Hilbert空间中的定理

文中有些定理看起来是一回事, 但考虑到 Hilbert 空间中的基可能是不可数集, 所以相似的定理应当考虑集合基数上的差异.

内积空间

Cauchy-Schwarz 不等式

定理 (Cauchy-Schwarz 不等式): 设$H$是内积空间, 则对于任何$x,y\in H$, 有

$$\left|\left(x,y\right)\right|^{2}\le\left(x,x\right)\left(y,y\right).$$

提示

只需证明 $y\neq0$ 时不等式成立. 对于任意 $\lambda\in K$, $K$ 是 $H$ 上的数域, $y\neq0$, 有

$$(x+\lambda y,x+\lambda y)=(x,x)+2\mathrm{Re}\{(x,y)\overline{\lambda}\}+(y,y)\cdot|\lambda|^{2}.$$

取 $\lambda=-\frac{(x,y)}{(y,y)}$, 则

$$(x,x)-2\frac{|(x,y)|^{2}}{(y,y)}+\frac{|(x,y)|^{2}}{(y,y)^{2}}(y,y)\geqslant0,$$

因此

$$|(x,y)|^{2}\leqslant(x,x)\cdot(y,y).$$

内积与内积诱导出的范数的关系

定理: 设$H$是内积空间, $\norm{x}=\sqrt{\left(x,x\right)}$, 则$\norm{\cdot}$是$H$上的一个范数. 这样的范数称为是由内积诱导出的范数.

提示

由内积的定义可知 $\norm{x}=0$ 时, 有 $x=0$. 由于

$$(\lambda x,\lambda x)=\lambda\overline{\lambda}(x,x)=|\lambda|^{2}(x,x),$$

因此, $\norm{\lambda x}=\sqrt{(\lambda x,\lambda x)}=|\lambda|\sqrt{(x,x)}=|\lambda|\norm{x}$.
对于任意 $x,y\in H$, 由 Cauchy-Schwarz 不等式, 有

$$\begin{align*} \norm{x+y}^{2} & =(x+y,x+y)=(x,x)+2\mathrm{Re}(x,y)+(y,y)\\ & \le\left(x,x\right)+2\left(x,x\right)^{1/2}\left(y,y\right)^{1/2}+\left(y,y\right), \end{align*}$$

因而$\norm{x+y}\le\norm{x}+\norm{y}$, 所以$\norm{\cdot}$是$H$的范数.

内积的连续性

定理: 设$H$是内积空间, 则内积关于两个变元都是连续的, 即当$x_{n}\to x$, $y_{n}\to y$时, $\left(x_{n},y_{n}\right)\to\left(x,y\right)$.

提示

由于

$$\begin{aligned}\left|\left(x_{n},y_{n}\right)-(x,y)\right| & \leqslant\left|\left(x_{n},y_{n}\right)-\left(x,y_{n}\right)\right|+\left|\left(x,y_{n}\right)-(x,y)\right|\\ & =\left|\left(x_{n}-x,y_{n}\right)\right|+\left|\left(x,y_{n}-y\right)\right|\\ & \leqslant\left\Vert x_{n}-x\right\Vert \cdot\left\Vert y_{n}\right\Vert +\norm{x}\cdot\left\Vert y_{n}-y\right\Vert , \end{aligned}$$

因此, 当 $x_{n}\rightarrow x$, $y_{n}\rightarrow y$ 时, 有 $\left(x_{n},y_{n}\right)\rightarrow(x,y)$.

极化恒等式

定理 (极化恒等式): 当$H$是实内积空间时,

$$\left(x,y\right)=\frac{1}{4}\left(\norm{x+y}^{2}-\norm{x-y}^{2}\right),\quad \forall x,y\in H.$$

当$H$是复内积空间时,

$$\left(x,y\right)=\frac{1}{4}\left(\norm{x+y}^{2}-\norm{x-y}^{2}+\ui\norm{x+\ui y}^{2}-\ui\norm{x-\ui y}^{2}\right),\quad \forall x,y\in H.$$

问题: 对于任意赋范空间 $H$, 可否定义内积使之成为内积空间, 且满足 $\norm{x}=\sqrt{(x,x)}$?

例如, 在赋范空间 $l^{1}$ 中, 对于任意 $x,y\in l^{1}$, 定义 $(x,y)=\sum_{i=1}^{\infty}x_{i}\overline{y_{i}}$, 则 $(x,y)$ 是否为 $l^{1}$ 的内积, 并满足 $\norm{x}=\sqrt{(x,x)}$?

平行四边形公式

定理 (平行四边形公式): 设$H$是内积空间, $\norm{\cdot}$是由内积导出的范数, 则对于任何$x,y\in H$, 有

$$\norm{x+y}^{2}+\norm{x-y}^{2}=2\left(\norm{x}^{2}+\norm{y}^{2}\right).$$

提示

由于 $H$ 是内积空间, 且 $\norm{x}=\sqrt{(x,x)}$, 则

$$\begin{aligned}\norm{x+y}^{2}+\norm{x-y}^{2} & =(x+y,x+y)+(x-y,x-y)\\ & =2(x,x)+2(y,y)=2\norm{x}^{2}+2\norm{y}^{2}. \end{aligned}$$

定理: 设$H$是赋范线性空间, 其上的范数为$\norm{\cdot}$, 且对$H$中的任何元素$x,y$, 均有

$$\norm{x+y}^{2}+\norm{x-y}^{2}=2\left(\norm{x}^{2}+\norm{y}^{2}\right),$$

即平行四边形公式成立, 则在$H$上可以定义内积$\left(\cdot,\cdot\right)$, 使得$\norm{\cdot}$是由此内积诱导出来的.

提示

• 证法 1
• 证法 2

只考虑实的情况, 根据极化恒等式, 定义

$$\left(x,y\right)=\frac{1}{4}\left(\norm{x+y}^{2}-\norm{x-y}^{2}\right),$$

则$\left(y,x\right)=\left(x,y\right)$; $(x,x)\ge0$; $(x,x)=0$ iff $\norm{x}=0$, iff $x=0$. 另外

$$\left(x,z\right)+\left(y,z\right)=\frac{1}{4}\left(\norm{x+z}^{2}-\norm{x-z}^{2}+\norm{y+z}^{2}-\norm{y-z}^{2}\right),$$

由平行四边形公式

$$\left(x,z\right)+\left(y,z\right)=\frac{1}{2}\left(\norm{\frac{x+y}{2}+z}^{2}-\norm{\frac{x+y}{2}-z}^{2}\right)=2\left(\frac{x+y}{2},z\right),$$

容易知道$\left(0,z\right)=0$, 当$y=0$时,

$$\left(x,z\right)=2\left(\frac{x}{2},z\right)$$

从而

$$\left(x,z\right)+\left(y,z\right)=\left(x+y,z\right),$$

故对于给定的$x,z\in H$, 定义$f(t)=f_{x,z}(t)=\left(tx,z\right)$, $t\in\RR$, 满足$f(t+s)=f(t)+f(s)$, 且容易验证$f(t)$关于$t$连续, 故$f(t)=tf(1)$, 即对于任何$x,z\in H$, $(tx,z)=t(x,z)$.

若对于任意 $x,y\in H$, 有

$$\norm{x+y}^{2}+\norm{x-y}^{2}=2\left(\norm{x}^{2}+\norm{y}^{2}\right).$$

为了简明起见, 这里只证 $H$ 是实赋范空间的情形. 令 $(x,y)=\frac{1}{4}\left(\norm{x+y}^{2}-\norm{x-y}^{2}\right)$, 则
(1) $(x,y)=(y,x)$;
(2) $(x,x)\geqslant0$ 且 $(x,x)=0$ 且当仅当 $x=0$;
(3) 对于任意 $x,y,z\in H$, 有

$$\begin{aligned}(x+y,z)= & \frac{1}{4}\left(\norm{(x+y)+z}^{2}-\norm{(x+y)-z}^{2}\right)\\ = & \frac{1}{4}\left[\left(\left\Vert \left(\frac{x+y}{2}+z\right)+\frac{x+y}{2}\right\Vert ^{2}+\left\Vert \left(\frac{x+y}{2}+z\right)-\frac{x+y}{2}\right\Vert ^{2}\right)\right.\\ & \left.-\left(\left\Vert \left(\frac{x+y}{2}-z\right)+\frac{x+y}{2}\right\Vert ^{2}+\left\Vert \left(\frac{x+y}{2}-z\right)-\frac{x+y}{2}\right\Vert ^{2}\right)\right]\\ = & \frac{1}{4}\left[2\left(\left\Vert \frac{x+y}{2}+z\right\Vert ^{2}+\left\Vert \frac{x+y}{2}\right\Vert ^{2}\right)-2\left(\left\Vert \frac{x+y}{2}-z\right\Vert ^{2}+\left\Vert \frac{x+y}{2}\right\Vert ^{2}\right)\right]\\ = & \frac{1}{2}\left(\left\Vert \frac{x+y}{2}+z\right\Vert ^{2}-\left\Vert \frac{x+y}{2}-z\right\Vert ^{2}\right). \end{aligned}$$

由于

$$\begin{aligned}(x,z)+(y,z)= & \frac{1}{4}\left(\norm{x+z}^{2}-\norm{x-z}^{2}+\norm{y+z}^{2}-\norm{y-z}^{2}\right)\\ = & \frac{1}{4}\left[\left(\left\Vert \left(\frac{x+y}{2}+z\right)+\frac{x-y}{2}\right\Vert ^{2}+\left\Vert \left(\frac{x+y}{2}+z\right)-\frac{x-y}{2}\right\Vert ^{2}\right)\right.\\ & \left.-\left(\left\Vert \left(\frac{x+y}{2}-z\right)+\frac{x-y}{2}\right\Vert ^{2}+\left\Vert \left(\frac{x+y}{2}-z\right)-\frac{x-y}{2}\right\Vert ^{2}\right)\right]\\ & =\frac{1}{4}\left[2\left(\norm{\frac{x+y}{2}+z}^{2}+\norm{\frac{x-y}{2}}^{2}\right)-2\left(\norm{\frac{x+y}{2}-z}^{2}+\norm{\frac{x-y}{2}}^{2}\right)\right]\\ & =\frac{1}{2}\left(\norm{\frac{x+y}{2}+z}-\norm{\frac{x+y}{2}-z}^{2}\right). \end{aligned}$$

因此

$$(x+y,z)=(x,z)+(y,z).$$

对于任意 $\lambda\in R$, $x,y\in H$, 令 $f(\lambda)=(\lambda x,y)$, 则 $f(\lambda)$ 为连续函数, 且 $f\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}\right)=f\left(\lambda_{1}\right)+f\left(\lambda_{2}\right)$, 因此 $f(\lambda)$ 是线性的, 即 $f(\lambda)=f(1)\cdot\lambda$, 因而 $(\lambda x,y)=\lambda(x,y)$.

