Poisson公式

设$f(x)\in C(\RR)$, 其中$D$为单位圆盘, 则

$$\iint_{D}f(ax+by)dxdy=2\int_{-1}^{1}\sqrt{1-\xi^{2}}f(\xi\sqrt{a^{2}+b^{2}})d\xi.$$

提示

做变换

$$\begin{cases} \xi=\frac{ax+by}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}},\\ \eta=\frac{bx-ay}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}. \end{cases}$$

则

$$\iint_{D}f(ax+by)dxdy=\iint_{D}f(\xi\sqrt{a^{2}+b^{2}})\ud\xi\ud\eta=2\int_{-1}^{1}\sqrt{1-\xi^{2}}\cdot f(\xi\sqrt{a^{2}+b^{2}})\ud\xi.$$