说明:这里收集 MSE 中的部分问题,问题可能有详细的解答,也可能不会写的很详细,但绝对会附上必要的问题来源与可能的参考文献.
关于页面中的文献:部分文献是从 MSE 的回答或讨论中搜集到的,部分是按照本人的理解从网络上搜集下来,一旦我本人理解了就可能不再给出更多的文献.
问题末尾可能出现的 TODO 字样,是因为对应的问题中存在短时间内不能理解的结论,或者信息量过大一时整理不出来而做的个人标记,等待以后时机成熟便于做出补充说明.

Q4431616

问题: 证明

0yz+zx+xy2xyz727,

其中 x, yz 是满足 x+y+z=1 的非负实数.

提示

Prove. 设 p=a+b+c=1, q=ab+bc+ca, r=abc, 则 p34pq+9r0. 使用 three degree Schur

a(ab)(ac)+b(bc)(ba)+c(ca)(cb)0

来证明上述不等式。则 r4q19.

命题相当于证明 q2r727, 即 q2rq8q29727, q13. 这可以由 p23q 证得.

Q4432417

问题:f(n)=δnd(δ), 则可以证明 f(n) 是一个积性函数,且 f(pk)=i=0k(i+1)=(k+1)(k+2)2.

提示

证明:设 (m,n)=1, 则

f(mn)=δmnd(δ)=δ1m,δ2n,δ=δ1δ2d(δ1δ2)=δ1mδ2nd(δ1)d(δ2)=f(m)f(n).

TODO

Q4434804

问题: 证明

n=1(n(k=n1k2)21n)=32ζ(2)2+3ζ(3)2.
提示

由 Abel 求和公式,并记 an=(k=n1k2)21n2,
bn=k=1nk, b0=0, 则有

n=1(n(k=n1k2)21n)=n=1(bnbn1)an=limnanbn+n=1bn(anan+1)=limnanbn+n=1[12(1n2+1n3+1n(n+1))+n+1nk=n+11k21n]=limnanbn+12(ζ(2)+ζ(3)+1)+n=1(n+1nk=n+11k21n)=limnanbn+12(ζ(2)+ζ(3)+1)+n=1(k=n+11nk2)+n=1(k=n+11k21n)

由 Stoltz-Cesaro 公式:

limnk=n1k21n=limn1n21n1n+1=1k=n1k2=1n+o(1n).

所以

limnanbn=limno(1n2)n(n+1)2=0.

另外,有

n=1(k=n+11nk2)=n=1k=11n(n+k)2=n=1k=11k(k+n)2=12n=1k=1(1n+1k)1(n+k)2=12n=1k=11nk01xn+k1dx=12011xn=1xnnk=1xkkdx=1201ln2(1x)xdx=1201ln2x1xdx=1201k=0xkln2xdx=12k=00y2e(k+1)ydy=k=01(k+1)3=ζ(3),n=1(k=n+11k21n)=limln=1l(k=n+11k21n)=limln=1l(k=l+11k2+k=n+1l1k21n)=liml(lk=l+11k2+k=2ln=1k11k2n=1l1n)=1+liml(k=1lk1k2n=1l1n)=1+liml(k=1l1kk=1l1k2n=1l1n)=1ζ(2).

Q4435360

问题: 证明:

etusinh(u2(π2γ))sinh(u2π)du=sin2γsin(γ+t)sin(γt).
提示

利用 sinhx=exex2, 将双曲函数化为指数函数.

etusinh(u2(π2γ))sinh(u2π)=etueu2(π2γ)eu2(π2γ)eu2πeu2π=etueuγeu(πγ)1euπ

所以

etusinh(u2(π2γ))sinh(u2π)du=0(etu+etu)euγeu(πγ)1euπdu.

u>0 时,euπ<1, 利用幂级数 11x=k=0xk 11euπ=k=0eukπ.
带入上式化简得到

etusinh(u2(π2γ))sinh(u2π)du=0k=0(eu(kπ+γt)+eu(kπ+γ+t)e((k+1)πγt)eu((k+1)πγ+t))du=k=0(1kπ+γt+1kπ+γ+t1(k+1)πγt1(k+1)πγ+t)=1γt+1γ+t+k=1(1kπ+γt+1kπ+γ+t1kπγt1kπγ+t)=2γγ2t2+k=1(2(γt)(γt)2(kπ)2+2(γ+t)(γ+t)2(kπ)2).

注意验证上述积分的收敛性,这里略去,需要注意 cotz=1z+2n=1zz2(nπ)2.
所以上式可化简为

etusinh(u2(π2γ))sinh(u2π)du=2γγ2t2+(cot(γt)1γt)+(cot(γ+t)1γ+t)=sin(2γ)sin(γ+t)sin(γt).

TODO

Q4435480

问题: Ryley 定理:任何非零有理数可以表示为三个有理数的立方和.

提示

事实上,对于任意的有理数 r, 有

r=(r+13)3+(3r9r29r23r+1)3+(9r27r3127r29r+3)3.

这种表示法有无穷多种,比如参考这里. 也就是

(p3+qr)3+(p3+pr)3+(qr)3=N(6Nvp2)3,

其中 {p,q,r}={N2+3v3,N23v3,36N2v3}, v 也是任意的。上式是一个恒等式,所以这里的 v 甚至可以取实数,

TODO

问题: 存在整数 n, n 不能表示为两有理数的立方和.

提示

证明:设 n=x3+y3, 其中 x, yQ, 将有理数 x,y 表示成有相同的分母,并设 x=XZ,
y=YZ, 其中 X,Y,ZZ. 则有

X3+Y3=nZ3,

由 Fermat 大定理或 Fermat 递降原理,上式对于 n=1, 三元组 (X,Y,Z)Z3 无解.

OEIS 列举了能够表示成两非零有理数立方和的整数序列与相关文献.

TODO: ref: L. E. Dickson, History of the Theory of Numbers, Volume II, Chapter XXI.