由 $(x,x)=\frac{1}{4}\left(\norm{x+x}^{2}-\norm{x-x}^{2}\right)=\norm{x}^{2}$, 可知 $\norm{x}=\sqrt{(x,x)}$, 因此 $(x,y)$ 是 $H$ 上的内积, 且 $\norm{x}=\sqrt{(x,x)}$.

在上面定理的证明中, 当 $H$ 是复赋范空间时, 令

$$(x,y)=\frac{1}{4}\left(\norm{x+y}^{2}-\norm{x-y}^{2}+\mathrm{i}\norm{x+\mathrm{i}y}^{2}-\mathrm{i}\norm{x-\mathrm{i}y}^{2}\right),$$

则可证明 $(x,y)$ 就是 $H$ 上的内积, 且满足 $\norm{x}=\sqrt{(x,x)}$.

例子

$l^{\infty}$ 不是内积空间: 在 $l^{\infty}$ 中, 取 $x=(1,1,0,0,\cdots)$, $y=(1,-1,0,\cdots)$, 则 $\Vert x\Vert =$ $1$, $\Vert y\Vert =1$, 但 $\Vert x+y\Vert =\Vert x-y\Vert =2$, 因此 $\Vert x+y\Vert ^{2}+\Vert x-y\Vert ^{2}\neq2\left(\Vert x\Vert ^{2}+\Vert y\Vert ^{2}\right)$, 所以在 $l^{\infty}$ 上不能定义内积, 使得 $l^{\infty}$ 成为内积空间, 且满足 $\Vert x\Vert =\sqrt{(x,x)}$.

定理: 设 $H$ 是内积空间, 则 $H$ 一定是严格凸的赋范空间.

证明

证明 对于任意 $x,y\in H$, 若 $x\neq y$, 且 $\Vert x\Vert =\Vert y\Vert =1$, 则由

$$\Vert x+y\Vert ^{2}+\Vert x-y\Vert ^{2}=2\left(\Vert x\Vert ^{2}+\Vert y\Vert ^{2}\right)$$

可知$\norm{x+y}^{2}=4-\norm{x-y}^{2}<4$, 因而$\norm{\frac{x+y}{2}}<1$, 所以$H$是严格凸的.

投影定理

问题: 设 $C[-1,1]$ 为 $[-1,1]$ 上的实连续函数全体, 内积为 $(x,y)=$ $\int_{-1}^{1}x(t)y(t)\mathrm{d}t$, 若 $M$ 为 $[-1,1]$ 上的实连续奇函数全体, 试证明 $M$ 的正交补为 $[-1,1]$ 上的实连续偶函数全体.

证明

(1) 若 $y$ 为 $[-1,1]$ 上的实连续偶函数, 则对所有 $x\in M$, $x(t)y(t)$ 都是 $[-1,1]$ 上的实连续奇函数, 从而 $(x,y)=\int_{-1}^{1}x(t)y(t)\mathrm{d}t=0$, 因此 $y\in M^{\perp}$.

(2) 反过来, 若 $y\in M^{\perp}$, 令 $z(t)=y(t)-y(-t)$, 则 $z(-t)=y(-t)-y(t)=-z(t)$, 从而 $z(t)$ 为奇函数, 因此 $z\in M$, 所以 $(y,z)=0$. 由于

$$z(t)^{2}=[y(t)-y(-t)]z(t)=y(t)z(t)+y(-t)z(-t),$$

因此

$$\int_{-1}^{1}z(t)^{2}\mathrm{~d}t=\int_{-1}^{1}y(t)z(t)\mathrm{d}t+\int_{-1}^{1}y(-t)z(-t)\mathrm{d}t=(y,z)+(y,z)=0,$$

从而

$$\int_{-1}^{1}[y(t)-y(-t)]^{2}\mathrm{~d}t=0.$$

由 $y(t)$ 是连续函数可知 $y(t)=y(-t)$, 即 $y(t)$ 一定是偶函数.

定理: 设 $H$ 为内积空间, $x\in H$, $M\subset H$, 则
(1) 当 $x\perp y$ 时, 有 $\Vert x+y\Vert ^{2}=\Vert x\Vert ^{2}+\Vert y\Vert ^{2}$ (勾股定理);
(2) 当 $x\perp y$ 且 $x\perp z$ 时, 有 $x\perp\left(\lambda_{1}y+\lambda_{2}z\right)$ 对于任意 $\lambda_{1},\lambda_{2}\in K$ 都成立;
(3) 当 $M\perp N$ 时, 有 $M\subset N^{\perp}$, 且 $N\subset M^{\perp}$;
(4) 当 $M\subset N$ 时, 有 $M^{\perp}\supset N^{\perp}$;
(5) $M\cap M^{\perp}\subset\{0\}$, 对任意 $M\subset H$ 成立.

定理: 设$M,N$是内积空间$H$中两个非空子集, 则
1). $M^{\perp}$是$H$的闭线性子空间.
2). 若$M\subset N$, 则$N^{\perp}\subset M^{\perp}$.
3). $M\subset M^{\perp\perp}$.
4). $M\cap M^{\perp}=\emptyset$或$\left\{ 0\right\} $.
5). $M^{\perp}=\left(\overline{\mathrm{span}M}\right)^{\perp}$, 其中$\overline{\mathrm{span}M}$表示$M$的线性闭包.

提示

1). 对于任意 $x,y\in M^{\perp}$, 及 $z\in M$, 有

$$(x,z)=0\text{ 且 }(y,z)=0,$$

因此, 对任意 $\alpha,\beta\in K$, 有

$$(\alpha x+\beta y,z)=\alpha(x,z)+\beta(y,z)=0,$$

故 $\alpha x+\beta y\in M^{\perp}$, 即 $M^{\perp}$ 是线性子空间.
若 $x_{n}\in M^{\perp}$, $x_{n}\rightarrow x$, 则对任意 $z\in M$, 有 $(x,z)=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(x_{n},z\right)=0$, 因此 $x\in M^{\perp}$, 所以, $M^{\perp}$ 是 $H$ 的闭线性子空间.

5). 由于 $\overline{\mathrm{span}(M)}\supset M$, 因此 $\left(\overline{\mathrm{span}(M)}\right)^{\perp}\subset M^{\perp}$.
反过来, 对任意 $x\in M^{\perp}$, 有 $M\subset\{x\}^{\perp}$, 由1)可知 $\{x\}^{\perp}$ 是闭子空间, 故 $\overline{\mathrm{span}(M)}\subset\{x\}^{\perp}$, 因而 $x\in\left(\overline{\mathrm{span}(M)}\right)^{\perp}$, 所以 $M^{\perp}\subset\left(\overline{\mathrm{span}(M)}\right)^{\perp}$, 从而 $\left(\overline{\mathrm{span}(M)}\right)^{\perp}=M^{\perp}$.

定理: 如果$x$在$M$上有投影, 则投影唯一.

提示

反证法, 设$x_{0}$和$x_{0}’$都是$x$在$M$上的投影, 则$x-x_{0}\perp M$, $x-x_{0}’\perp M$. 从而$x_{0}-x_{0}’\perp M$, 再利用$M$是线性子空间, $x_{0}-x_{0}’\in M\cap M^{\perp}$, 所以$x_{0}=x_{0}’$.

定理: 设$M$是内积空间$H$的线性子空间, $x\in H$, $x_{0}\in M$, 则

$$\norm{x-x_{0}}=\inf_{y\in M}\norm{x-y}$$

成立的充要条件是$x_{0}$为$x$在$M$上的投影.

提示

这个定理是以$x_{0}$的确存在为前提, 命题的任何一个方向都不能保证对于任何$x\in H$, $x$在$M$上一定存在投影.
充分性: $x-y=(x-x_{0})+(x_{0}-y)$, $x-x_{0}\in M^{\perp}$, $x_{0}-y\in M$, 由勾股定理即得.
必要性: 对任意的$z\in M$, $z\ne0$. 对任何$\lambda$, 有$x_{0}+\lambda z\in M$, 所以

$$\begin{align*} \inf_{y\in M}\norm{x-y} & \le\norm{x-x_{0}-\lambda z}^{2}\\ & =\norm{x-x_{0}}^{2}-2\mathrm{Re}(\overline{\lambda}(x-x_{0},z))+|\lambda|^{2}\norm{z}^{2}. \end{align*}$$

令$\lambda=\frac{(x-x_{0},z)}{\norm{z}^{2}}$, 就有

$$\inf_{y\in M}\norm{x-y}\le\norm{x-x_{0}}^{2}-\frac{|(x-x_{0},z)|^{2}}{\norm{z}^{2}}.$$

在利用条件, 所以对于任意的$z\in M$, $(x-x_{0},z)=0$, $x-x_{0}\perp M$.

定理 (投影定理): 设$M$是内积空间$H$的完备线性子空间, 则对于任何$x\in H$, $x$在$M$上的投影必存在唯一. 即, 有$x_{0}\in M$, $x_{1}\perp M$, 使$x=x_{0}+x_{1}$, 且这种分解是唯一的. 特别的, 当$x\in M$时, $x_{0}=x$. 因为线性子空间是凸集.

