Hilbert 空间中的定义

内积空间

定义: 设$F$ 是实数域或复数域，$H$ 是$F$ 上的线性空间，如果对于$H$ 中任何两个向量$x,y$, 都有一个数$(x,y)\in F$ 与之对应，并满足以下条件:

I) 共轭对称性 / Hermite 性：对任何$x,y\in H$, $(x,y)=\overline{(y,x)}$;
II) 对第一变元的线性：对任何$x,y,z\in H$ 及任何数$\alpha ,\beta \in F$, 成立$(\alpha x+\beta y,z)=\alpha (x,z)+\beta (y,z)$;
III) 正定性：对于一切$x\in H$, $(x,x)\ge 0$, 且$(x,x)=0$ 当且仅当$x=0$;

称二元函数$(\cdot ,\cdot )$ 是$H$ 中的内积. 如果$H$ 上定义了内积，当$F$ 是实 (或复) 数域时，称$H$ 为实 (或复) 内积空间.
内积$(\cdot ,\cdot )$ 关于第二变元是共轭线性的，即对于任何$x,y,z\in H$ 及任何$\alpha ,\beta \in F$, 有

$$(z,\alpha x+\beta y)=\bar{\alpha }(z,x)+\bar{\beta }(z,y).$$

Hilbert 空间

定义: 完备的内积空间称为 Hilbert空间.

投影定理

定义: 设$H$ 是内积空间，其中的内积为$(\cdot ,\cdot )$. 若$H$ 中两个向量$x,y$ 满足$(x,y)=0$, 则称$x,y$ 正交 , 记作$x\perp y$.
设$M$ 是$H$ 的非空子集，当$x$ 与$M$ 中所有向量正交时，称$x$ 与$M$ 正交，记作$x\perp M$.
设$M$ 与$N$ 是$H$ 的两个非空子集，若对任何$x\in M$, $y\in N$, 都有$x\perp y$, 称$M$ 与$N$ 正交，记作$M\perp N$.
设$M$ 是$H$ 的非空子集，$H$ 中所有与$M$ 正交的向量全体称为$M$ 的 正交补 , 记作$M^{\perp }$.

定义: 设$H$ 是内积空间，$M_1,M_2$ 是$H$ 的两个线性子空间。若$M_1\perp M_2$, 则称

$$M=\{x_1+x_2\mid x_1\in M_1,x_2\in M_2\}$$

为$M_1$ 与$M_2$ 的 直交和 或 正交和 , 记为$M_1\oplus M_2$.

注：直交和概念中的两个正交子空间并没有要求是闭的.

定义: 设$M$ 是内积空间$H$ 的线性子空间，$x\in H$. 若有$x_0\in M$, $x_1\perp M$, 使得

$$x=x_0+x_1,$$

则称$x_0$ 为$x$ 在$M$ 上的 正交投影 , 简称 投影.
注意：一般来说，对于内积空间$H$ 中的任意向量$x$ 及任意的线性子空间$M$, $x$ 在$M$ 上的投影并不一定存在。另外，没有要求 $M$ 是闭的线性子空间.

定义: 定义：设$H$ 是线性空间，$x,y\in H$, 称集合

$$\{\alpha x+(1-\alpha )y\mid 0\le \alpha \le 1\}$$

为$H$ 中连接$x,y$ 的线段，如果$M$ 是$H$ 的子集，连接$M$ 中任意两点的线段均包含于$M$, 则称$M$ 是$H$ 中的 凸集.

Hilbert 空间中的正交集

定义: 设$\mathcal{F}$ 是内积空间$H$ 中的一族非零向量，如果$\mathcal{F}$ 中的向量两两正交，则称$\mathcal{F}$ 是$H$ 中的一个 正交系 或 正交集.
如果正交系$\mathcal{F}$ 中向量范数均为$1$, 则称$\mathcal{F}$ 是 规范正交系 或 规范正交集.

