北京大学考研数学分析问题合集

随缘更新解答, 长期更新的博文.

北京大学

2021 年

哦, 北京大学从2021年之后不再招研究生了. 好耶(x)

2020 年

一. (15分) 设$f(x)$在$[a,b]$上上半连续, 即$\forall x_{0}\in[a,b]$皆有上极限$\limsup\limits_{x\to x_{0}}f(x)\le f(x_{0})$. (端点处只考虑单侧极限). 问: $f(x)$在$[a,b]$上必有最大值? 给出证明或举出反例.

提示

上半连续函数在有界闭区间上必有最大值.
由$\limsup\limits_{x\to x_{0}}f(x)\le f(x_{0})$知, 对于任意的$\varepsilon>0$, 存在$\delta>0$使得对于任意的$x\in[a,b]$, 当$\left|x-x_{0}\right|<\delta$时, 有

$$f(x)<f(x_{0})+\varepsilon.$$

所以$f(x)$在$x_{0}$附近有上界, 也即在$x_{0}$的局部开邻域$U(x_{0},\delta)$内$f$有上界, 由于$x_{0}$的任意性, $\left\{ U(x_{0},\delta):x_{0}\in[a,b]\right\} $是有界闭集$[a,b]$的开覆盖. 再由有限覆盖定理, 存在有限多个$x_{0}$使得$f$在有限多个开邻域内有上界, 从而$f$在$[a,b]$上有上界. 于是$\sup_{x\in[a,b]}f(x)$存在有限, 记其值为$M$. 并设点列$\left\{ x_{n}\right\} \subseteq[a,b]$满足$\lim_{n\to\infty}f(x_{n})=M$, (比如根据上确界的定义, 取满足$ M-\frac{1}{n} < f(x)\le M $ 的点作为 $x_{n}$). 由于$[a,b]$为紧集, 所以不妨设这样的$\left\{ x_{n}\right\} $是收敛序列, 并设$x_{n}\to x^{*}$, 由于

$$M=\lim_{n\to\infty}f(x_{n})=\limsup_{n\to\infty}f(x_{n})\le\limsup_{x\to x^{*}}f(x)\le f(x^{*})\le M,$$

所以$f(x^{*})=M$.

二. (15分) $f(x)=\frac{x}{1+x\cos^{2}x}$在$[0,+\infty)$上是否一致连续? 证明你的结论.

提示

任取固定的正整数$m$, 令

$$x_{n}=\left(n+\frac{1}{2}\right)\pi,\quad y_{n}=\left(n+\frac{1}{2}\right)\pi+\frac{1}{m},$$

则

$$\begin{align*} \left|f(x_{n})-f(y_{n})\right| & =\left|n\pi+\frac{\pi}{2}-\frac{n\pi+\frac{\pi}{2}+\frac{1}{m}}{1+\left(n\pi+\frac{\pi}{2}+\frac{1}{m}\right)\cdot\sin^{2}\left(\frac{1}{m}\right)}\right|\\ & =\frac{\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}\pi^{2}\sin^{2}\frac{1}{m}+\left(n+\frac{1}{2}\right)\frac{\pi}{m}\sin^{2}\frac{1}{m}-\frac{1}{m}}{1+\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)\pi+\frac{1}{m}\right)\cdot\sin^{2}\left(\frac{1}{m}\right)}. \end{align*}$$

由于对于任意的$x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$, $\left|\sin x\right|\ge\frac{2}{\pi}x$, 则

$$\begin{align*} \left|f(x_{n})-f(y_{n})\right| & \ge\frac{\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}\pi^{2}\left(\frac{2}{\pi}\frac{1}{m}\right)^{2}+\left(n+\frac{1}{2}\right)\pi\frac{1}{m}\left(\frac{2}{\pi}\frac{1}{m}\right)^{2}}{1+\left(n+\frac{1}{2}\right)\pi+\frac{1}{m}}\\ & \ge\frac{4\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}\frac{1}{m^{2}}+\left(n+\frac{1}{2}\right)\frac{4}{\pi}\frac{1}{m^{3}}}{2n\pi+\frac{1}{m}}. \end{align*}$$

再取$m=\sqrt{n}$, 则有

$$\left|f(x_{n})-f(y_{n})\right|\ge\frac{4\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}\frac{1}{n}+\frac{4}{\pi}\left(n+\frac{1}{2}\right)\frac{1}{n\sqrt{n}}}{2n\pi+\frac{1}{\sqrt{n}}}\to\frac{2}{\pi},\quad n\to\infty.$$

所以尽管$\left|x_{n}-y_{n}\right|\to0$, 但当$n$充分大时, $\left|f(x_{n})-f(y_{n})\right|$有正下界. 所以$f(x)$在$[0,+\infty)$上不一致连续.

三. (15分) 设$f(x)$在$[1,+\infty)$上连续, $f(x)\ge0$及

$$f(x+y)\le f(x)+f(y),\quad\forall x,y\in[0,+\infty),$$

问$\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}$是否存在? 证明你的结论或举出反例.

提示

对于任意固定的$x\in[1,+\infty)$, 容易证明

$$f(yx)\le\left[y\right]f(x)+f\left(\left\{ y\right\} x\right)$$

对于任意的$y\ge1$成立, 所以

$$\frac{f(yx)}{yx}\le\frac{\left[y\right]f(x)}{yx}+\frac{f\left(\left\{ y\right\} x\right)}{yx},$$

两边同时对$y$取上极限, 则有

$$\limsup_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\limsup_{y\to\infty}\frac{f(yx)}{yx}\le\limsup_{y\to\infty}\left(\frac{\left[y\right]f(x)}{yx}+\frac{f\left(\left\{ y\right\} x\right)}{yx}\right)=\frac{f(x)}{x}.$$

于是对于任意事先固定的$x\in[1,+\infty)$, 恒有

$$\limsup_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}\le\frac{f(x)}{x}<\infty,$$

由于上式左边是一个与$x$无关的常数, 右边是$x$的函数, 对上式的$x$取下极限得到

$$\limsup_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}\le\liminf_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}.$$

由于$\limsup_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}$存在有界, 所以$\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}$存在.