提示

• 证法 1
• 证法 2
• 证法 3

因为完备的线性子空间是完备的非空凸集, 由变分引理, 存在唯一的$x_{0}\in M$, 使得

$$\norm{x-x_{0}}=\inf_{y\in M}\norm{x-y}.$$

即$x_{0}$是$x$在$M$上的投影(需要这个定理). 当$x\in M$时,

$$\norm{x-x_{0}}=\inf_{y\in M}\norm{x-y}=0.$$

对于 $x\in H$, 令 $d=d(x,M)=\inf_{z\in M}\Vert x-z\Vert $, 则存在 $x_{n}\in M$, 使得

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\left\Vert x_{n}-x\right\Vert =d.$$

由于 $\frac{x_{m}+x_{n}}{2}\in M$, 因此 $\left\Vert \frac{x_{m}+x_{n}}{2}-x\right\Vert \geqslant d$. 故

$$\begin{aligned}\left\Vert x_{m}-x_{n}\right\Vert ^{2} & =2\left(2\left\Vert \frac{x_{m}-x_{n}}{2}\right\Vert ^{2}\right)\\ & =2\left(\left\Vert x_{m}-x\right\Vert ^{2}+\left\Vert x_{n}-x\right\Vert ^{2}-2\left\Vert \frac{x_{m}+x_{n}}{2}-x\right\Vert ^{2}\right)\\ & \leqslant2\left(\left\Vert x_{m}-x\right\Vert ^{2}+\left\Vert x_{n}-x\right\Vert ^{2}-2d^{2}\Vert \right). \end{aligned}$$

由 $\left\Vert x_{n}-x\right\Vert \rightarrow d$, 可知 $\left\{ x_{n}\right\} $ 是 Cauchy 列. 由于 $H$ 是 Hilbert 空间, 且 $M$ 是闭子空间, 因此存在 $x_{0}\in M$, 使得 $x_{n}\rightarrow x_{0}$, 所以 $\left\Vert x-x_{0}\right\Vert =d(x,M)$.

令 $y=x-x_{0}$, 则 $x=x_{0}+y$, 因此下面只需证明 $y\perp M$.

对任意 $z\in M$, $z\neq0$, 及任意 $\lambda\in K$, 有 $x_{0}+\lambda z\in M$. 因此 $\left\Vert x-\left(x_{0}+\lambda z\right)\right\Vert \geqslant d$, 故

$$\left\Vert \left(x-x_{0}\right)-\lambda z\right\Vert ^{2}=\left\Vert x-x_{0}\right\Vert ^{2}-2\mathrm{Re}\left\{ \overline{\lambda}\left(x-x_{0},z\right)\right\} +|\lambda|^{2}\Vert z\Vert ^{2}\geqslant d^{2}.$$

取 $\lambda=\frac{\left(x-x_{0},z\right)}{\Vert z\Vert ^{2}}$, 则

$$\left\Vert x-x_{0}\right\Vert ^{2}-2\frac{\left|\left(x-x_{0},z\right)\right|^{2}}{\Vert z\Vert ^{2}}+\frac{\left|\left(x-x_{0},z\right)\right|^{2}}{\Vert z\Vert ^{2}}=\left\Vert x-x_{0}\right\Vert ^{2}-\frac{\left|\left(x-x_{0},z\right)\right|^{2}}{\Vert z\Vert ^{2}}\geqslant d^{2}.$$

由 $\left\Vert x-x_{0}\right\Vert =d$ 可知, 一定有 $\left(x-x_{0},z\right)=0$, 因此 $x-x_{0}\perp z$ 对于任意 $z\in M$ 成立, 即 $y\perp M$. 由上面讨论可知对于任意 $x\in M$, 存在 $x_{0}\in M$, $y\in M^{\perp}$, 使得 $x=x_{0}+y$.

现证这种分解是唯一的. 假设存在另一个 $x_{0}^{\prime}\in M$ 及 $y^{\prime}\in M^{\perp}$, 使得 $x=x_{0}^{\prime}+y^{\prime}$, 则 $x_{0}-x_{0}^{\prime}\in M$, $y-y^{\prime}\in M^{\perp}$, 故由 $y-y^{\prime}=\left(x-x_{0}\right)-\left(x-x_{0}^{\prime}\right)=x_{0}-x_{0}^{\prime}\in M$ 可知 $y=y^{\prime}$.

证法2中的中间部分可以类似证法1那样使用定理
对于 $x\in H$, 令 $d=d(x,M)=\inf_{z\in M}\Vert x-z\Vert $, 则存在 $x_{n}\in M$, 使得

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\left\Vert x_{n}-x\right\Vert =d.$$

由于 $\frac{x_{m}+x_{n}}{2}\in M$, 因此 $\left\Vert \frac{x_{m}+x_{n}}{2}-x\right\Vert \geqslant d$. 故

$$\begin{aligned}\left\Vert x_{m}-x_{n}\right\Vert ^{2} & =2\left(2\left\Vert \frac{x_{m}-x_{n}}{2}\right\Vert ^{2}\right)\\ & =2\left(\left\Vert x_{m}-x\right\Vert ^{2}+\left\Vert x_{n}-x\right\Vert ^{2}-2\left\Vert \frac{x_{m}+x_{n}}{2}-x\right\Vert ^{2}\right)\\ & \leqslant2\left(\left\Vert x_{m}-x\right\Vert ^{2}+\left\Vert x_{n}-x\right\Vert ^{2}-2d^{2}\Vert \right). \end{aligned}$$

由 $\left\Vert x_{n}-x\right\Vert \rightarrow d$, 可知 $\left\{ x_{n}\right\} $ 是 Cauchy 列. 由于 $H$ 是 Hilbert 空间, 且 $M$ 是闭子空间, 因此存在 $x_{0}\in M$, 使得 $x_{n}\rightarrow x_{0}$, 所以 $\left\Vert x-x_{0}\right\Vert =d(x,M)$. 所以由定理, 知 $x_0$ 是 $x$ 在 $M$ 上的投影.

现证这种分解是唯一的. 假设存在另一个 $x_{0}^{\prime}\in M$ 及 $y^{\prime}\in M^{\perp}$, 使得 $x=x_{0}^{\prime}+y^{\prime}$, 则 $x_{0}-x_{0}^{\prime}\in M$, $y-y^{\prime}\in M^{\perp}$, 故由 $y-y^{\prime}=\left(x-x_{0}\right)-\left(x-x_{0}^{\prime}\right)=x_{0}-x_{0}^{\prime}\in M$ 可知 $y=y^{\prime}$.

推论: 设 $H$ 是 Hilbert 内积空间, $M$ 是 $H$ 的闭子空间, $x\in H$, 则 $x_{0}\in M$ 使得 $\left\Vert x-x_{0}\right\Vert =d(x,M)$ 当且仅当 $x-x_{0}\perp M$.

定理: 设 $H$ 是 Hilbert 空间, $M$ 是 $H$ 的子空间, 试证明 $\overline{M}=H$ 当且仅当 $M^{\perp}=\{0\}$.

提示

必要性: $\overline{M}=H$, 对于任意 $x\in M^{\perp}$, 有 $x\in H$. 由 $\overline{M}=H$ 可知存在 $x_{n}\in M$, 使 $x_{n}\rightarrow x$, 由于 $x\in M^{\perp}$, 因此 $(x,x)=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(x_{n},x\right)=0$, 因而 $x=0$, 即 $M^{\perp}=\{0\}$.

充分性, 若 $M^{\perp}=\{0\}$, 则 $\overline{M}^{\perp}=\{0\}$, 对任意 $x\in H$, 由投影定理, 有 $x_{0}\in\overline{M}$ 和 $y\in\overline{M}^{\perp}=\{0\}$, 使得 $x=x_{0}+y$, 因此 $x=x_{0}\in\overline{M}$, 从而 $H\subset\overline{M}$, 所以 $H=\overline{M}$.

推论: 设$M$是内积空间$H$的完备线性子空间, 且$M\ne H$, 则$M^{\perp}$中必有非零元.

推论: 设$H$是Hilbert空间, $M$是$H$的线性子空间, 则$\overline{M}=M^{\perp\perp}$, $\overline{M}$为$M$的闭包. 特别地, 如果$M^{\perp}=\left\{ 0\right\} $, 则$M$在$H$中稠密.

提示

证明分$\overline{M}\subset M^{\perp\perp}$和$M^{\perp\perp}\subset\overline{M}$两种情况.

问题: 若 $M$ 是 Hilbert 空间 $H$ 的子空间, 但 $M$ 不是闭的子空间, 那么对任意 $x\in H$, $x$ 在 $M$ 上是否存在投影呢?

问题: 在 $l^{2}$ 中, $M$ 为只有有限项非零的实数列全体构成的子空间, 则 $M$ 不是 $l^{2}$ 的闭子空间. 可以断言, 对有些 $x\in H$, $x$ 在 $M$ 上的正交投影不存在.

提示

实际上, 容易证明 $M^{\perp}=\{0\}$. 由于 $e_{i}=(0,\cdots,1,0,\cdots,0)\in M$, 因此对任意 $x=\left(x_{i}\right)\in M^{\perp}$, 有 $x_{i}=\left(x,e_{i}\right)=0$, 故 $x=0$.

取 $x=\left(\frac{1}{i}\right)\in l_{2}$, 若 $x=x_{0}+y$ 是 $x$ 的正交分解, 由于 $y\in M^{\perp}=\{0\}$, 因此 $x_{0}=x=\left(\frac{1}{i}\right)$, 这与 $x_{0}$ 只有有限项非零矛盾, 所以 $x$ 在 $M$ 上的正交投影不存在.

Hilbert 空间的正交集

定理: 每个非零的Hilbert空间必有完备规范正交系.

提示

证明不可分的情况: 用Zorn引理, 在$H$的所有规范正交系组成的集合中, 按照包含关系作为序关系, 则必有极大元$\mathscr{F}$. 则$\overline{\mathrm{span}\mathscr{F}}=H$, 否则, 必有规范向量$e\in H$, $e\perp\mathscr{F}$, 使$\mathscr{F}\cup\left\{ e\right\} $成为更大的$H$中的规范正交系, 矛盾.

定理: (1) 若 $\left\{ e_{1},e_{2},\cdots,e_{n}\right\} $ 为 $H$ 的一个正交集, 则

$$\left\Vert e_{1}+e_{2}+\cdots+e_{n}\right\Vert =\left\Vert e_{1}\right\Vert ^{2}+\left\Vert e_{2}\right\Vert ^{2}+\cdots+\left\Vert e_{n}\right\Vert ^{2};$$

(2) 若 $\left\{ e_{1},e_{2},\cdots,e_{n}\right\} $ 为 $H$ 的一个正交集, 则 $e_{1},e_{2},\cdots,e_{n}$ 线性无关.

