记号与定义

定义: $p_k$: 通常记为第 $k$ 个素数;
$d(n)=\sum_{d\mid n}1$;
$\sigma_s(n)=\sum_{d\mid n}d^s$, 从而有 $\sigma_{-s}(n)=\frac{\sigma_s(n)}{n^s}$;
$\sigma(n)=\sigma_1(n)=\sum_{d\mid n}d$;
$\omega(n)=\sum_{p\mid n}1$;
$\varphi(n)$: Euler函数或 Euler’s totient function;
$d_2(n)=d(n)$; $d_k(n)=\sum_{d\mid n}d_{k-1}(d)$, $k\ge 3$;
$\pi(x)=\sum_{p\le x}1$;
$\theta(x)=\sum_{p\le x}\log p$ 是 Chebyshev 函数;
$\mathrm{Li} x=\lim_{\varepsilon\to 0}\left[\int_0^{1-\varepsilon}+\int_{1+\varepsilon}^x\frac{\ud t}{\log t}\right]$ 是对数积分或 the integral logarithm;
$f\ll g$ 或 $g\gg f$ 的意思是 $f=O(g)$;
$[x]$: 表示 $x$ 的整数部分, Gauss 函数;

定义: 设 $d(n)$ 是整数 $n$ 的因子数. 称 $n$ 是 highly composite, 如果对于任意的 $m<n$, 都有 $d(m)<d(n)$.

定义: 正整数 $N$ 称为是 superior highly composite numbers, 如果存在 $\varepsilon > 0$ 使得对于所有的 $n$ 有

$\frac{d(n)}{n^{\varepsilon}}\le \frac{d(N)}{N^{\varepsilon}}.$

结论与命题

定理: 对于固定的 $\varepsilon>0$, 有

$\lim_{n\to\infty}\frac{d(n)}{n^{\varepsilon}}=0.$

定理: The maximal order of $\log d(n)$ is $\frac{\log n \log 2}{\log\log n}$, 即

$\limsup\frac{(\log d(n))(\log\log n)}{(\log n)(\log 2)}=1.$

定理: 对于任意的正整数 $N$, 满足 $\omega(N)=k$, 则有

$d(N)\ll\frac{\left(\frac{\theta(p_{k})+\log N}{k}\right)^{k}}{\log p_{1}\log p_{2}\cdots\log p_{k}}.$

定理: $\pi(x)\log x-\theta(x)=\int_{2}^{x}\frac{\pi(t)}{t}\ud t.$

定理: 如下定义积性函数 $r(n)$:
当 $p\equiv1\pmod4$, $r(p^{k})=d(p^{k})=k+1$;
当 $p\equiv3\pmod4$, 当 $k$ 是奇数时, $r(p^{k})=0$; 当 $k$ 是偶数时, $r(p^{k})=1$.
当 $p\equiv2$, 则对任意的 $k$, $r(2^{k})=1$.
正整数 $n$ 能被表示成两平方数之和的方式共有 $4r(n)$. 并有

$\limsup\frac{\log r(n)\log\log n}{\log2\log n}=1.$