四. (15分) 设$f(x)\in C[0,1]$, 单增且$f(x)>0$, $x\in[0,1]$, 定义$s=\frac{\int_{0}^{1}xf(x)\ud x}{\int_{0}^{1}f(x)\ud x}$.
(1) (7分) 证明: $s\ge\frac{1}{2}$;
(2) (8分) 指出$\int_{0}^{s}f(x)\ud x$与$\int_{s}^{1}f(x)\ud x$的大小关系并证明你的结论. (可应用物理或几何直观).

提示

(1).

• 方法 1
• 方法 2
• 方法 3

要证$s\ge\frac{1}{2}$, 只需证

$$I=\int_{0}^{1}\left(x-\frac{1}{2}\right)f(x)\ge0,$$

而

$$\begin{aligned}I & =\int_{0}^{\frac{1}{2}}\left(x-\frac{1}{2}\right)f(x)\mathrm{d}x+\int_{\frac{1}{2}}^{1}\left(x-\frac{1}{2}\right)f(x)\mathrm{d}x\\ & =\int_{0}^{\frac{1}{2}}\left(x-\frac{1}{2}\right)f(x)\mathrm{d}x-\int_{0}^{\frac{1}{2}}\left(x-\frac{1}{2}\right)f(1-x)\mathrm{d}x\\ & =\int_{0}^{\frac{1}{2}}\left(x-\frac{1}{2}\right)(f(x)-f(1-x))\mathrm{d}x. \end{aligned}$$

由于$f(x)$在$[0,1]$上单调递增, 故当$x\in\left[0,\frac{1}{2}\right]$时,

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(f(x)-f(1-x)\right)\ge0,$$

所以$I\ge0$.

由Chebyshev不等式有

$$\int_{0}^{1}xf(x)\mathrm{d}x\geq\int_{0}^{1}x\mathrm{d}x\cdot\int_{0}^{1}f(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}f(x)\mathrm{d}x,$$

所以$s\ge\frac{1}{2}$.

由于 $f(x)$ 单调增加, 所以对任意的 $x \in[a, b]$, 有

$$\left(x-\frac{a+b}{2}\right)\left(f(x)-f\left(\frac{a+b}{2}\right)\right) \geq 0,$$

即

$$x f(x)-\frac{a+b}{2} f(x) \geq\left(x-\frac{a+b}{2}\right) f\left(\frac{a+b}{2}\right),$$

两边对 $x$ 从 $a$ 到 $b$ 积分可得不等式.

(2).

• 方法 1
• 方法 2
• 方法 3

设$F(x)=\int_{0}^{x}f(t)\ud t$, $x\in[0,1]$, 则$F(x)$是下凸单调递增函数, 只需证明$F\left(s\right)\le\frac{1}{2}F(1)$.
由于

$$F(x)-F(s)=\int_{s}^{x}f(t)\ud t\ge f(s)(x-s),$$

两边同乘$f(x)$并在$[0,1]$上积分有

$$\int_{0}^{1}F(x)f(x)\ud x-\int_{0}^{1}F(s)f(x)\ud x\ge\int_{0}^{1}f(s)f(x)(x-s)\ud x=0,$$

即$\frac{1}{2}F(1)^{2}\ge F(s)F(1)$, 所以$2F(s)\le F(1)$.

设$g(x)=\int_{0}^{x}f(t)\ud t$, 在$[0,1]$上下凸递增, 所以只需证明$g(s)\le\frac{1}{2}g(1)$. 将$[0,1]$按照分点$\left\{ x_{i}\right\} _{i=1}^{n}$划分, 则由$g(x)$的凸性有

$$\begin{align*} g(s) & =g\left(\frac{\int_{0}^{1}xf(x)\ud x}{\int_{0}^{1}f(x)\ud x}\right)=g\left(\frac{\sum_{i=1}^{n}\int_{x_{i-1}}^{x_{i}}tf(t)\ud t}{\sum_{i=1}^{n}\int_{x_{i-1}}^{x_{i}}f(t)\ud t}\right)\\ & \le g\left(\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}\int_{x_{i-1}}^{x_{i}}f(t)\ud t}{\sum_{i=1}^{n}\int_{x_{i-1}}^{x_{i}}f(t)\ud t}\right)=g\left(\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}x_{i}\right)\\ & \le\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}g(x_{i})=\sum_{i=1}^{n}\frac{g(x_{i})}{g(1)}\int_{x_{i-1}}^{x_{i}}f(t)\ud t, \end{align*}$$

其中

$$\lambda_{i}=\frac{\int_{x_{i-1}}^{x_{i}}f(t)\ud t}{\sum_{i=1}^{n}\int_{x_{i-1}}^{x_{i}}f(t)\ud t}=\frac{\int_{x_{i-1}}^{x_{i}}f(t)\ud t}{g(1)}.$$

由于$f$连续, 所以$g$也连续, 故$fg$是Riemann可积函数, 所以当$n\to\infty$时,

$$\sum_{i=1}^{n}\frac{f(x_{i})g(x_{i})\left(x_{i}-x_{i-1}\right)}{g(1)}\to\frac{1}{g(1)}\int_{0}^{1}f(x)g(x)\ud x=\frac{g(1)}{2}.$$

考虑物理意义: 即考虑一根在区间$[0,1]$上密度为$f(x)$的棒, 则$s$是其重心所在位置, 重心的左右两侧保持杠杆平衡,也就是满足重力与重力臂的乘积相等, 即$F_{1}l_{1}=F_{2}l_{2}$, $s$的左边更长, 其力臂更长, 对应的重力小一些, 也就是质量轻一点, 因此

$$\int_{0}^{s}f(x)\ud x\le\int_{s}^{1}f(x)\ud x.$$

五. (15分) 已知$\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin x}{x}\ud x=\frac{\pi}{2}$, 计算

$$I=\int_{0}^{+\infty}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{2}\ud x,$$

并说明计算依据.