定理 (Gram Schmidt正交化过程): 设$\left\{ x_{1},x_{2},\cdots\right\} $是内积空间$H$中有限个或可列个线性无关的向量, 则必有$H$中的规范正交系$\left\{ e_{1},e_{2},\cdots\right\} $, 使得对任何正整数$n$, 有

$$\mathrm{span}\left\{ e_{1},\cdots,e_{n}\right\} =\mathrm{span}\left\{ x_{1},\cdots,x_{n}\right\}.$$

定理: 设$e_{1},e_{2},\cdots,e_{n}$是内积空间$H$中的规范正交系, $M=\mathrm{span}\left\{ e_{1},e_{2},\cdots,e_{n}\right\} $, $x\in H$. 则
1). $x_{0}=\sum_{i=1}^{n}(x,e_{i})e_{i}$是$x$在$M$上的投影, 且

$$\norm{x_{0}}^{2}=\sum_{i=1}^{n}\left|\left(x,e_{i}\right)\right|^{2}.$$

2). 对任何$\alpha_{1},\cdots,\alpha_{n}$,

$$\norm{x-\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}e_{i}}\ge\norm{x-\sum_{i=1}^{n}(x,e_{i})e_{i}}.$$

上式取等号当且仅当$\alpha_{i}=(x,e_{i})$, $i=1,2,\cdots,n$.

提示

1). 由 $M=\mathrm{span}\left\{ e_{i}\mid i=1,2,\cdots,n\right\} $ 可知 $x_{0}=\sum_{i=1}^{n}\left(x,e_{i}\right)e_{i}\in M$. 令 $y=x-x_{0}$, 则

$$\left(y,e_{i}\right)=\left(x-x_{0},e_{i}\right)=\left(x,e_{i}\right)-\left(x_{0},e_{i}\right)=\left(x,e_{i}\right)-\left(x,e_{i}\right)=0,$$

故 $y\in M^{\perp}$, 由 $x=x_{0}+y$ 可知 $x_{0}$ 是 $x$ 在 $M$ 上的投影. 由于 $e_{1},e_{2},\cdots,e_{n}$ 是规范正交集, 因而有

$$\left\Vert x_{0}\right\Vert ^{2}=\left\Vert \sum_{i=1}^{n}\left(x,e_{i}\right)e_{i}\right\Vert ^{2}=\sum_{i=1}^{n}\left|\left(x,e_{i}\right)\right|^{2}\left\Vert e_{i}\right\Vert ^{2}=\sum_{i=1}^{n}\left|\left(x,e_{i}\right)\right|^{2}.$$

推论: 设 $\left\{ e_{i}\mid i=1,2,\cdots,n\right\} $ 是内积空间 $H$ 的正交规范集, 则对任意 $x\in H$, 有

$$\sum_{i=1}^{n}\left|\left(x,e_{i}\right)\right|^{2}\leqslant\Vert x\Vert ^{2}.$$

提示

对于任意 $x\in H$, 由上面定理可知 $x_{0}=\sum_{i=1}^{n}\left(x,e_{i}\right)e_{i}$ 是 $x$ 在 $M$ 上的投影, 即存在 $y\in M^{\perp}$, 使得 $x=x_{0}+y$, 因此

$$\Vert x\Vert ^{2}=\left\Vert x_{0}\right\Vert ^{2}+\Vert y\Vert ^{2}=\sum_{i=1}^{n}\left|\left(x,e_{i}\right)\right|^{2}+\Vert y\Vert ^{2},$$

所以

$$\sum_{i=1}^{n}\left|\left(x,e_{i}\right)\right|^{2}\leqslant\Vert x\Vert ^{2}.$$

定理: 设 $\left\{ e_{i}\mid i=1,2,\cdots,n,\cdots\right\} $ 是内积空间 $H$ 的规范正交集, 则对任意 $x\in H$, 有 $\sum_{i=1}^{\infty}\left|\left(x,e_{i}\right)\right|^{2}\leqslant\Vert x\Vert^{2}$.

定理 (Bessel不等式): 设$\mathscr{F}=\{e_{\lambda}\mid\lambda\in\Lambda\}$是内积空间$H$的规范正交系, 则对每个$x\in H$, $x$的Fourier系数集$\left\{ (x,e_{\lambda})\mid\lambda\in\Lambda\right\} $最多只有可列个不为零, 且

$$\sum_{\lambda\in\Lambda}\left|(x,e_{\lambda})\right|^{2}\le\norm{x}^{2}.$$

推论: 设$\left\{ e_{n}\right\} $是内积空间$H$中的规范正交系, 则对于任何$x\in H$,

$$\lim_{n\to\infty}\left(x,e_{n}\right)=0.$$

推论 (Riemann-Lebesgue引理): 对任何$f\in L^{2}[0,2\pi]$, 有

$$\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{2\pi}f(x)\cos nx\ud x=\lim_{n\to\infty}f(x)\sin nx\ud x=0.$$

定理 (Steklov 定理): 设$\mathscr{F}=\left\{ e_{\lambda}\mid\lambda\in\Lambda\right\} $是内积空间$H$中的规范正交系, 若有$H$的稠密子集$D$, 使得对$x\in D$都有Parseval等式成立, 则$\mathscr{F}$完备.

定理: 设 $H$ 是 Hilbert 空间 $S=\left\{ e_{i}\mid i=1,2,\cdots,n,\cdots\right\} $ 是 $H$ 的规范正交集, 则对任意 $x\in H$, 级数 $\sum_{i=1}^{\infty}\left(x,e_{i}\right)e_{i}$ 收敛.

问题: 对于 Hilbert 空间 $H$ 的规范正交集 $\left\{ e_{i}\mid i=1,2,\cdots,n,\cdots\right\} $ 及任意 $x\in H$, 是否一定有 $x=\sum_{i=1}^{\infty}\left(x,e_{i}\right)e_{i}$?

一般来说, 在 Hilbert 空间 $H$, 规范正交集 $\left\{ e_{i}\mid i=1,2,\cdots,n,\cdots\right\} $ 可保证对任意 $x\in H$, 级数 $\sum_{i=1}^{\infty}\left(x,e_{i}\right)e_{i}$ 一定收敛, 但不一定会收敛于 $x$.

例 在 $l^{2}$ 中 $\left\{ e_{i}\mid i=1,2,\cdots,n,\cdots\right\} $ 就是 $l^{2}$ 的规范正交基, 因为对于任意 $x=\left(x_{i}\right)\in l^{2}$, 都有

$$x=\sum_{i=1}^{\infty}x_{i}e_{i}=\sum_{i=1}^{\infty}\left(x,e_{i}\right)e_{i}.$$

定理: 设 $H$ 是内积空间, $S=\left\{ e_{i}\mid i\in N\right\} $ 是 $H$ 的规范正交集, 则 $S$ 是 $H$ 的规范正交基当且仅当对于任意 $x\in H$, 有

$$\Vert x\Vert^{2}=\sum_{i=1}^{\infty}\left|\left(x,e_{i}\right)\right|^{2}.$$

提示

必要性: 由于 $S=\left\{ e_{i}\mid i\in\NN\right\} $ 是 $H$ 的正交规范集, 因此令 $M_{n}=\mathrm{span}\left\{ e_{i}\mid i=1,2,\cdots,n\right\} $ 时, 对任意 $x\in H$, $x_{n}=\sum_{i=1}^{n}\left(x,e_{i}\right)e_{i}$ 为 $x$ 在 $M_{n}$ 上的投影, 且 $\left\Vert x_{n}\right\Vert ^{2}=\sum_{i=1}^{n}\left|\left(x,e_{i}\right)\right|^{2}$.

若 $S$ 是 $H$ 的正交规范基, 则对任意 $x\in H$, 有 $x=\sum_{i=1}^{\infty}\left(x,e_{i}\right)e_{i}$, 因此 $x_{n}\rightarrow x$, 因而

$$\Vert x\Vert^{2}=\lim_{n\rightarrow\infty}\left\Vert x_{n}\right\Vert ^{2}=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^{n}\left|\left(x,e_{i}\right)\right|^{2}=\sum_{i=1}^{\infty}\left|\left(x,e_{i}\right)\right|^{2}.$$

充分性, 若对任意 $x\in H$, 有 $\Vert x\Vert^{2}=\sum_{i=1}^{\infty}\left|\left(x,e_{i}\right)\right|^{2}$, 则由

$$\Vert x\Vert^{2}=\left\Vert x_{n}\right\Vert ^{2}+\left\Vert x-x_{n}\right\Vert ^{2}=\sum_{i=1}^{n}\left|\left(x,e_{i}\right)\right|^{2}+\left\Vert x-\sum_{i=1}^{n}\left(x,e_{i}\right)e_{i}\right\Vert ^{2},$$

可知

$$\left\Vert x-\sum_{i=1}^{\infty}\left(x,e_{i}\right)e_{i}\right\Vert ^{2}=\Vert x\Vert^{2}-\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^{n}\left|\left(x,e_{i}\right)\right|^{2}=0,$$

所以$x=\sum_{i=1}^{\infty}\left(x,e_{i}\right)e_{i}$, 即$S$是$H$的正交规范基.

定理: 设$\mathscr{F}=\left\{ e_{\lambda}\mid\lambda\in\Lambda\right\}$是内积空间$H$中的规范正交系, $M$为$\mathscr{F}$张成的线性闭子空间, 则对于$x\in H$, 以下三个条件相互等价.
1). $x\in M$.
2). $\norm{x}^{2}=\sum_{\lambda\in\Lambda}\left|(x,e_{\lambda})\right|^{2}.$
3). $x=\sum_{\lambda\in\Lambda}(x,e_{\lambda})e_{\lambda}.$

定理: 设$\left\{ e_{\lambda}\mid\lambda\in\Lambda\right\} $是Hilbert空间$H$中的规范正交系, 则$\left\{ e_{\lambda}\mid\lambda\in\Lambda\right\} $是完备规范正交系的充要条件是对任何$x\in H$, $y\in H$, 有

$$\left(x,y\right)=\sum_{\lambda\in\Lambda}\left(x,e_{\lambda}\right)\left(e_{\lambda},y\right).$$

定理: $L^{2}[0,2\pi]$中

$$\left\{ \frac{1}{\sqrt{2}},\cos x,\sin x,\cdots,\cos nx,\sin nx,\cdots\right\}$$

是完备的规范正交系.

