Borel集

Borel集是拓扑空间中的集合, 由开集(闭集)的可数并, 可数交和相对补运算生成. 有些书中定义Borel集由拓扑空间中的紧集来生成, 而不用开集. 这两种定义在一些空间中是等价的, 比如 Hausdorff $\sigma$紧空间, 但在一些病态空间中, 这两种定义会不同.

拓扑空间$X$中的所有Borel集形成一个$\sigma$代数, 即Borel代数, 或称Borel $\sigma$代数. $X$上的Borel代数是包含$X$中所有开集(或闭集)的最小$\sigma$代数.

在空间$X$中的所有开集(或者闭集)上都有定义的任何测度$\mu$, 在空间$X$上的Borel集上也都有定义.

定义在Borel集上的测度称为Borel测度.

Borel分层(Borel hierarchy):

描述集合论(descriptive set theory):

Suslin集

Suslin集首先是由Mikhail Yakovlevich Suslin 在研究$\RR^{2}$中Borel集投影到$\RR$的时候给出的.

Suslin集的概念应用于 位势理论, 测度论和分形的研究.

定义. 在度量空间$(X,d)$中, Suslin集有形式

其中$F_{i_{1},i_{2},\cdots,i_{k}}$对于任何正整数有限序列$\left\{ i_{1},i_{2},\cdots,i_{k}\right\}$ 在$X$中闭.

Suslin集的性质

  • 每个Borel集是Suslin集.
  • 所有Suslin集形成的集族对可数交和可数并运算封闭.
  • 并非所有的Suslin集都是Borel集, 比如在非平凡度量空间$\RR^{n}$.
  • 若$A$是Polish空间中的一个子集, 则$A$是一个Suslin集当且仅当它是一个解析集.
  • 在Polish空间中, 任何Suslin集都是普遍可测(universally measurable)的.

Polish空间

Polish空间是一个可分的, 完备的, 可度量化的拓扑空间. 即同胚于一个有可数稠子集的完备度量空间.

Polish空间的例子有: 实直线, 任何可分Banach空间, Cantor空间, Baire空间. Polish空间的闭子集, Polish空间的开子集.

在某些空间中, 其上的度量虽然不能使其称为完备的度量空间, 但其仍可能是一个Polish空间, 比如开区间$(0,1)$.

性质:

  1. (Alexandrov定理) 若$X$是Polish空间, 则$X$的任何$G_{\delta}$子集也是Polish空间.
  2. (Cantor-Bendixson定理) 若$X$是Polish空间, 则$X$的任何闭子集可以表示成一个完全子集(perfect)与一个可数子集的不交并.
  3. Polish空间$P$的子空间$Q$仍是Polish空间, 当且仅当$Q$是$P$中一列开子集的交. (Alexandrov逆定理)
  4. 拓扑空间$X$是Polish空间, 当且仅当$X$同胚于立方体$I^{\NN}$的开子集列的交, 其中$I$是单位区间.

Borel等价关系(Borel equivalence relation):