提示

直接分部积分

$$\begin{align*} I & =\int_0^{+\infty}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 \mathrm{d} x=-\int_0^{+\infty} \sin ^2 x \mathrm{d}\left(\frac{1}{x}\right) \\ & =-\left(\left.\frac{1}{x} \sin ^2 x\right|_0 ^{+\infty}-\int_0^{+\infty} \frac{2 \sin x \cos x}{x} \mathrm{d} x\right) \\ & =\int_0^{+\infty} \frac{\sin 2 x}{x} \mathrm{d} x=\int_0^{+\infty} \frac{\sin 2 x}{2 x} \mathrm{d}(2 x) \\ & =\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2}. \end{align*}$$

六. (15分) 设曲面$S$由$C^{2}$函数$z=f(x,y)$, $(x,y)\in D$给出, 此处$D$为$XOY$平面上的单连通区域, 其边界为$C^{1}$简单闭曲线$C:x=x(t)$, $y=y(t)$, $t\in[\alpha,\beta]$, 在承认平面Green公式的前提下, 请给出如下特殊情形Stokes公式的证明:

$$\int_{\overrightarrow{L}}R(x,y,z)\ud z=\int_{\overrightarrow{S}}\frac{\partial R}{\partial y}\ud y\ud z-\frac{\partial R}{\partial x}\ud z\ud x.$$

七. (15分) 设$f(x,y)$在$\RR$上有连续二阶偏导数, 满足$f(0,0)=0$及$f_{xx}+f_{yy}=x^{2}+y^{2}$, 用$C_{r}$表示中心在原点, 半径为$r$的圆周, 请求出$f(x,y)$在$C_{r}$上的平均值

$$A(r)=\frac{1}{2\pi r}\int_{C_{r}}f(x,y)\ud s,$$

其中积分为第一型曲线积分.

八. (1) (10分) 设$p\in(0,1)$, 求$f(x)=\cos px$, $x\in[-\pi,\pi]$, 以$2\pi$为周期的Fourier级数,
并给出其函数.
(2) (15分) 证明余元公式$B\left(p,1-p\right)=\frac{\pi}{\sin\pi p}$, 此处$B\left(\cdot,\cdot\right)$为Beta函数.

九. (20分) 对整数$1<p<q$, 定义$T_{p,q}(x)$为下面三角多项式:

$$T_{p,q}(x)=\frac{\cos(q-p)x}{p}+\frac{\cos(q-p+1)x}{p-1}+\cdots+\frac{\cos(q-1)x}{1}-\frac{\cos(q+2)x}{2}-\cdots-\frac{\cos(q+p)x}{p}$$

对于$ k\ge1 $, 取整数$ 1 < p_{k} < q_{k} $ 及实数 $ a_{k} > 0 $满足

$$q_{k}+p_{k}<q_{k+1}-p_{k+1},\ \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}<+\infty,\ \liminf_{n\to\infty}a_{k}\ln p_{k}>0.$$

(满足上述要求的数是存在的, 如$p_{k}=2^{k^{3}}$, $q_{k}=2^{k^{3}+1}$, $a_{k}=\frac{1}{k^{2}}$).
(1) 证明: $f(x)=\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}T_{p_{k},q_{k}}(x)$为$2\pi$周期的周期函数;
(2) $f(x)$的Fourier级数在$x=0$点是否收敛? 说明理由.

2019 年¹⁰

1. (10 分) 讨论数列 $a_{n}=\sqrt[n]{1+\sqrt[n]{2+\cdots+\sqrt[n]{n}}}$ 的敛散性.

2. (10 分) $f(x)\in C[a,b]$ 且 $f(a)=f(b)$. 证明存在 $x_{n},y_{n}\in[a,b]$, 使得 $\lim_{n\rightarrow+\infty}\left(x_{n}-y_{n}\right)=0$ 且 $f\left(x_{n}\right)=f\left(y_{n}\right)$,
$\forall n\in\mathbb{N}^{*}$.

3. (10 分) 证明恒等式 $\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}C_{n}^{k}\frac{1}{k+m+1}=\sum_{k=0}^{m}(-1)^{k}C_{m}^{k}\frac{1}{k+n+1}$.

4. (10 分) 已知无穷乘积 $\prod_{n=1}^{+\infty}\left(1+a_{n}\right)$ 收敛, 是否有 $\sum_{n=1}^{+\infty}a_{n}$ 收敛? 证明或者举出反例.

5. (10 分) 设 $f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}x^{n}\ln x$, 求 $\int_{0}^{1}f(x)\mathrm{d}x$.

6. (20 分) $f(x)$ 为 $(0,+\infty)$ 上二次可微函数, 若 $\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)$ 存在, $f^{\prime\prime}(x)$ 有界. 证明 $\lim_{x\rightarrow+\infty}f^{\prime}(x)=0$.

7. (20 分) 数列 $\left\{ x_{n}\right\} $ 有界, 且 $\lim_{n\rightarrow+\infty}\left(x_{n+1}-x_{n}\right)=0$, $\liminf_{n\rightarrow+\infty}x_{n}=l$, $\limsup_{n\rightarrow+\infty}x_{n}=L$, $-\infty<l<L<+\infty$. 证明 $\forall c\in[l,L]$, 都有 $\left\{ x_{n}\right\} $ 的子列收敛于 $c$.

8. (20 分) $p>0$, 讨论级数

$$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\sin\frac{n\pi}{4}}{n^{p}+\sin\frac{n\pi}{4}}$$

的绝对敛散性和条件敛散性.

9. (20 分) 求 $f(x)=\frac{2x\sin\theta}{1-2x\cos\theta+x^{2}}$ 在 $x=0$ 处的 Taylor 展开式, 并求 $\int_{0}^{\pi}\ln\left(1-2x\cos\theta+x^{2}\right)\ud\theta$.

10. (20 分) 证明 $\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin x}{x}\ud x=\frac{\pi}{2}$, 求 $\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin^{2}(yx)}{x^{2}}\ud x$.

2018 年⁹

1. (每小题 10 分, 共 30 分) 证明如下极限:
(1) $\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\int_{0}^{1}\frac{\sin^{n}x}{x^{n}}\ud x\right)^{n}=+\infty$;
(2) $\lim_{n\to\infty}\left(\int_{0}^{1}\frac{\sin(x^{n})}{x^{n}}\ud x\right)^{n}=\prod_{k=1}^{+\infty}\ue^{\frac{(-1)^{k}}{2k(2k+1)}}$;
(3) $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\ln\left(1+\frac{k^{2}-k}{n^{2}}\right)=\ln2-2+\frac{\pi}{2}$.