提示

证明在$L^{2}[0,2\pi]$的一个稠子集中有Parseval等式成立, 这个稠子集是三角多项式集.

定理: 设 $H$ 是 Hilbert 空间, $S=\left\{ e_{i}\mid i\in \NN\right\} $ 是 $H$ 的规范正交集, 则 $S$ 是 $H$ 的规范正交基的充要条件为 $S^{\perp}=\{0\}$.

提示

必要性: 若 $S$ 是 $H$ 的规范正交基, $x\in S^{\perp}$, 则 $x=\sum_{i=1}^{\infty}\left(x,e_{i}\right)e_{i}$, 由 $x\in S^{\perp}$ 可 知 $\left(x,e_{i}\right)=0$ 对任意 $i\in\NN$ 成立, 因此 $x=0$, 即 $S^{\perp}=\{0\}$.

充分性, 若 $S^{\perp}=\{0\}$, 则对任意 $x\in H$, 由 $\sum_{i=1}^{\infty}\left|\left(x,e_{i}\right)\right|^{2}\leqslant\Vert x\Vert ^{2}$ 及 $H$ 是完备的可知 $\sum_{i=1}^{\infty}\left(x,e_{i}\right)e_{i}$ 收敛, 令 $y=x-\sum_{i=1}^{\infty}\left(x,e_{i}\right)e_{i}$, 则对于任意 $i\in \NN$, 有

$$\left(y,e_{i}\right)=\left(x,e_{i}\right)-\left(x,e_{i}\right)=0,$$

故 $y\in S^{\perp}$, 因而 $y=0$, 所以 $x=\sum_{i=1}^{\infty}\left(x,e_{i}\right)e_{i}$, 即 $S$ 是 $H$ 的规范正交基.

定理: 设$\mathscr{F}=\left\{ e_{\lambda}\mid\lambda\in\Lambda\right\} $是Hilbert空间$H$的规范正交系, 则$\mathscr{F}$完备的充要条件是$\mathscr{F}^{\perp}=\left\{ 0\right\} $.

完备性条件不可省去的反例

反例: 上述命题中$H$的完备性不可省去. 在$L^{2}[0,2\pi]$中构造这样的$H$, 取

$$\mathscr{F}=\left\{ \frac{1}{\sqrt{\pi}}\cos t,\frac{1}{\sqrt{\pi}}\sin t,\cdots,\frac{1}{\sqrt{\pi}}\cos nt,\frac{1}{\sqrt{\pi}}\sin nt,\cdots\right\} ,$$

记

$$f_{0}(t)=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}\left(\frac{\cos nt}{\sqrt{\pi}}+\frac{\sin nt}{\sqrt{\pi}}\right)\in L^{2}.$$

令

$$H=\left\{ \alpha_{0}f_{0}+\sum_{\nu=1}^{n}\left(\alpha_{\nu}\cos\nu t+\beta_{\nu}\sin\nu t\right)\mid n>0,\alpha_{0},\alpha_{\nu},\beta_{\nu}\in\CC\right\} .$$

此时$f_{0}$不满足Parseval等式, $\mathscr{F}$在$H$中不完备.

定理: 设 $H$ 是可分的 Hilbert 空间, $S$ 是 $H$ 的正交规范集, 则 $S$ 是有限集或可数集.

提示

若 $H$ 是可分的 Hilbert 空间, 则存在可数集 $\left\{ x_{i}\mid i\in N\right\} \subset H$, 使得 $\overline{\left\{ x_{i}\right\} }=H$. 令

$$S_{i}=\left\{ x\in H\mid\left\Vert x-x_{i}\right\Vert \leqslant\frac{1}{4}\right\},\quad i=1,2,\cdots,$$

则由 $\overline{\left\{ x_{i}\right\} }=H$ 可知 $S=\bigcup_{i=1}^{\infty}\left(S\cap S_{i}\right)$, 故只需证明对于任意 $i\in\NN$, $S\cap S_{i}$ 最多只能含有一个元素.

用反证法, 假设存在某个 $n_{0}\in\NN$, 使得 $e_{\alpha},e_{\beta}\in S\cap S_{n_{0}}$, 则

$$\left\Vert e_{\alpha}-e_{\beta}\right\Vert \leqslant\left\Vert e_{\alpha}-x_{n_{0}}\right\Vert +\left\Vert x_{n_{0}}-e_{\beta}\right\Vert \leqslant\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\text{, }$$

但这与 $\left\Vert e_{\alpha}-e_{\beta}\right\Vert ^{2}=\left\Vert e_{\alpha}\right\Vert ^{2}+\left\Vert e_{\beta}\right\Vert ^{2}=1+1=2$ 矛盾. 因此对于任意 $i\in\NN$, $S\cap S_{i}$ 最多只含一个元素, 所以 $S$ 是有限集或可数集.

对偶空间

对于具体的赋范空间$H$, 可以讨论$H$上的连续线性泛函的一般形式, 比如$c_{0}^{\star}=l^{1}$, $\left(l^{1}\right)^{\star}=l^{\infty}$. 但是, 对于一般的Banach空间, 要找到它上面的连续线性泛函的具体表示是困难的.

然而, 对于Hilbert空间, 由于有内积, 它上面的连续泛函的表示是容易得到的.

对于内积空间$H$, 取固定的$y\in H$, 则在$H$上可以定义泛函$f_{y}(x)=(x,y)$, 则$f_{y}$是$H$上的连续线性泛函, 且$\norm{f_{y}}=\norm{y}$. 但反之也是对的, 即对于$H$上的任意一个连续线性泛函$f$, 存在$y\in H$, 使得$f(x)=(x,y)$.

1934年, Riesz在没有假设$H$是可分的情况下, 证明了Riesz表示定理, Hilbert空间的整个理论以表示定理为基础.

定理: 若 $H$ 是 $n$ 维的内积空间, 则 $H$ 与 $K^{n}$ 同构.

提示

由于 $H$ 是 $n$ 维的内积空间, 因此存在 Schauder 基 $\left\{ x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right\} $. 利用 Gram-Schmidt 标准正交方法可以把 $\left\{ x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right\} $ 化为正交规范基 $\left\{ e_{1},e_{2},\cdots,e_{n}\right\} $.

定义从 $H$ 到 $K^{n}$ 的算子 $T$, $T(x)=\left(\left(x,e_{1}\right),\left(x,e_{2}\right),\cdots,\left(x,e_{n}\right)\right)$, 则 $T$ 是线性算子, 且是单射, 对于任意 $\alpha=\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}\right)\in K$, 令 $x=\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}e_{i}$, 则 $Tx=\alpha$, 因此 $T$ 是 $H$ 到 $K^{n}$ 的满射, 从而 $T$ 是 $H$ 到 $K^{n}$ 的一一对应, 且对于任意 $x,y\in H$, 由

$$x=\sum_{i=1}^{n}\left(x,e_{i}\right)e_{i},\quad y=\sum_{i=1}^{n}\left(y,e_{i}\right)e_{i}$$

可知

$$(Tx,Ty)=\sum_{i=1}^{n}\left(x,e_{i}\right)\overline{\left(y,e_{i}\right)},$$

所以, $H$ 和 $K^{n}$ 是同构的.

定理: 若 $H$ 是可分的 Hilbert 空间, 且 $H$ 是无穷维的, 则 $H$ 与 $l_{2}$ 同构.

定理: 设$H$是内积空间, $H’$是它的对偶空间, $f_{y}$表示$H$上的线性泛函$f_{y}: H\to\RR$, $x\mapsto(x,y)$. 如果映射$T:H\to H’$, $y\mapsto f_{y}$是双射, 则$H$是Hilbert空间.

提示

思路: $T$是等距映射, 由$T$是双射, $H$和$H’$是等距同构的, 而任何赋范线性空间的对偶空间总是完备的, 所以$H$完备.

Riesz 表示定理

定理 (Riesz 表示定理): 设 $H$ 是 Hilbert 空间, $f$ 是 $H$ 上的线性连续泛函, 则存在唯一的 $y\in H$, 使得对任意 $x\in H$, 有 $f(x)=(x,y)$ 且 $\Vert f\Vert =\Vert y\Vert $.

提示

明显地, $f$ 为零泛函时取 $y=0$ 即可, 因此只需证明 $f\neq0$ 时定理成立.

若 $f$ 是 $H$ 上的非零线性连续泛函, 则 $M=\{x\mid f(x)=0\}$ 是 $H$ 的闭真子空间, 故存在 $u\in H\backslash M$. 由投影定理可存在 $u_{0}\in M$, $z\in M^{\perp}$, 使得 $z=u-u_{0}$, 因而 $z\in M^{\perp}$ 且 $z\neq0$. 由于 $M\cap M^{\perp}=\{0\}$, 因此 $f(z)\neq0$. 对于任意 $x\in H$, 由 $f\left(x-\frac{f(x)}{f(z)}z\right)=0$ 可知故

$$x-\frac{f(x)}{f(z)}z\in M,\quad \left(x-\frac{f(x)}{f(z)}z,z\right)=0,$$

因此

$$f(x)=\frac{f(z)}{\Vert z\Vert ^{2}}(x,z)=\left(x,\frac{\overline{f(z)}}{\Vert z\Vert ^{2}}z\right).$$

令 $y=\frac{\overline{f(z)}}{\Vert z\Vert ^{2}}z$, 则对任意 $x\in H$, 有

$$f(x)=(x,y).$$

假设存在 $y^{\prime}\in H$, 使得 $f(x)=\left(x,y^{\prime}\right)$ 对任意 $x\in H$ 成立, 则 $y-y^{\prime}\in H$, 有

$$f\left(y-y^{\prime}\right)=\left(y-y^{\prime},y\right)=\left(y-y^{\prime},y^{\prime}\right),$$

因而 $\left\Vert y-y^{\prime}\right\Vert ^{2}=\left(y-y^{\prime},y-y^{\prime}\right)=0$, 故 $y=y^{\prime}$, 所以 $f(x)=(x,y)$ 的表示是唯一的, 并且此时有 $\Vert f\Vert =\Vert y\Vert $.

需要注意的是, 若 $H$ 是内积空间, $f$ 是 $H$ 上的线性连续泛函, 则不一定存在 $y\in H$, 使得对任意 $x\in H$, 有 $f(x)=(x,y)$.