定义: 设$\mathcal{F}$ 是内积空间$H$ 中的规范正交系，$x\in H$. 称

$$\{(x,e)\mid e\in \mathcal{F}\}$$

为向量$x$ 关于规范正交系$\mathcal{F}$ 的 Fourier系数集 , 称$(x,e)$ 为$x$ 关于$e$ 的 Fourier系数.

定义: 设 $H$ 是内积空间，$S=\{e_i\mid i\in \mathbb{N}\}$ 是 $H$ 的规范正交集，若对任意 $x\in H$, 有

$$x=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}(x,e_i)e_i,$$

则称 $S$ 为 $H$ 的 规范正交基 或 完备规范正交系.

定义: 设$\{e_{\lambda }\mid \lambda \in \mathrm{\Lambda }\}$ 是内积空间$H$ 中的规范正交系，若对于任何$x\in H$, 有 Parseval等式:

$${\Vert x\Vert }^2=\sum _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{\left|(x,e_{\lambda })\right|}^2,$$

则称$\{e_{\lambda }\mid \lambda \in \mathrm{\Lambda }\}$ 是$H$ 中的 完备规范正交系 或 规范正交基.
Parseval 等式又称为$x$ 关于$\{e_{\lambda }\mid \lambda \in \mathrm{\Lambda }\}$ 的 完备性公式.

定义: 设$\mathcal{F}=\{e_{\lambda }\mid \lambda \in \mathrm{\Lambda }\}$ 是内积空间$H$ 中的规范正交系，对$x\in H$, 称形式级数

$$\sum _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}(x,e_{\lambda })e_{\lambda }$$

为向量$x$ 关于$\mathcal{F}$ 的 Fourier展开式 , 当

$$x=\sum _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}(x,e_{\lambda })e_{\lambda }$$

时，称$x$ 关于$\mathcal{F}$ 可以展开成 Fourier级数.

算子

定义: 设 $X,Y$ 都是同一数域 $K$ 上的内积空间，若存在 $X$ 到 $Y$ 的线性算子 $T$, $T$ 是双射，并且对于任意 $x,y\in X$, 有 $(Tx,Ty)=(x,y)$, 则称内积空间 $X$ 和 $Y$ 是同构的.

明显地，若 $T$ 是内积空间 $X$ 到 $Y$ 的同构映射，则 $T$ 是 $X$ 到 $Y$ 的保范同构.

定义: 设 $X$ 和 $Y$ 是 Hilbert 空间，$T$ 是 $X$ 到 $Y$ 的有界线性算子，若 $T^{\star }$ 是 $Y$ 到 $X$ 的有界线性算子，且对任意 $x\in X$, $y\in Y$, 有

$$(Tx,y)=(x,T^{\star }y),$$

则称 $T^{\star }$ 是 $T$ 的伴随算子.

定义: 对于 $T\in L(X,Y)$, $N(T)$ 记 $T$ 的零空间 , 即 $N(T)=\{x\mid Tx=0\}$, $R(T)$ 记 $T$ 的值域 , 即 $R(T)=\{Tx\mid x\in X\}$.

定义: 设 $X$ 是 Hilbert 空间，$T\in L(X,X)$, 若 $T^{\star }=T$, 则称 $T$ 是自伴算子. 若 $T$ 是双射并且 $T^{\star }=T^{-1}$, 则称 $T$ 是酉算子. 若 $T{T}^{\star }=T^{\star }T$, 则称 $T$ 是正规算子.

明显地，若 $T$ 是自伴算子，则对任意 $x,y\in X$, 有 $(Tx,y)=(x,T^{\star }y)=(x,Ty)$, 因此 $T$ 是自伴算子当且仅当对任意 $x,y\in X$, 有 $(Tx,y)=(x,Ty)$.

由定义还可以推出自伴算子和酉算子一定是正规算子，不过正规算子不一定是自伴算子或酉算子.