2. (10 分) $f\in C(0,1)$, $\frac{f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}}=\alpha<\beta=\frac{f\left(x_{4}\right)-f\left(x_{3}\right)}{x_{4}-x_{3}}$, 这里 $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\in(0,1)$. 证明: 对任意 $\lambda\in(\alpha,\beta)$, 存在 $x_{5},x_{6}\in(0,1)$, 使得 $\lambda=\frac{f\left(x_{6}\right)-f\left(x_{5}\right)}{x_{6}-x_{5}}$.

3. (10 分) 设 $\gamma$ 是联结 $\mathbb{R}^{3}$ 中两点 $A,B$ 且长度为 $L$ 的光滑曲线, $U$ 是 $\mathbb{R}^{3}$ 中包含 $\gamma$ 的开集, $f$ 在 $U$ 上连续可微, 梯度 $\nabla f$ 的长度在 $\gamma$ 上的上界为 $M$. 证明:

$$|f(A)-f(B)|\leqslant ML.$$

4. (20 分) $f$ 在 $(0,0)$ 点局部三阶连续可微, $D_{R}$ 表示圆盘: $x^{2}+y^{2}\leqslant R^{2}$. 计算:

$$\lim_{R\rightarrow0^{+}}\frac{1}{R^{4}}\iint_{D_{R}}(f(x,y)-f(0,0))\ud x\ud y.$$

5. (20 分) $\varphi(x)$ 在 0 处可导, $\varphi(0)=0$, $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 点局部 2 阶连续可微, $\nabla f(x,\varphi(x))=0$, $\left(\partial_{ij}f(0,0)\right)_{2\times2}$ 为半正定非 $0$ 阵. 证明 $f$ 在 $(0,0)$ 点取得极小值.

6. (20 分) 证明: $\ue^{-x}+\cos(2x)+x\sin x=0$ 在区间 $((2n-1)\pi,(2n+1)\pi)$ 恰有两个根 $x_{2n-1}<x_{2n}$, $\forall n=1,2,3,\cdots$. 证明如下极限存在并求之: $\lim_{n\rightarrow\infty}(-1)^{n}n\left(x_{n}-n\pi\right)$.

7. (20 分) 证明: $\lim_{x\rightarrow0}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n}=+\infty$.

8. (20 分) $\forall x\in[1,+\infty)$, $f(x)>0$, $f’’(x)\leqslant0$, 且 $\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty$. 证明如下极限存在并求之:

$$\lim_{s\rightarrow0^{+}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{f^{s}(n)}.$$

2017 年⁸

1. (10 分) 证明:

$$\lim_{n\rightarrow+\infty}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^{n}x}{\sqrt{\pi-2x}}\ud x.$$

2. (10 分) 证明: $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1+nx^{2}}\sin\frac{x}{n^{\alpha}}$ 在任何有限区间上一致收敛的充要条件是: $\alpha>\frac{1}{2}$.

3. (10 分) 设 $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ 收敛. 证明

$$\lim_{s\rightarrow0^{+}}\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}n^{-s}=\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}.$$

4. (10 分) 设 $\gamma(t)=(x(t),y(t))$, ($t$ 属于某个区间 $I)$ 是 $\mathbb{R}^{1}$ 上 $C^{1}$ 向量场 $(P(x,y),Q(x,y))$ 的积分曲线, 若 $x^{\prime}(t)=P(\gamma(t))$, $y^{\prime}(t)=Q(\gamma(t))$, $\forall t\in I$. 设 $P_{x}+Q_{y}$ 在 $\mathbb{R}^{1}$ 上处处非零, 证明向量场 $(P,Q)$ 的积分曲线不可能封闭 (单点情形除外).

5. (20 分) 假设 $x_{0}=1$, $x_{n}=x_{n-1}+\cos x_{n-1}$, ($n=1,2,\cdots$). 证明:当 $n\rightarrow\infty$ 时, $x_{n}-\frac{\pi}{2}=o\left(\frac{1}{n^{n}}\right)$.

6. (20 分) 假如 $f\in C[0,1]$, $\lim_{x\rightarrow0^{+}}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\alpha<\beta=\lim_{x\rightarrow1^{-}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$. 证明: $\forall\lambda\in(\alpha,\beta)$, $\exists x_{1},x_{2}\in[0,1]$ 使得 $\lambda=\frac{f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}}$.

7. (20 分) 设 $f$ 是 $(0,+\infty)$ 上的凹 (或凸) 函数且 $\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)$ 存在有限, 证明 $\lim_{x\rightarrow+\infty}xf^{\prime}(x)=0$ (仅在 $f$ 可导的点考虑极限过程).

8. (20 分) 设 $\phi\in C^{3}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$, $\phi$ 及其各个偏导数 $\partial_{i}\phi$, ($i=1,2,3$), 在点 $X_{0}\in\mathbb{R}^{3}$ 处取值都是 $0$. $X_{0}$ 点的 $\delta$ 邻域记为 $U_{\delta}$, ($\delta>0$). 如果 $\left(\partial_{ij}^{2}\phi\left(X_{0}\right)\right)_{3\times3}$ 是严格正定的, 则当 $\delta$ 充分小时, 证明如下极限存在并求之:

$$\lim_{t\rightarrow+\infty}t^{\frac{3}{2}}\iiint_{U_{\delta}}\ue^{-t\phi\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)}\ud x_{1}\ud x_{2}\ud x_{3}.$$

9. (30 分) 将 $(0,\pi)$ 上常值函数 $f(x)=1$ 进行周期 $2\pi$ 奇延拓并展为正弦级数:

$$f(x)\sim\frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n-1}\sin(2n-1)x.$$

记该 Fourier 级数的前 $n$ 项和为 $S_{n}(x)$, 则 $\forall x\in(0,\pi)$, $S_{n}(x)=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{x}\frac{\sin2nt}{\sin t}\ud t$, 且 $\lim_{n\rightarrow\infty}S_{n}(x)=1$. 证明 $S_{n}(x)$ 的最大值点是 $\frac{\pi}{2n}$ 且 $\lim_{n\rightarrow\infty}S_{n}\left(\frac{\pi}{2n}\right)=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{\sin t}{t}\ud t$.

2016 年⁷

1. (15 分) 用开覆盖定理证明有界闭区间上的连续函数必一致连续.