对不完备的内积空间 Riesz 表示定理不一定成立

设 $H=\left\{ \left(x_{i}\right)\mid\text{只有有限个 }x_{i}\text{ 不为零, }x_{i}\in\RR\right\} $, 则 $H$ 在 $(x,y)=\sum_{i=1}^{\infty}x_{i}y_{i}$ 下是内积空间, 明显地, $f(x)=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{x_{i}}{i^{2}}\in H’$, 并且 $|f(x)|\leqslant\left(\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i^{2}}\right)\Vert x\Vert $, 但不存在 $y\in H$, 使得对任意 $x\in H$, 有 $f(x)=(x,y)$.

假设存在 $y=\left(y_{i}\right)\in H$, 使得 $f(x)=(x,y)$, 则对于 $e_{i}=(0,,0,\cdots,1,\cdots,0)\in H$, 有 $y_{i}=\left(e_{i},y\right)$, 并且 $f\left(e_{i}\right)=\frac{1}{i^{2}}$ 对所有自然数 $i$ 成立, 因此 $y=\left(y_{i}\right)\notin H$, 矛盾, 所以 Riesz 表示定理在 $H$ 上不成立.

定理: 设 $H$ 是 Hilbert 空间, 则 $x_{n}\wc x$ 当且仅当对于任意 $y\in H$, 有 $\left(x_{n},y\right)\rightarrow(x,y)$.

定理: 设 $H$ 是 Hilbert 空间, $\left\{ x_{n}\right\} \subset H$, $x\in H$, 则 $x_{n}\to x$ 当且仅当 $x_{n}\wc x$ 且 $\left\Vert x_{n}\right\Vert \to\Vert x\Vert $.

提示

必要性是显然的.

充分性, 证明 $x_{n}\wc x$, 且 $\left\Vert x_{n}\right\Vert \to\Vert x\Vert $ 时, 有 $x_{n}\to x$. 由于

$$\begin{aligned}\left(x_{n}-x,x_{n}-x\right) & =\left(x_{n},x_{n}\right)-\left(x_{n},x\right)-\left(x,x_{n}\right)+(x,x)\\ & =\left\Vert x_{n}\right\Vert ^{2}-\left(x_{n},x\right)-\left(x,x_{n}\right)+\Vert x\Vert ^{2}, \end{aligned}$$

因此由 $x_{n}\wc x$ 和 $\left\Vert x_{n}\right\Vert \longrightarrow\Vert x\Vert $ 可知 $\left\Vert x_{n}-x\right\Vert ^{2}\rightarrow0$. 所以 $x_{n}\to x$.

由 Riesz 表示定理不仅可以知道 Hilbert 空间是自反的, 而且可以定义 $H$ 到它的共轭空间 $ H’ $ 的算子 $T$ 为: $Ty\rightarrow f_{y}$, 明显地, $T$ 是 $H$ 到 $ H’ $ 的一一对应, 且 $\Vert Ty\Vert =\Vert y\Vert $, 即 $T$ 是保范的, 但 $T$ 不是线性算子. 实际上, 对于 $\alpha,\beta\in K$, 及 $y,z\in H$, 有 $T(\alpha y+\beta z)=\overline{\alpha}Ty+\overline{\beta}Tz$, 因而 $T$ 是共轭线性的, $T$ 是一一对应, 且 $\Vert Ty\Vert =\Vert y\Vert $, 这样的 $T$ 称为复共轭线性同构.

在复共轭线性同构的意义下, $y\in H$ 可以看作 $H’$ 的 $f_{y}$, 而 $H’$ 中的 $f_{y}$ 亦可看作 $H$ 中的点 $y$. 因此 $H$ 可以看成与 $H’$ 一样, 这种性质称为 Hilbert 空间的自共轭性. 由于 Hilbert 空间是自共轭的, 因此 Hilbert 空间 $H$ 与它的共轭空间 $H’$ 可以看成一样, 这样共轭算子就可以认为是直接定义在 Hilbert 空间本身上的算子.

伴随算子

定理: 设 $X$ 和 $Y$ 是 Hilbert 空间, $T$ 是 $X$ 到 $Y$ 的线性有界算子, 则 $T$ 存在唯一的伴随算子 $T^{\star}$, 使得对任意 $x\in X$, $y\in Y$, 有 $(Tx,y)=\left(x,T^{\star}y\right)$, 且 $\left\Vert T^{\star}\right\Vert \leqslant\Vert T\Vert $.

提示

对任意 $y\in Y$, 令 $f_{y}(x)=(Tx,y)$, 则由

$$\left|f_{y}(x)\right| = |(Tx,y)|\leqslant\Vert Tx\Vert \cdot\Vert y\Vert \leqslant\Vert T\Vert \cdot\Vert y\Vert \cdot\Vert x\Vert$$

可知 $f_{y}\in X^{\star}$. 由于 $X$ 是 Hilbert 空间, 因此, 由 Riesz 表示定理可知存在唯一的 $z\in X$, 使得

$$f_{y}(x)=(Tx,y)=(x,z).$$

定义 $Y$ 到 $X$ 的算子 $T^{\star}$ 为 $T^{\star}y=z$, 则有

$$(Tx,y)=\left(x,T^{\star}y\right),$$

并且对于 $y_{1},y_{2}\in Y$ 及 $\alpha,\beta\in K$, 有

$$\begin{aligned}\left(x,T^{\star}\left(\alpha y_{1}+\beta y_{2}\right)\right) & =\left(Tx,\alpha y_{1}+\beta y_{2}\right)\\ & =\overline{\alpha}\left(Tx,y_{1}\right)+\overline{\beta}\left(Tx,y_{2}\right)\\ & =\overline{\alpha}\left(x,T^{\star}y_{1}\right)+\overline{\beta}\left(x,T^{\star}y_{2}\right)\\ & =\left(x,\alpha T^{\star}y_{1}+\beta T^{\star}y_{2}\right), \end{aligned}$$

因此

$$T^{\star}\left(\alpha y_{1}+\beta y_{2}\right)=\alpha T^{\star}y_{1}+\beta T^{\star}y_{2},$$

即 $T^{\star}$ 是线性的. 又因为

$$\left\Vert T^{\star}y\right\Vert =\Vert z\Vert =\left\Vert f_{y}\right\Vert \leqslant\Vert T\Vert \cdot\Vert y\Vert ,$$

所以, $T^{\star}$ 是 $Y$ 到 $X$ 的线性连续算子. 故 $T^{\star}$ 为 $T$ 的伴随算子, 且 $\left\Vert T^{\star}\right\Vert \leqslant\Vert T\Vert $.

由 $(Tx,y)=\left(x,T^{\star}y\right)$ 对任意 $x\in X$ 和 $y\in Y$ 成立可知 $T^{\star}$ 一定是唯一的.

定理: 设 $X$ 和 $Y$ 是 Hilbert 空间, $T,S\in L(X,Y)$, $\alpha,\beta\in K$, 则
(1) $T^{\star\star}=T$;
(2) $\Vert T\Vert ^{2}=\left\Vert T^{\star}\right\Vert ^{2}=\left\Vert T^{\star}T\right\Vert $;
(3) $(\alpha T+\beta S)^{\star}=\overline{\alpha}T^{\star}+\overline{\beta}S^{\star}$.

提示

(1) 由于对任意 $x\in X$, $y\in Y$, 有 $(Tx,y)=\left(x,T^{\star}y\right)$, 因此

$$\left(y,T^{**}x\right)=\left(T^{\star}y,x\right)=\overline{\left(x,T^{\star}y\right)}=\overline{(Tx,y)}=(y,Tx),$$

因而 $\left(T^{\star}\right)^{\star}=T$. 由于 $\left\Vert T^{\star}\right\Vert \leqslant\Vert T\Vert $, 因此 $\Vert T\Vert =\left\Vert T^{**}\right\Vert \leqslant\left\Vert T^{\star}\right\Vert $, 所以 $\left\Vert T^{\star}\right\Vert =\Vert T\Vert $.

(2) 由

$$\Vert Tx\Vert ^{2}=(Tx,Tx)=\left(x,T^{\star}Tx\right)\leqslant\Vert x\Vert \cdot\left\Vert T^{\star}Tx\right\Vert \leqslant\Vert x\Vert \cdot\left\Vert T^{\star}T\right\Vert \cdot\Vert x\Vert$$

可知

$$\Vert T\Vert ^{2}\leqslant\left\Vert T^{\star}T\right\Vert \leqslant\left\Vert T^{\star}\right\Vert \cdot\Vert T\Vert \leqslant\Vert T\Vert \cdot\Vert T\Vert .$$

所以

$$\Vert T\Vert ^{2}=\left\Vert T^{\star}\right\Vert ^{2}=\left\Vert T^{\star}T\right\Vert .$$

(3) 对于任意 $x\in X,y\in Y$, 及 $\alpha,\beta\in K$, 由于

$$\begin{aligned}\left(x,(\alpha T+\beta S)^{\star}y\right) & =((\alpha T+\beta S)x,y)\\ & =(\alpha Tx+\beta Sx,y)\\ & =\alpha(Tx,y)+\beta(Sx,y)\\ & =\alpha\left(x,T^{\star}y\right)+\beta\left(x,S^{\star}y\right)\\ & =\left(x,\left(\overline{\alpha}T^{\star}y+\overline{\beta}S^{\star}y\right)\right)\\ & =\left(x,\left(\overline{\alpha}T^{\star}+\overline{\beta}S^{\star}\right)y\right), \end{aligned}$$

因此

$$(\alpha T+\beta S)^{\star}=\overline{\alpha}T^{\star}+\overline{\beta}S^{\star}.$$

如果 $X,Y,Z$ 是 Hilbert 空间, $T\in L(X,Y)$, $S\in L(Y,Z)$, 则明显地有 $(ST)^{\star}=T^{\star}S^{\star}$.

有界线性算子

伴随算子

定理: 设 $X,Y$ 是 Hilbert 空间, $T\in L(X,Y)$, 则
(1) $N(T)=R\left(T^{\star}\right)^{\perp}$;
(2) $N\left(T^{\star}\right)=R(T)^{\perp}$;
(3) $\overline{R\left(T^{\star}\right)}=N(T)^{\perp}$;
(4) $\overline{R(T)}=N\left(T^{\star}\right)^{\perp}$.

