最近刷题目卡在最后一题了, 题目是这样的:

问题: 设 $\left\{ a_{n}\right\} ,\left\{ b_{n}\right\} $ 为满足 $e^{a_{n+1}}=a_{n}+e^{b_{n}},n\geq1$ 的两个实数列, 已知 $a_{n}>0(n\geq1)$, 且 $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ 收敛。证明: $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{b_{n}}{a_{n}}$ 也收敛。

从题目中容易解出来

所以要证明$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{b_{n}}{a_{n}}$的收敛性, 最先想到的是证明级数的各项能被$a_{n}$的某固定常数倍控制, 于是

但右边似乎没有办法被很好的控制, 因为我最后构造了一个反例, 反例大概是这样的

使用$\frac{1}{n^{2}}$是因为众所周知的$\zeta(2)=\frac{\pi^{2}}{6}$, 来确保级数$\sum a_{n}$的收敛性. $1+\frac{1}{m}$项是为了能让项$\frac{a_{n+1}-a_{n}}{a_{n}}$在$n=m^{2}$时得到$\frac{1}{m}$, 这可以取遍调和级数的所有项, 从而使$\frac{a_{n+1}-a_{n}}{a_{n}}$形成的部分和含有发散子列$\frac{1}{m}$.

这是我怀疑上面的不等式在放大的过程中放的太过了, 所以有必要直接考虑$\frac{b_{n}}{a_{n}}$在$n$很大时的变化趋势, 根据上面的构造, 选取$n=m^{2}$是合适的. 所以可以计算

这说明上面的不等式并没有放的过大, $\sum\frac{b_{n}}{a_{n}}$有发散的子列$\sum\frac{b_{m^{2}}}{a_{m^{2}}}$. (我在这里并没有验证$b_{n}$的正负, 事实上其后的的一项刚好是$-\frac{1}{m}$, 但这已经给出了一个构造反例的思想. 比如选择$a_{m^{2}+1}=\frac{2}{(m^{2}+1)^{2}}$并结合Cauchy收敛准则.)

于是上网搜索正确的问题应当是怎么样的. 得到正确的问题表述其实是

问题: 设 $\left\{ a_{n}\right\} ,\left\{ b_{n}\right\} $ 为满足 $e^{a_{n}}=a_{n}+e^{b_{n}},n\geq1$ 的两个实数列, 已知 $a_{n}>0(n\geq1)$, 且 $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ 收敛。证明: $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{b_{n}}{a_{n}}$ 也收敛。

现在问题就简单了, 直接考虑$\left|a_{n}\right|\ll1$时的情况, 有以下控制

然后用比较判别法即可.

比较判别法是判断无穷级数收敛, 条件收敛, 绝对收敛, 区间收敛或发散的方法. 也叫作比较审敛法, 比较审敛原理.

比较判别法: 设$\sum b_{n}$是收敛的正项无穷级数, 复无穷级数$\sum a_{n}$若满足对于任意的$n$有$\left|a_{n}\right|\le cb_{n}$, 其中$c$是与$n$无关的正常数, 则

(1) 若$\sum b_{n}$收敛, 则$\sum a_{n}$收敛.

(2) 若$\sum\left|a_{n}\right|=+\infty$, 则$\sum b_{n}=+\infty$.