2. (15 分) $f(x)$ 是 $[a,b]$ 上的实函数. 叙述关于 Riemann 和 $\sum_{i=1}^{n}f\left(t_{i}\right)\left(x_{i}-x_{i-1}\right)$ 的 Cauchy 准则 (不用证明) 并用你叙述的 Cauchy 准则证明闭区间上的单调函数可积.

3. (15 分) $(a,b)$ 上的连续函数 $f(x)$ 有反函数. 证明反函数连续.

4. (15 分) $f\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)$ 是 $C^{2}$ 映射, $\frac{\partial f}{\partial x_{1}}\left(x_{1}^{0},x_{2}^{0},x_{3}^{0}\right)\neq0$. 证明 $f\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=0$ 在 $\left(x_{1}^{0},x_{2}^{0},x_{3}^{0}\right)$ 附近确定了一个隐函数 $x_{1}=x_{1}\left(x_{2},x_{3}\right)$. 证明 $x_{1}=x_{1}\left(x_{2},x_{3}\right)$ 二次可微并求出 $\frac{\partial^{2}x_{1}}{\partial x_{2}\partial x_{3}}$ 的表达式.

5. (15 分) $n\geqslant m$, $f:U\subseteq\RR^{n}\rightarrow\RR^{m}$ 是 $C^{1}$ 映射, $U$ 为开集且 $f$ 的 Jacobi 矩阵的秩处处为 $m$. 证明 $f$ 将 $U$ 中的开集映为开集.

6. (15 分) $x_{1}=\sqrt{2}$, $x_{n+1}=\sqrt{2+x_{n}}$. 证明 $\left\{ x_{n}\right\}$ 收敛并求极限值.

7. (15 分) 证明 $\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin x}{x}\ud x$ 收敛并求值. 写出计算过程.

8. (15 分)
(1) 证明存在 $[a,b]$ 上的多项式序列 $\left\{p_{n}(x)\right\}$ 使得 $\int_{a}^{b}p_{i}(x)p_{j}(x)\ud x=\delta_{ij}$ 并使得对于 $[a,b]$ 上的连续函数 $f(x)$, 若 $\int_{a}^{b}f(x)p_{n}(x)\mathrm{d}x=0$, $\forall n\in\mathbb{N}$, 则必有 $f\equiv0$.
(2) 设 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 平方可积, $g(x)$ 关于 (1) 中 $\left\{ p_{n}(x)\right\}$ 的展式为 $g(x)\sim\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\int_{a}^{b}g(x)p_{n}(x)\mathrm{d}x\right)p_{n}(x)$. 问

$$\int_{a}^{b}g^{2}(x)\mathrm{d}x=\sum_{n=1}^{+\infty}\left[\int_{a}^{b}g(x)p_{n}(x)\mathrm{d}x\right]^{2}$$

是否成立.

9. (15 分) 正项级数 $\sum_{n=1}^{+\infty}a_{n}$ 收敛, $\lim_{n\rightarrow+\infty}b_{n}=0$, 令 $c_{n}=a_{1}b_{n}+a_{2}b_{n-1}+\cdots+a_{n}b_{1}$. 证明 $\left\{ c_{n}\right\}$ 收敛并求 $\lim_{n\rightarrow+\infty}c_{n}$.

10. (15 分) 幂级数 $\sum_{n=1}^{+\infty}a_{n}x^{n}$ 的收敛半径为 $R$, $0<R<+\infty$. 证明 $\sum_{n=1}^{+\infty}a_{n}R^{n}$ 收敛的充分必要条件为 $\sum_{n=1}^{+\infty}a_{n}x^{n}$ 在 $[0,R)$ 上一致收敛.

2015 年⁶

1. 计算 $\lim_{x\rightarrow0^{+}}\frac{\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}\ud t-x}{\sin x-x}$.

2. 讨论广义积分 $\int_{1}^{+\infty}\left[\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)-\sin\frac{1}{x}\right]\mathrm{d}x$ 的敛散性.

3. 函数 $f(x,y)=\begin{cases}
\left(1-\cos\frac{x^{2}}{y}\right)\sqrt{x^{2}+y^{2}}, & y\neq0;\\
0, & y=0.
\end{cases}$, $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 可微吗? 证明你的结论.

4. 计算 $\int_{L}\ue^{2}[(1-\cos y)\ud x-(y-\sin y)\ud y]$, 这里 $L$ 是曲线 $y=\sin x$ 从 $(0,0)$ 到 $(\pi,0)$.

5. 证明函数级数 $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\cos nx}{n^{2}+1}$ 在 $(0,2\pi)$ 一致收敛, 并且在 $(0,2\pi)$ 有连续导数.

6. $x_{0}=1$, $x_{n+1}=\frac{3+2x_{n}}{3+x_{n}}$, $n\geq0$. 证明序列 $\left\{ x_{n}\right\} $ 收敛并求其极限.

7. 函数 $f\in C^{2}\left(\mathbb{R}^{2}\right)$, 且对于任意 $(x,y)\in\mathbb{R}^{2}$, $\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(x,y)+\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}(x,y)>0$. 证明: $f$ 没有极大值点.

8. $f$ 在 $[a,b]$ 连续, 在 $(a,b)$ 可导, 且 $f(b)>f(a)$, $c=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$. 证明: $f$ 必具备下述两条性质中的一个:
(1) 任意 $x\in[a,b]$, 有 $f(x)-f(a)=c(x-a)$;
(2) 存在 $\xi\in(a,b)$, 使得 $f^{\prime}(\xi)>c$.

9. $\mathbf{F}:\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}^{2}$ 是 $C^{1}$ 映射, $x_{0}\in\mathbb{R}^{3}$, $y_{0}\in\mathbb{R}^{2}$, $\mathbf{F}\left(x_{0}\right)=y_{0}$, 且 $\mathbf{F}$ 在 $x_{0}$ 处的 Jacobi 矩阵 $\mathbf{DF}\left(x_{0}\right)$ 的秩为 2. 证明: 存在 $\varepsilon>0$, 以及 $C^{1}$ 映射 $\gamma(t):(-\varepsilon,\varepsilon)\rightarrow\mathbb{R}^{3}$, 使得 $\gamma^{\prime}(0)$ 是非零向量, 且 $\mathbf{F}(\gamma(0))=y_{0}$.

10. 开集 $U\subseteq\mathbb{R}^{n}$, $f:U\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ 是同胚映射, 且 $f$ 在 $U$ 上一致连续. 证明: $U=\mathbb{R}^{n}$.