提示

(1) 由于对任意 $x\in X$, $y\in Y$, 有 $(Tx,y)=\left(x,T^{\star}y\right)$, 因此, 对任意 $x\in N(T)$ 有 $Tx=0$, 从而 $(Tx,y)=\left(x,T^{\star}y\right)=0$ 对任意 $y\in Y$ 成立, 所以 $N(T)\subset R\left(T^{\star}\right)^{\perp}$.

反过来, 对于任意 $x\in R\left(T^{\star}\right)^{\perp}$, 有 $\left(x,T^{\star}y\right)=0$ 对任意 $y\in Y$ 成立, 因此对于 $y=Tx$, 有 $0=\left(x,T^{\star}Tx\right)=(Tx,Tx)$, 所以 $Tx=0$, 即 $x\in N(T)$, 从而 $R\left(T^{\star}\right)^{\perp}\subset N(T)$, 故 $N(T)=R\left(T^{\star}\right)^{\perp}$.

(2) 由 $N(T)=R\left(T^{\star}\right)^{\perp}$ 可知 $N\left(T^{\star}\right)=R\left(T^{**}\right)^{\perp}=R(T)^{\perp}$.

(3) 由 $N(T)=R\left(T^{\star}\right)^{\perp}$ 可知 $N(T)^{\perp}=R\left(T^{\star}\right)^{\perp\perp}$, 因此

$$N(T)^{\perp}=R\left(T^{\star}\right)^{\perp\perp}=\overline{\left(R\left(T^{\star}\right)\right)}^{\perp\perp}=\overline{R\left(T^{\star}\right)}.$$

(4) 由 $N\left(T^{\star}\right)=R(T)^{\perp}$, 可知 $N\left(T^{\star}\right)^{\perp}=R(T)^{\perp\perp}$, 因此

$$N\left(T^{\star}\right)^{\perp}=R(T)^{\perp\perp}=\overline{(R(T))}^{\perp\perp}=\overline{R(T)}.$$

定理: 设 $X$ 是复内积空间, $T\in L(X,X)$, 试证明 $T=0$ 当且仅当对任意 $x\in X$, 有 $(Tx,x)=0$.

提示

必要性, 若 $T=0$, 则对任意 $x\in X$, 有 $(Tx,x)=0$.

充分性, 若对任意 $x\in X$, 有 $(Tx,x)=0$, 则对任意 $x,y\in X$, 有

$$\begin{aligned}0 & =(T(x+y),x+y)\\ & =(Tx,x)+(Tx,y)+(Ty,x)+(Ty,y)\\ & =(Tx,y)+(Ty,x), \end{aligned}$$

且

$$\begin{aligned}0 & =(T(x+\mathrm{i}y),(x+\mathrm{i}y))\\ & =(Tx,x)+(Tx,\mathrm{i}y)+(T(\mathrm{i}y),x)+(T(\mathrm{i}y),\mathrm{i}y)\\ & =(Tx,\mathrm{i}y)+(T(\mathrm{i}y),x)\\ & =-\mathrm{i}(Tx,y)+\mathrm{i}(Ty,x), \end{aligned}$$

因此 $(Tx,y)-(Ty,x)=0$. 故 $(Tx,y)=0$ 对任意 $x,y\in X$ 成立. 对任意 $x\in X$, 取 $y=Tx$, 则 $(Tx,Tx)=0$, 所以 $T=0$.

自伴算子

定理: 设$H$是Hilbert空间, $A:H\to H$为线性算子, $D(A)=H$, 且满足$(Ax,y)=(x,Ay)$, $x,y\in H$. 则$A$是$H$上的有界线性算子.

提示

思路: 证明$A$是$H$上的闭算子, 然后使用闭图像定理.

定理: 设 $X$ 是 Hilbert 空间, $T\in L(X,X)$, 则 $T$ 是自伴算子当且仅当对于任意 $x\in X$, $(Tx,x)$ 是实数.

提示

必要性: 若 $T$ 是自伴算子, 则对于任意 $x\in X$,

$$(Tx,x)=\left(x,T^{\star}x\right)=(x,Tx)=\overline{(Tx,x)},$$

因此 $(Tx,x)$ 是实数.

充分性, 若对任意 $x\in X$, $(Tx,x)$ 是实数, 则

$$(Tx,x)=\overline{(Tx,x)}=\overline{\left(x,T^{\star}x\right)}=\left(T^{\star}x,x\right),$$

故 $\left(\left(T-T^{\star}\right)x,x\right)=0$ 对任意 $x\in X$ 成立, 所以 $T=T^{\star}$, 即 $T$ 是自伴算子.

定理: 设 $X$ 是 Hilbert 空间, $T\in L(X,X)$, $S\in L(X,X)$, 若 $T,S$ 都是自伴算子, 则 $ST$ 是自伴算子当且仅当 $ST=TS$.

提示

由于 $(ST)^{\star}=T^{\star}S^{\star}=TS$, 因此 $(ST)^{\star}=TS$ 当且仅当 $ST=TS$.

定理: 设 $X$ 是 Hilbert 空间, $T_{n},T\in L(X,X)$, 若 $T_{n}$ 是自伴算子, 且 $T_{n}\rightarrow T$, 则 $T$ 是自伴算子.

提示

由于 $\left(T_{n}-T\right)^{\star}=T_{n}^{\star}-T^{\star}$, 因此 $\left\Vert T_{n}^{\star}-T^{\star}\right\Vert =\left\Vert T_{n}-T\right\Vert $, 故

$$\begin{aligned}\left\Vert T-T^{\star}\right\Vert & \leqslant\left\Vert T-T_{n}\right\Vert +\left\Vert T_{n}-T_{n}^{\star}\right\Vert +\left\Vert T_{n}^{\star}-T^{\star}\right\Vert \\ & =\left\Vert T-T_{n}\right\Vert +0+\left\Vert T_{n}-T\right\Vert \\ & \rightarrow0, \end{aligned}$$

所以 $T=T^{\star}$, 即 $T$ 是自伴算子.

酉算子

定理: 设 $X$ 是 Hilbert 空间, $T\in L(X,X)$, $T\neq0$. 若 $T$ 是酉算子, 则 $\Vert T\Vert =1$, 且对于任意 $x\in X$, 有 $\Vert Tx\Vert =\Vert x\Vert $.

提示

由于 $T^{\star}=T^{-1}$, 因此

$$\Vert Tx\Vert ^{2}=(Tx,Tx)=\left(x,T^{\star}Tx\right)=(x,Ix)=(x,x)=\Vert x\Vert ^{2},$$

所以, $\Vert Tx\Vert =\Vert x\Vert $ 对于任意 $x\in X$ 成立, 并且明显地有 $\Vert T\Vert =1$.

定理: 设 $X$ 是 Hilbert 空间, $T\in L(X,X)$, 若 $T$ 是保范的, 且 $T$ 是满的, 则 $T$ 是酉算子.

提示

由于对任意 $x\in X$, $\Vert Tx\Vert =\Vert x\Vert $, 因此 $T$ 是单射, 又因为 $T$ 是满的, 所以
$T$ 是一一对立, 故 $T^{-1}$ 存在. 由

$$(Tx,Tx)=\left(x,T^{\star}Tx\right)\text{ 和 }(Tx,Tx)=(x,x)$$

可知

$$\left(x,T^{\star}Tx\right)-(x,x)=0.$$

故 $\left(\left(T^{\star}T-I\right)x,x\right)=0$ 对于任意 $x\in X$ 成立, 因此
$T^{\star}T=I$, 于是

$$TT^{\star}=\left(TT^{\star}\right)\left(TT^{-1}\right)=T\left(T^{\star}T\right)T^{-1}=I,$$

所以 $T^{\star}=T^{-1}$, 即 $T$ 是酉算子.

其他

问题: 设 $H$ 是 Hilbert 空间, 则 $H$ 是自反 Banach 空间.

提示

对于任意 $f\in H’$, $f\neq0$, 由于 $H$ 是 Hilbert 空间. 因此存在 $y\in H$, 使得 $f(x)=(x,y)$, 且 $\Vert f\Vert =\Vert y\Vert $. 取 $x=\frac{y}{\Vert y\Vert }$, 则 $\Vert x\Vert =1$, 且 $f(x)=\Vert y\Vert =\Vert f\Vert $, 因而 $H$ 是自反的.

一些简单的习题:

问题. 设$\left\{ x_{n}\right\} $是内积空间$H$中的一列点, 且对任意的$y\in H$, 有$(x_{n},y)\to(x,y)$, $n\to\infty$. 试证明: $\lim_{n\to\infty}x_{n}=x$的充要条件是$\lim_{n\to\infty}\norm{x_{n}}=\norm{x}$.

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问题. 设$H$是实内积空间, $x,y$为$H$中的非零元, 则$\norm{x+y}=\norm{x}+\norm{y}$的充要条件是存在$\lambda>0$, 使得$y=\lambda x$.

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问题. 设$H$为复内积空间, $A$是$H$上的有界线性算子, 则

$$\begin{align*} (Ax,y) & =\frac{1}{4}[(A(x+y),x+y)-(A(x-y),x-y)+\ui(A(x+\ui y),x+\ui y)\\ & \qquad-\ui(A(x-\ui y),x-\ui y)]. \end{align*}$$

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问题. 设$H$为复内积空间, $A$是$H$上的有界线性算子, 若对于任意的$x\in H$, $(Ax,x)=0$, 则$A=0$, 即$A$为零算子.

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问题. 设$H_{1},H_{2},\cdots,H_{n},\cdots$是一列内积空间. 令

$$H=\left\{ \left\{ x_{n}\right\} \mid x_{n}\in H_{n},\sum_{n=1}^{\infty}\norm{x_{n}}^{2}<\infty\right\} ,$$

当$\left\{ x_{n}\right\} $, $\left\{ y_{n}\right\} \in H$时, 规定$\alpha\left\{ x_{n}\right\} +\beta\left\{ y_{n}\right\} =\left\{ \alpha x_{n}+\beta y_{n}\right\} $, 其中$\alpha,\beta$是数,

$$\left(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \right)=\sum_{n=1}^{\infty}(x_{n},y_{n}).$$

证明$H$是内积空间. 又当$H_{n}$都是Hilbert空间时, 证明$H$也是Hilbert空间.

