这里主要收录读书过程中因为证明过程的逻辑漏洞导致的各种障碍, 其中不免会有错误证明或者错误结论.

收录学科方向不限, 会指明出处, 并尽可能给出版次.

问题¹: 设$f(x)$是$\RR$上的有界实函数, 且

$f\left(x+\frac{13}{42}\right)+f(x)=f\left(x+\frac{1}{6}\right)+f\left(x+\frac{1}{7}\right),\qquad\forall x\in\RR.$

试求出$f$的较小的正周期.

原证明

反例的构造

错误点: 方程化为

$f\left(x+\frac{1}{6}\right)-f(x)=f\left(x+\frac{13}{42}\right)-f\left(x+\frac{1}{7}\right),$

记$F(x)=f\left(x+\frac{1}{6}\right)-f(x)$, 则$F$有周期$T=\frac{1}{7}$.
但证明过程中不应当能得到

$f(x+nT)=\sum_{i=0}^{n-1}F(x+iT)+f(x)=nF(x)+f(x)$

不然, 将能够证明$f$有周期$\frac{1}{42}$.

同样的方法可以证明

$f(x+1)-f(x)=\sum_{k=0}^{5}F\left(x+\frac{k}{6}\right),$

如果记上式右边为$H(x)$, 则可以证明$H(x)$有周期$1$, 从而由$f$的有界性, $H$恒为零. $f$也有周期为$1$.

现在需要给出反例说明, 存在函数$f$的最小正周期为$1$, 而不能是$\frac{1}{42}$, 这样就从根本上推翻了上面的证明,
而不是因为没能理解, 可能结论仍是对的的嫌疑.

由于已经证明了$f$有周期$1$, 所以只要在$[0,1]$上考虑问题. 将$[0,1]$区间分成$42$份, 每份上附上一个未知数, 如下

$f(x)=a_{i},\qquad0\le\frac{i}{42}\le x\le\frac{i+1}{42}\le1.$

(f[#/42] = a[#]) & /@ Range[0, 41];
(*根据方程建立恒等式*)
d1 = Table[
   f[i/42 + 1/6] - f[i/42] - f[i/42 + 13/42] + f[i/42 + 1/7] == 0, {i,
     0, 41 - 13, 1}];
d2 = Table[
   f[i/42 + 1/6] - f[i/42] - f[i/42 + 13/42 - 1] + f[i/42 + 1/7] == 
    0, {i, 42 - 13, 41 - 7, 1}];
d3 = Table[
   f[i/42 + 1/6 - 1] - f[i/42] - f[i/42 + 13/42 - 1] + f[i/42 + 1/7] ==
     0, {i, 42 - 7, 41 - 6, 1}];
d4 = Table[
   f[i/42 + 1/6 - 1] - f[i/42] - f[i/42 + 13/42 - 1] + 
     f[i/42 + 1/7 - 1] == 0, {i, 42 - 6, 41, 1}];
(*在[0,1]上要接的方程*)
And @@ Join[d1, d2, d3, d4]

上面要解的方程刚好$42$个, 对应于把区间分成$42$份, 每份赋值为$a[i]$这$42$个未知数. 但由于递推式中各项系数之和是$0$, 所以尽管有$42$个未知数对应$42$个(齐次)方程, 但方程很大可能是没有唯一解的.

1	Solve[And @@ Join[d1, d2, d3, d4], Table[a[i], {i, 0, 41, 1}]]

上面的代码给出, $42$个方程的解有$12$个自由变量. 验证方程的系数矩阵的秩给出的结果也是$30$, 如下:

1
2
3

{b,A} = CoefficientArrays[Join[d1, d2, d3, d4], 
   Table[a[i], {i, 0, 41, 1}]];
MatrixRank[A]

所以尝试对$a[i]$的前$12$变量随机赋值为$i$, 解出所有变量$a[i]$:

1
2
3

sol = Solve[
  And @@ Join[d1, d2, d3, d4, Table[a[i] == i, {i, 0, 11, 1}]], 
  Table[a[i], {i, 0, 41, 1}]]

最后按照前面的定义, 将函数$f(x)$重定义并绘图如下

Clear[f];
f[x_] := a[Floor[42 FractionalPart[x]]] /. sol[[1]];
Plot[f[x], {x, 0, 1}, PlotPoints -> 5000, 
 Exclusions -> 1/Sin[42 \[Pi] x] == 0, 
 ExclusionsStyle -> Directive[{Red, Dotted}], ImageSize -> Full]