2014 年⁵

1. 叙述实数序列 $\left\{x_{n}\right\} $ 的 Cauchy 收敛原理, 并且使用 Bolzano-Weierstrass 定理证明.

2. 序列 $\left\{x_{n}\right\} $ 满足 $x_{1}=1$, $x_{n+1}=\sqrt{4+3x_{n}}$, $n=1,2,\ldots$ 证明此序列收敛并求极限.

3. 计算

$$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)\ud x\ud y\ud z$$

其中 $\Omega$ 是曲面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与 $z=1$ 围成的有界区域.

4. 证明函数项级数 $\sum_{n=1}^{+\infty}x^{3}\mathrm{e}^{-nx^{2}}$ 在 $[0,+\infty)$ 一致收敘.

5. 讨论级数 $\sum_{n=3}^{+\infty}\ln\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)$ 的敛散性.

6. 设函数 $f:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}$ 在 $\mathbb{R}^{n}\backslash\{\mathbf{0}\}$ 可微, 在 $\mathbf{0}$ 点连续, 且 $\lim_{\mathbf{p}\rightarrow\mathbf{0}}\frac{\partial f(\mathbf{p})}{\partial x_{i}}=0$, $i=1,2,\cdots,n$, 证明 $f$ 在 $\mathbf{0}$ 处可微.

7. 设 $f(x),g(x)$ 是 $[0,1]$ 上的连续函数, 且 $\sup_{x\in[0,1]}f(x)=\sup_{x\in[0,1]}g(x)$. 证明存在 $x_{0}\in[0,1]$, 使得 $\ue^{f\left(x_{0}\right)}+3f\left(x_{0}\right)=\ue^{g\left(x_{0}\right)}+3g\left(x_{0}\right)$.

8. 记 $\Omega=\left\{ \mathbf{p}\in\mathbb{R}^{3}:|\mathbf{p}|\leq1\right\} $, 设 $V:\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}^{3}$, $V=\left(V_{1},V_{2},V_{3}\right)$ 是 $C^{1}$ 向量场, $V$ 在 $\mathbb{R}^{3}\backslash\Omega$ 上恒为 $0$, $\frac{\partial V_{1}}{\partial x}+\frac{\partial V_{2}}{\partial y}+\frac{\partial V_{3}}{\partial z}$ 在 $\mathbb{R}^{3}$ 恒为 $0$.
(1) 设 $f:\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}$ 是 $C^{1}$ 函数, 求 $\iiint_{\Omega}\nabla f\cdot V\ud x\ud y\ud z$;
(2) 求 $\iiint_{\Omega}V_{1}\ud x\ud y\ud z$.

9. 设 $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ 是有界连续函数, 求

$$\lim_{t\rightarrow0^{+}}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\frac{t}{t^{2}+x^{2}}\ud x.$$

10. $f:[0,1]\rightarrow[0,1]$ 是 $C^{2}$ 函数, $f(0)=f(1)=0$, 且 $f^{\prime\prime}(x)<0$, $\forall x\in[0,1]$. 记曲线 $\{(x,f(x))\mid x\in[0,1]\}$ 的弧长是 $L$. 证明 $L<3$.

2013 年⁴

1. 用柯西收敛准则证明 $\mathbb{R}^{n}$ 上的有限覆盖定理.

2. $f(x)=\sin x+x^{2}+1$, 在 0 附近有反函数, 求 $\left(f^{-1}\right)^{(4)}(1)$.

3. 类比第二型曲线积分 $\int p(x,y)\mathrm{d}x+q(x,y)\mathrm{d}y$, 给出积分 $\int p(x,y)\mathrm{d}q(x,y)$ 的定义, 并给出合理的可积判别准则和计算方法, 证明你的结论.

4. $f(x)$ 是 $[-\pi,\pi]$ 上的单调函数, 定义 $F(x)=\int_{-\pi}^{x}f(t)\mathrm{d}t$, 证明任意 $x\in(-\pi,\pi)$, 极限

$$\lim_{\Delta\rightarrow0^{+}}\frac{F(x+\Delta x)-F(x-\Delta x)}{2\Delta x}$$

存在, 并等于 $f(x)$ 的傅里叶级数的和.

5. 证明拉格朗日中值定理, 并给出它的一个应用.

6. $f_{n}(x)$ 是 $[0,+\infty)$ 上一致有界的函数列, 并且在任意的闭区间上一致收敛于 $f(x)$. 对于任意固定的 $n$, $f_{n}(x)$ 是单调递增或者递减的函数. 又 $\int_{0}^{+\infty}g(x)\mathrm{d}x$ 收敛, 证明 $f(x)g(x)$ 与 $f_{n}(x)g(x)$ 都在 $[0,+\infty)$ 上可积, 并且有

$$\lim_{n\rightarrow+\infty}\int_{0}^{+\infty}f_{n}(x)g(x)\mathrm{d}x=\int_{0}^{+\infty}f(x)g(x)\mathrm{d}x.$$

7. $f(x,y)$ 定义在 $[a,b]\times[c,d]$ 上, 且对于任意固定的 $x\in[a,b]$, $f(x,y)$ 在 $[c,d]$ 上可积. 而且 $\forall\varepsilon>0$, $\exists\delta>0$, 当 $x_{1},x_{2}\in[a,b]$, $\left|x_{1}-x_{2}\right|<\delta$ 时, 有

$$\left|f\left(x_{1},y\right)-f\left(x_{2},y\right)\right|<\varepsilon,\quad\forall y\in[c,d].$$

证明 $p(x)=\int_{c}^{d}f(x,y)\mathrm{d}y$ 在 $[a,b]$ 上可积, $q(y)=\int_{a}^{b}f(x,y)\mathrm{d}x$ 在 $[c,d]$ 上可积, 且积分相等.

8. 正项级数 $\sum_{n=1}^{+\infty}a_{n}$ 收敛, $b_{n}\rightarrow0$, ($n\rightarrow+\infty$), 证明 $a_{1}b_{n}+a_{2}b_{n-1}+\cdots+a_{n}b_{1}\rightarrow0$, ($n\rightarrow+\infty$).

