一题多解

由于此博文会是长期增长建设的类型, 问题不会提供具体解答, 只会提供相应的文献索引和方法上的描述.

初等不等式

问题: (均值不等式) 任意 $n$ 个非负实数的几何平均值小于或等于它们的算术平均值. 即 $\forall a_{i} \geqslant 0$, ($i=1,2, \cdots, n$) 恒有

$$\sqrt[n]{a_{1} \cdot a_{2} \cdot \cdots \cdot a_{n}} \leqslant \frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n},$$

且其中的等号当且仅当 $a_{1}=a_{2}=\cdots=a_{n}$ 时成立.

倒序归纳法: ¹ 例1.1.7;
Lagrange乘数法: ¹ 例1.1.7.

极限

数列极限

问题: 证明: 数列 $x_{n}=1+2+\cdots+\frac{1}{n}-\ln n$, ($n=1, 2, \cdots$), 单调下降有界, 从而有极限 (此极限称为 Euler 常数, 记作 $C$.)

单调有界法: ¹ 例1.2.11;
Lagrange中值: ¹ 例1.3.17.

Reference

¹. 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法. 高等教育出版社, 1993. ↩