自然数集与整数集之间的双射

问题: 设$\frac{m}{n}\in\QQ^{+}$, 其中$\mathrm{gcd}(m,n)=1$, 设$q_{1},q_{2},\cdots,q_{s}$是$n$的素因子. 则

$$f\left(\frac{m}{n}\right)=\frac{m^{2}n^{2}}{q_{1}q_{2}\cdots q_{s}}$$

是$\QQ^{+}\to\NN$的双射.

提示

由于$\mathrm{gcd}(m,n)=1$, 所以$m,n$没有公共素因子, 设$m=p_{1}^{\alpha_{1}}\cdots p_{r}^{\alpha_{r}}$, $\alpha_{i}>0$; $n=q_{1}^{\beta_{1}}\cdots q_{s}^{\beta_{s}}$, $\beta_{i}>0$.
则

$$\frac{m^{2}n^{2}}{q_{1}\cdots q_{s}}=p_{1}^{2\alpha_{1}}\cdots p_{r}^{2\alpha_{r}}q_{1}^{2\beta_{1}-1}\cdots q_{s}^{2\beta_{s}-1}\in\NN.$$

而对于任意的自然数$N$, 由算术基本定理, 可以表示素数幂的乘积, 将$N$中素因子出现偶数次的开方, 得到$m$, 将$N$中素因子出现奇数次的每个加一再开方得到$n$. 由算术基本定理分解的唯一性, 知道这样得到的$m,n$也是唯一的. 而不同的自然数$N$, 按照上面操作得到的$m,n$也是不同的, 所以对于任意的$N$, 其在$f$下的原像$\frac{m}{n}$是唯一的. 由此$f$是$\QQ^{+}\to\NN$的双射.