9. 用两种方法将积分 $\iint_{\Omega}xy\ud x\ud y$ 化成累次积分, 其中 $\Omega$ 是 $y=x^{2}$, $x+y=2$, $x$ 轴围成的区域.

2012 年³

1. 叙述函数在区间$[a,b]$上Riemann可积的定义, 问: 定义中的任意分割是否可以改为等距分割并说明理由.

2. 由$2x+y^{2}+\sin xy+1=\ue^{x}$确定$y$为$x$的函数$y=f(x)$, 求在$x=0$处$f(x)$带两阶Peano余项的Taylor展开式. (可能有误)

3. 设$f(x)=\frac{\ue^{x}}{1-\sin x}$, 求$f^{(4)}(0)$.

4. 求$\iiint_{V}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\ud x\ud y\ud z$, 其中$V=\left\{ (x,y,z):\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\le1\right\} $.

5. 由实数域的确界原理直接证明连续函数的介值定理, 再应用连续函数介值定理证明确界定理.

6. 设$D=\left\{ (x,y):x^{2}+y^{2}<1\right\} $, $u(x,y)$是定义在$D$上的二阶连续可微的二元函数并且在$\overline{D}$上连续, 在$D$的边界$\partial D$上有$u(x,y)\ge0$, 又$u(x,y)$在$D$上满足$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}=2u$, 求证在$D$上恒有$u(x,y)\ge0$.

7. $f(x)$在$(a,b)$上可导, 且$x_{0}\in(a,b)$是$f’(x)$的唯一间断点, 记

$$S=\left\{ t\in\RR\cup\{-\infty\}\cup\{+\infty\}:\text{ 存在数列 }\{x_{n}\}\subseteq(a,b)\text{ 满足 }x_{n}\to x_{0},\;f'(x_{n})\to t,\ (n\to\infty)\right\} .$$

问: $S$是什么样的集合? 若$f(x)$在$(a,b)\setminus\left\{ x_{0}\right\} $上$n$ ($n\ge2$) 阶可导, 证明$f^{(n)}(x)$在$(a,b)\setminus\left\{ x_{0}\right\} $上有无穷多个零点.

8. 设$f(x),g(x)\in C^{\infty}(-\infty,+\infty)$, 构造一个在$\RR$上无穷次可微的函数$h(x)$, 使得$h(x)$在$[-1,1]$上等于$f(x)$, 在$\RR\setminus\left\{ -2,2\right\} $上等于$g(x)$.

9. 叙述并证明$\frac{\infty}{\infty}$型的L’Hospital法则.

1. TODO.

2011 年

1. 用确界存在定理证明: 如果 $f(x)$ 是区间 $I$ 上的连续函数, 则 $f(I)$ 是一个区间.

2. 可微函数 $f$ 在 $(0,1)$ 上有界, $\lim_{x\rightarrow0^{+}}f(x)$ 不存在. 证明: 存在数列 $\left\{ x_{n}\right\} $ 满足 $\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=0$, 使得 $f^{\prime}\left(x_{n}\right)=0$.

3. 证明如果 $f(x)$ 在 $I$ 上连续, $|f(x)|$ 可导, 则 $f(x)$ 也可导.

4. 构造两个以 $2\pi$ 为周期的函数, 它们的 Fourier 级数在 $[0,\pi]$ 上一致收敛于 0.

5. 证明 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可积的充要条件是 $F(x,y)=f(x)$ 在 $[0,1]\times[0,1]$ 上可积.

6. $f(x,y)$ 在其定义域中的某个点上存在非零方向导数, 且在三个方向上的方向向量均相等. 证明 $f(x,y)$ 不可微.

7. 设 $D$ 为 $\mathbb{R}^{2}$ 中由一条光滑曲线所围成的无界闭区域, 试构造一个函数 $f(x,y)$, 使它在 $D$ 上的二重积分 $\iint_{D}f(x,y)\ud x\ud y$ 发散.

8. 设 $D\subset\mathbb{R}^{n}$, $D$ 是一个凸区域, $T(x)$ 在 $D$ 上有连续二阶偏导数, 其 Jacobi 行列式正定. 证明 $T(x)$ 是单射.

9. 设正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ 收敛. 证明极限 $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^{2}}{\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\ldots+\frac{1}{a_{n}}}$ 存在.

10. 设 $f_{n}(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, $f_{n}^{\prime}(x)$ 在 $[a,b]$ 上一致有界, 并且 $f_{n}(x)$ 逐点收敛于极限函数 $f(x)$. 证明 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续.

2010 年

1. (15分) 用有限覆盖定理证明聚点定理.

2. (15分) 是否存在数列$\left\{ x_{n}\right\} $, 其极限点构成的集合为$M=\left\{ 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots\right\} $, 说明理由.

3. (15分) 设$I$是无穷区间, $f(x)$为$I$上的非多项式连续函数. 证明: 不存在$I$上的一致收敛的多项式序列$\left\{ P_{n}(x)\right\} $, 其极限函数为$f(x)$.

4. (15分) $f(x)$在$[0,1]$上连续, 在$(0,1)$上可导, 且满足$f(1)=\frac{1}{2}\int_{0}^{1/2}\ue^{1-x^{2}}f(x)\ud x$. 求证: 存在$\xi\in(0,1)$使得$f’(\xi)=2\xi f(\xi)$.

5. (15分) $f(x)\in C^{1}(\RR)$, $I$是有界闭区间, $F_{n}(x)=n\left[f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f(x)\right]$, 证明函数序列$\left\{ F_{n}(x)\right\} $在$I$上一致收敛. 如果$I$是有界开区间, 问$\left\{ F_{n}(x)\right\} $在$I$上是否仍然一致收敛? 说明理由.

6. (15分) 构造$\RR$上的函数$f(x)$, 使其在$\QQ$上间断, 其它点连续.

7. (15分) 广义积分$\int_{0}^{+\infty}xf(x)\ud x$与$\int_{0}^{+\infty}\frac{f(x)}{x}\ud x$均收敛, 证明:

$$I(t)=\int_{0}^{+\infty}x^{t}f(x)\ud x$$

在$(-1,1)$上有定义, 并且有连续导函数.

8. (15分) 计算曲线积分

$$I=\oint_{\Gamma}y\ud x+z\ud y+x\ud z,$$

其中$\Gamma$为$x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$与$x+y+z=0$的交线, 从$x$轴正向看是逆时针.

