Hilbert空间中的定义

内积空间

定义: 设$F$是实数域或复数域, $H$是$F$上的线性空间, 如果对于$H$中任何两个向量$x,y$, 都有一个数$(x,y)\in F$与之对应, 并满足以下条件:

I) 共轭对称性/Hermite性: 对任何$x,y\in H$, $(x,y)=\overline{(y,x)}$;
II) 对第一变元的线性: 对任何$x,y,z\in H$及任何数$\alpha ,\beta \in F$, 成立$(\alpha x+\beta y,z)=\alpha (x,z)+\beta (y,z)$;
III) 正定性: 对于一切$x\in H$, $(x,x)\ge 0$, 且$(x,x)=0$当且仅当$x=0$;

称二元函数$(\cdot ,\cdot )$是$H$中的内积. 如果$H$上定义了内积, 当$F$是实(或复)数域时, 称$H$为实(或复)内积空间.
内积$(\cdot ,\cdot )$关于第二变元是共轭线性的, 即对于任何$x,y,z\in H$及任何$\alpha ,\beta \in F$, 有

$$(z,\alpha x+\beta y)=\bar{\alpha }(z,x)+\bar{\beta }(z,y).$$

Hilbert 空间

定义: 完备的内积空间称为 Hilbert空间.

投影定理

定义: 设$H$是内积空间, 其中的内积为$(\cdot ,\cdot )$. 若$H$中两个向量$x,y$满足$(x,y)=0$, 则称$x,y$ 正交, 记作$x\perp y$.
设$M$是$H$的非空子集, 当$x$与$M$中所有向量正交时, 称$x$与$M$正交, 记作$x\perp M$.
设$M$与$N$是$H$的两个非空子集, 若对任何$x\in M$, $y\in N$, 都有$x\perp y$, 称$M$与$N$正交, 记作$M\perp N$.
设$M$是$H$的非空子集, $H$中所有与$M$正交的向量全体称为$M$的 正交补, 记作$M^{\perp }$.

定义: 设$H$是内积空间, $M_1,M_2$是$H$的两个线性子空间. 若$M_1\perp M_2$, 则称

$$M=\{x_1+x_2\mid x_1\in M_1,x_2\in M_2\}$$

为$M_1$与$M_2$的 直交和 或 正交和, 记为$M_1\oplus M_2$.

注: 直交和概念中的两个正交子空间并没有要求是闭的.

定义: 设$M$是内积空间$H$的线性子空间, $x\in H$. 若有$x_0\in M$, $x_1\perp M$, 使得

$$x=x_0+x_1,$$

则称$x_0$为$x$在$M$上的 正交投影, 简称 投影.
注意: 一般来说, 对于内积空间$H$中的任意向量$x$及任意的线性子空间$M$, $x$在$M$上的投影并不一定存在. 另外, 没有要求 $M$ 是闭的线性子空间.

定义: 定义: 设$H$是线性空间, $x,y\in H$, 称集合

$$\{\alpha x+(1-\alpha )y\mid 0\le \alpha \le 1\}$$

为$H$中连接$x,y$的线段, 如果$M$是$H$的子集, 连接$M$中任意两点的线段均包含于$M$, 则称$M$是$H$中的 凸集.

Hilbert 空间中的正交集

定义: 设$\mathcal{F}$是内积空间$H$中的一族非零向量, 如果$\mathcal{F}$中的向量两两正交, 则称$\mathcal{F}$是$H$中的一个 正交系 或 正交集.
如果正交系$\mathcal{F}$中向量范数均为$1$, 则称$\mathcal{F}$是 规范正交系 或 规范正交集.

定义: 设$\mathcal{F}$是内积空间$H$中的规范正交系, $x\in H$. 称

$$\{(x,e)\mid e\in \mathcal{F}\}$$

为向量$x$关于规范正交系$\mathcal{F}$的Fourier系数集, 称$(x,e)$为$x$关于$e$的 Fourier系数.

定义: 设 $H$ 是内积空间, $S=\{e_i\mid i\in \mathbb{N}\}$ 是 $H$ 的规范正交集, 若对任意 $x\in H$, 有

$$x=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}(x,e_i)e_i,$$

则称 $S$ 为 $H$ 的 规范正交基 或 完备规范正交系.

定义: 设$\{e_{\lambda }\mid \lambda \in \mathrm{\Lambda }\}$是内积空间$H$中的规范正交系, 若对于任何$x\in H$, 有Parseval等式:

$${\Vert x\Vert }^2=\sum _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{\left|(x,e_{\lambda })\right|}^2,$$

则称$\{e_{\lambda }\mid \lambda \in \mathrm{\Lambda }\}$是$H$中的 完备规范正交系 或 规范正交基.
Parseval等式又称为$x$关于$\{e_{\lambda }\mid \lambda \in \mathrm{\Lambda }\}$的 完备性公式.

定义: 设$\mathcal{F}=\{e_{\lambda }\mid \lambda \in \mathrm{\Lambda }\}$是内积空间$H$中的规范正交系, 对$x\in H$, 称形式级数

$$\sum _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}(x,e_{\lambda })e_{\lambda }$$

为向量$x$关于$\mathcal{F}$的 Fourier展开式, 当

$$x=\sum _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}(x,e_{\lambda })e_{\lambda }$$

时, 称$x$关于$\mathcal{F}$可以展开成 Fourier级数.

算子

定义: 设 $X,Y$ 都是同一数域 $K$ 上的内积空间, 若存在 $X$ 到 $Y$ 的线性算子 $T$, $T$ 是双射, 并且对于任意 $x,y\in X$, 有 $(Tx,Ty)=(x,y)$, 则称内积空间 $X$ 和 $Y$ 是同构的.

明显地, 若 $T$ 是内积空间 $X$ 到 $Y$ 的同构映射, 则 $T$ 是 $X$ 到 $Y$ 的保范同构.

定义: 设 $X$ 和 $Y$ 是 Hilbert 空间, $T$ 是 $X$ 到 $Y$ 的有界线性算子, 若 $T^{\star }$ 是 $Y$ 到 $X$ 的有界线性算子, 且对任意 $x\in X$, $y\in Y$, 有

$$(Tx,y)=(x,T^{\star }y),$$

则称 $T^{\star }$ 是 $T$ 的伴随算子.

定义: 对于 $T\in L(X,Y)$, $N(T)$ 记 $T$ 的零空间, 即 $N(T)=\{x\mid Tx=0\}$, $R(T)$ 记 $T$ 的值域, 即 $R(T)=\{Tx\mid x\in X\}$.

定义: 设 $X$ 是 Hilbert 空间, $T\in L(X,X)$, 若 $T^{\star }=T$, 则称 $T$ 是自伴算子. 若 $T$ 是双射并且 $T^{\star }=T^{-1}$, 则称 $T$ 是酉算子. 若 $T{T}^{\star }=T^{\star }T$, 则称 $T$ 是正规算子.

明显地, 若 $T$ 是自伴算子, 则对任意 $x,y\in X$, 有 $(Tx,y)=(x,T^{\star }y)=(x,Ty)$, 因此 $T$ 是自伴算子当且仅当对任意 $x,y\in X$, 有 $(Tx,y)=(x,Ty)$.

由定义还可以推出自伴算子和酉算子一定是正规算子, 不过正规算子不一定是自伴算子或酉算子.