说明:这里收集 MSE 中的部分问题,问题可能有详细的解答,也可能不会写的很详细,但绝对会附上必要的问题来源与可能的参考文献.
关于页面中的文献:部分文献是从 MSE 的回答或讨论中搜集到的,部分是按照本人的理解从网络上搜集下来,一旦我本人理解了就可能不再给出更多的文献.
问题末尾可能出现的 TODO 字样,是因为对应的问题中存在短时间内不能理解的结论,或者信息量过大一时整理不出来而做的个人标记,等待以后时机成熟便于做出补充说明.
问题: 证明
其中 , 和 是满足 的非负实数.
提示
Prove. 设 , , , 则 . 使用 three degree Schur
来证明上述不等式。则 .
命题相当于证明 , 即 , . 这可以由 证得.
问题: 设 , 则可以证明 是一个积性函数,且 .
TODO
问题: 证明
提示
由 Abel 求和公式,并记,
, , 则有
由 Stoltz-Cesaro 公式:
所以
另外,有
问题: 证明:
提示
利用, 将双曲函数化为指数函数.
所以
当 时,, 利用幂级数 有.
带入上式化简得到
注意验证上述积分的收敛性,这里略去,需要注意.
所以上式可化简为
TODO
问题: Ryley 定理:任何非零有理数可以表示为三个有理数的立方和.
提示
事实上,对于任意的有理数, 有
这种表示法有无穷多种,比如参考这里. 也就是
其中, 也是任意的。上式是一个恒等式,所以这里的 甚至可以取实数,
TODO
问题: 存在整数 , 不能表示为两有理数的立方和.
提示
证明:设, 其中, , 将有理数 表示成有相同的分母,并设,
, 其中. 则有
由 Fermat 大定理或 Fermat 递降原理,上式对于, 三元组 无解.
OEIS 列举了能够表示成两非零有理数立方和的整数序列与相关文献.
TODO: ref: L. E. Dickson, History of the Theory of Numbers, Volume II, Chapter XXI.