frac{1+2+\cdots+(n-1)}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{n(n-1)}{2n^2} = \frac{1}{2}
  \]

错误 (2)：”∞ - ∞” 型未定式

• 错误做法：直接认为 ∞ - ∞ = 0
• 错误原因：两个无穷大的差是不定型，不能直接运算
• 正确解法：通分后化简：
  \[
  \lim_{x \to 1} \left( \frac{1}{x-1} - \frac{1}{\sqrt{x}-1} \right) = \lim_{x \to 1} \frac{1 - (\sqrt{x}+1)}{x-1}=\lim_{x \to 1} \frac{- \sqrt{x}}{x-1}=\infty.
  \]

错误 (3)：对不存在的极限使用乘积法则

• $$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\arctan x}{x}=\frac{\lim\limits_{x\to\infty}\arctan x}{\lim\limits_{x\to\infty} x}=0.$$
• 错误原因：$\lim_{x \to \infty} \arctan x$ 不存在（振荡于 $-\pi/2$ 和 $\pi/2$ 之间）
• 正确解法：利用有界性：$|\arctan x| < \pi/2$，乘以无穷小 $1/x\to 0$.

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复合函数极限法则

定理(复合函数极限): 设 $y = f[\varphi(x)]$，若：

1. $\lim\limits_{x \to x_0} \varphi(x) = u_0$
2. $\lim\limits_{u \to u_0} f(u) = A$
3. 存在 $\delta_0 > 0$，当 $0 < |x - x_0| < \delta_0$ 时，$\varphi(x) \neq u_0$

则：
\[
\lim_{x \to x_0} f[\varphi(x)] = A
\]

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例：复合函数极限计算

\[
\lim_{x \to 3} \sqrt{\frac{x-3}{x^2-9}} = \sqrt{\frac{1}{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6}
\]

• 步骤：
  1. 先求内层极限：$\lim_{x \to 3} \frac{x-3}{x^2-9} = \frac{1}{6}$
  2. 再求外层极限：$\lim_{u \to 1/6} \sqrt{u} = \sqrt{1/6}$

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重要说明与修正总结

✅ 正确理解与适用范围：

• 极限四则运算法则仅适用于有限项，无限项求和需先化为有限形式
• “∞ - ∞”, “0 × ∞”, “∞/∞” 等都是未定式，不能直接运算
• 复合函数极限需要满足内层函数在去心邻域内不取极限值的条件