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问题. 设$T,S$为定义在整个Hilbert空间$H$上的线性算子, 且对于一切$x,y\in H$, 有

$$(Tx,y)=(x,Sy).$$

试证明: $T$和$S$都是有界的.

简证: $x_{n}\to x$, $Tx_{n}\to z$, 对于任意的$y$, $(Tx_{n},y)\to(z,y)$,
$(x_{n},Sy)\to(x,Sy)=(Tx,y)$, 故$(Tx-z,y)=0$恒成立, 所以$T$是闭算子, 由闭图像定理,
$T$是有界算子.

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定理: (变分引理) 设$H$是内积空间, $M$是$H$中的非空凸集, 且完备, 且$H$按内积导出的范数完备, 则对于任何$x\in H$, 存在唯一的$x_{0}\in M$, 使得

$$\norm{x-x_{0}}=\inf_{y\in M}\norm{x-y}.$$

定义: 序列$\left\{ x_{n}\right\} $如果满足

$$\lim_{n\to\infty}\norm{x-x_{n}}=\inf_{y\in M}\norm{x-y},$$

则称这样的$\left\{ x_{n}\right\} $是极小化序列.

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证明: 设$\left\{ x_{n}\right\} $是极小化序列, 则平行四边形公式得到

$$0\le\norm{x_{n}-x_{m}}^{2}\le2(\norm{x_{n}-x}^{2}+\norm{x_{m}-x}^{2})-4\norm{\frac{x_{m}+x_{n}}{2}-x}^{2},$$

利用$M$的凸性, $d=\inf_{y\in M}\norm{x-y}$, 知$\frac{1}{2}(x_{m}+x_{n})\in M$, 且$\norm{\frac{x_{m}+x_{n}}{2}-x}\ge d$. 所以

$$0\le\norm{x_{n}-x_{m}}^{2}\le2(\norm{x_{n}-x}^{2}+\norm{x_{m}-x}^{2})-4d^{2},$$

所以$\left\{ x_{n}\right\} $是$H$中的Cauchy列. 利用$M$是$H$的完备子空间, 可知存在$x_{0}\in M$, 使$x_{n}\to x_{0}$, 所以

$$\norm{x-x_{0}}=\inf_{y\in M}\norm{x-y}.$$

如果$M$中另有元素$y_{0}$使得$\norm{x-y_{0}}=\inf_{y\in M}\norm{x-y}$, 则点列$x_{0},y_{0},x_{0},y_{0},\cdots$作为极小序列, 由上面的证明, 是Cauchy列, 从而$x_{0}=y_{0}$.

上面最后的证明中不能使用在$M$上的投影的唯一性来证? 可以, 但要注意$M$是凸集, 而不是一个线性空间, 但是, $M$的线性闭包和$M$两个集合的正交补空间是相同的, 即$\overline{\mathrm{span}M}^{\perp}=M^{\perp}$, 所以必然有$x_{0}-y_{0}\in\overline{\mathrm{span}M}\cap\overline{\mathrm{span}M}^{\perp}$, 从而只能有$x_{0}=y_{0}$.

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命题: 设$H$是Hilbert空间, $M$是$H$的线性子空间. 如果任何$x\in H$在$M$上的投影$x_{0}$都存在, 则$M$必是$H$的闭子空间.

证明: 设$\left\{ x_{n}\right\} \subset M$, $\lim x_{n}=x$, 只需证$x\in M$. 用投影定理, 存在$y_{0}\in M$, $y_{1}\perp M$使$x=y_{0}+y_{1}$. $(x_{n},y_{1})=0$推出$(x,y_{1})=0$, $(y_{0},y_{1})=0$, 所以$y_{1}=0$. 这说明$x=y_{0}\in M$.

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命题: 设$H$是Hilbert空间, $M$为$H$的闭子空间, $x\in H$. 则

$$\min\left\{ \norm{x-z}\mid z\in M\right\} =\max\left\{ |(x,y)|\mid y\in M^{\perp},\ \norm{y}=1\right\} .$$

证明: 使用投影定理.

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问题: 设$H=L^{2}\left[0,1\right]$是内积空间, $E$是$[0,1]$中的Lebsgue可测子集,

$$M=\left\{ x\mid x\in H,x(t)=0,\ t\in E\right\} .$$

对任意的$x\in H$, $x$在$M$上的投影为

$$x_{0}(t)=x(t)(1-\chi_{E}(t)).$$

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问题: 设$H$是实内积空间, 若$\norm{x+y}^{2}=\norm{x}^{2}+\norm{y}^{2}$, 则$x\perp y$当$H$是复内积空间时, 结论是否仍成立?

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问题: 证明内积空间$H$中两个元素$x,y$垂直, iff, 对于任意$\alpha$, 有$\norm{x+\alpha y}\ge\norm{x}$.

证明: 必要性是容易的. 充分性: 因为$\mathrm{span}\left\{ y\right\} $是$H$中的非空线性子空间,
容易知道

$$\norm{x-0}=\norm{x}\le\norm{x+\alpha y}.$$

两边同时取$\inf_{\alpha}$有

$$\norm{x-0}=\inf_{\alpha}\norm{x+\alpha y}=\inf_{z\in\mathrm{span}\left\{ y\right\} }\norm{x-z},$$

所以$x$在空间$\mathrm{span}\left\{ y\right\} $上的投影唯一且为$0$, $x=x-0\perp\mathrm{span}\left\{ y\right\} $,
即$x\perp y$.

充分性2: 对于实内积空间, 对不等式两边平方, 使用内积展开

$$2\alpha(x,y)+\norm{y}^{2}\ge0,$$

若$(x,y)\ne0$, 上式左边可以看成变量为$\alpha$的直线方程, 它不可能恒非负.

对于复内积空间,

$$2\mathrm{Re}\overline{\alpha}(x,y)+\norm{y}^{2}\ge0,$$

若$(x,y)\ne0$, 取$\alpha=-\frac{\norm{y}^{2}}{|(x,y)|^{2}}(x,y)$即可得出矛盾.

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问题: 设$M$是内积空间$H$的非空子集. 则

$$M^{\perp}=M^{\perp\perp\perp}=\overline{M}^{\perp}.$$

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问题: 设$M$是Hilbert空间$H$的非空子集, 证明: $M^{\perp\perp}$是$H$中包含$M$的最小闭子空间.

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问题: 设$M$和$N$是Hilbert空间$H$的两个正交闭子空间, 则: $M\oplus N$也是$H$的闭子空间.

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问题: 设$C[-1,1]$是实连续函数空间, 定义内积

$$(f,g)=\int_{-1}^{1}f(x)g(x)\ud x.$$

若记$M$为$C[-1,1]$中奇函数全体, $N$为$C[-1,1]$中偶函数全体, 证明: $C[-1,1]=M\oplus N$.

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问题: 设$H$为Hilbert空间, $M$是$H$的凸子集, $\left\{ x_{n}\right\} $是$M$中的一列点, 且

$$\lim_{n\to\infty}\norm{x_{n}}=\inf\left\{ \norm{x}\mid x\in M\right\} .$$

则$\left\{ x_{n}\right\} $是$H$中的收敛点列.

证明参考变分引理.

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问题: 设$\left\{ e_{1},e_{2},\cdots,e_{n},\cdots\right\} $是Hilbert空间$H$中的完备规范正交系, 又设$\left\{ f_{1},f_{2},\cdots,f_{n},\cdots\right\} $是$H$中的一个规范正交系, 且

$$\sum_{n=1}^{\infty}\norm{e_{n}-f_{n}}^{2}<1.$$

则$\left\{ f_{n}\right\} _{n-1}^{\infty}$也是$H$的完备规范正交系.

证明用反证法. 设非零$f_{0}$, 满足$f_{0}\perp f_{n}$, $n=1,2,\cdots$. 则

$$\begin{align*} \norm{f_{0}}^{2} & =\sum_{i=1}^{\infty}\left|\left(f_{0},e_{i}\right)\right|^{2}\\ & =\sum\left|\left(f_{0},e_{i}-f_{i}\right)\right|^{2}\\ & \le\norm{f_{0}}^{2}\sum\norm{e_{i}-f_{i}}^{2}\\ & <\norm{f_{0}}^{2}, \end{align*}$$

矛盾.

一些简单问题

问题: 试证明 $C[0,1]$, $\Vert x\Vert =\sup_{0\leqslant t\leqslant1}|x(t)|$ 不能定义内积 $(x,y)$, 使得 $(X,(\cdot,\cdot))$ 是内积空间, 并且 $\Vert x\Vert =(x,x)^{1/2}$.

问题: 设 $X$ 是内积空间, $y\in X$, 试证明 $f(x)=(x,y)$ 是 $X$ 上的线性连续泛函, 且 $\Vert f\Vert =\Vert y\Vert $.

问题: 试证明 $C[0,1]$ 在 $(x,y)=\int_{0}^{1}x(t)y(t)\mathrm{d}t$ 下是内积空间.

问题: 设 $X$ 是内积空间, $e_{1},\cdots,e_{n}\in X$, 若

$$\left(e_{i},e_{j}\right)=\begin{cases} 0, & i\neq j,\\ 1, & i=j. \end{cases}$$

试证明 $e_{1},\cdots,e_{n}$ 线性无关.

问题: 设 $X$ 是实内积空间, $x,y\in X$ 是非零元, 试证明 $\Vert x+y\Vert =\Vert x\Vert +\Vert y\Vert $ 的充要条件为存在 $\lambda>0$, 使得 $y=\lambda x$.

问题: 设 $X$ 是实内积空间, 若 $\Vert x+y\Vert ^{2}=\Vert x\Vert ^{2}+\Vert y\Vert ^{2}$, 试证明 $x\perp y$. 若 $X$ 是复内积空间, 试找出 $x,y\in X$ 满足 $\Vert x+y\Vert ^{2}=\Vert x\Vert ^{2}+\Vert y\Vert ^{2}$, 但 $x\perp y$ 不成立.

问题: 设 $M$ 是 Hilbert 空间 $X$ 的闭真子空间, 试证明 $M=M^{\perp\perp}$.

问题: 设 $M$ 是内积空间 $X$ 的非空子集, 试证明 $M^{\perp\perp\perp}=M^{\perp}$.