9. (15分) 证明下面的方程在点$(0,0,0)$附近唯一确定了隐函数$z=f(x,y)$,

$$x+\frac{1}{2}y^{2}+\frac{1}{2}z+\sin z=0$$

并将$f(x,y)$在点$(0,0)$展开为带Peano型余项的Taylor公式, 展开到二阶.

10. (15分) $f(x),g(x)$是$[0,+\infty)$上的非负单调递减连续函数, 且$\int_{0}^{+\infty}f(x)\ud x$和$\int_{0}^{+\infty}g(x)\ud x$均发散, 设$h(x)=\min\left\{ f(x),g(x)\right\} $, 试问$\int_{0}^{+\infty}h(x)\ud x$是否一定发散? 说明理由.

2009 年

1. 证明闭区间上的连续函数能取到最大最小值.

2. 设$f(x)$, $g(x)$是$\RR$上的有界一致连续函数, 求证$f(x)g(x)$在$\RR$上一致连续.

3. 设$f(x)$是周期为$2\pi$的连续函数, 且其Fourier级数

$$\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx$$

处处收敛, 求证这个Fourier级数处处收敛到$f(x)$.

4. 设$\left\{ a_{n}\right\} _{n=1}^{\infty}$和$\left\{ b_{n}\right\} _{n=1}^{\infty}$都是有界数列, 且$a_{n+1}+2a_{n}=b_{n}$. 若$\lim_{n\to\infty}b_{n}$存在, 求证$\lim_{n\to\infty}a_{n}$也存在.

5. 是否存在$\RR\to\RR$的连续可导函数$f(x)$满足: $f(x)>0$且$f’(x)=f(f(x))$?

6. 已知$f(x)$是$[0,+\infty)$上的单调连续函数且$\lim_{x\to\infty}f(x)=0$. 求证

$$\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{\infty}f(x)\sin nx\ud x=0.$$

7. 求曲线积分

$$\iint_{L}(y-z)\ud x+(z-x)\ud y+(x-y)\ud z$$

这里$L$是球面$x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$与$(x-1)^{2}+(y-1)^{2}+(z-1)^{2}=4$交成的曲线.

8. 设$x,y,z\ge0$, $x+y+z=\pi$. 求$2\cos x+3\cos y+4\cos z$的最大最小值.

9. 设$f(x)\in C(a,b)$, 且对于任何$x\in(a,b)$都有

$$\liminf_{h\to0+}\frac{f(x+h)-f(x-h)}{h}\ge0.$$

求证$f(x)$在$(a,b)$上单调不减.

10. 已知$f(x)$是$[0,+\infty)$上的正的连续函数, 且$\int_{0}^{\infty}\frac{1}{f(x)}\ud x<+\infty$. 求证:

$$\lim_{A\to+\infty}\frac{1}{A^{2}}\int_{0}^{A}f(x)\ud x=+\infty.$$

2008 年

1. 证明有界闭区间上的连续函数一致连续.

2. 是否存在$\RR$上的连续函数$f(x)$, 满足$f(f(x))=\ue^{-x}$? 证明你的结论.

3. 数列$\left\{ x_{n}\right\} $, ($n\ge1$), 满足对于任意的$n\frac{1}{n}$, 求证$\left\{ x_{n}\right\} $无界.

4. $f(x)$是$(-1,1)$上的无穷次可导函数, $f(0)=1$, $\left|f’(0)\right|\le2$, 令$g(x)=\frac{f’(x)}{f(x)}$, $\left|g^{(n)}(0)\right|\le2n!$. 证明对所有正整数$n$, $\left|f^{(n)}(0)\right|\le(n+1)!$.

5. 求

$$\iint_{\Sigma}(y-z)\ud y\ud z+(z-x)\ud z\ud x+(x-y)\ud x\ud y,$$

其中$\Sigma$为球面$x^{2}+y^{2}+z^{2}=2Rx$被圆柱面$x^{2}+y^{2}=2rx$, ($0<r<R$), 所截得的部分, 定向取外侧.

6. 证明$F(x,y)=2-\sin x+y^{3}\ue^{-y}$在全平面有唯一解$y=y(x)$, 且$y(x)$连续, 可微.

7. $f(x)$在$[0,+\infty)$上内闭Riemann可积, 且$\int_{0}^{+\infty}f(x)\ud x$数列, 求证

$$\lim_{a\to0+}\int_{0}^{+\infty}\ue^{-ax}f(x)\ud x=\int_{0}^{+\infty}f(x)\ud x.$$

8. $f(x)$是$\RR$上的二阶连续可导函数, 满足:
1). $\lim_{\left|x\right|\to+\infty}\left(f(x)-\left|x\right|\right)=0$;
2). 存在$x_{0}\in\RR$, 满足$f(x_{0})\le0$. 求证: $f’’(x)$在$\RR$上变号.

9. $g(x)$是周期为$1$的连续函数, $\int_{0}^{1}g(x)\ud x=0$. $f(x)$在$[0,1]$上有连续一阶导函数, $f(0)=f(1)$.

$$a_{n}=\int_{0}^{1}f(x)g(nx)\ud x,$$

求证:

$$\lim_{n\to\infty}na_{n}=0.$$

10. $f(x)$在$[0,1]$上Riemann可积, 且对$[0,1]$上任何有限个两两不交的闭区间$[a_{i},b_{i}]$, $1\le i\le n$, 都有

$$\left|\sum_{i=1}^{n}\int_{a_{i}}^{b_{i}}f(x)\ud x\right|\le1.$$

求证:

$$\int_{0}^{1}\left|f(x)\right|\ud x\le2.$$

2007 年

这里转的内容的顺序可能会有些不同.

1. 用有限覆盖定理证明连续函数的介值性定理.

2. $f(x)$, $g(x)$在有界区间上一致连续, 证明$f(x)g(x)$在此区间上也一致连续.

3. 已知$f(x)$在$[a,b]$上有$4$阶导数, 且有$f^{(4)}(\beta)\ne0$, $f’’’(\beta)=0$, $\beta\in(a,b)$. 证明: 存在$x_{1},x_{2}\in(a,b)$, 使$f(x_{1})-f(x_{2})=f’(\beta)(x_{1}-x_{2})$成立.

4. 构造一函数在$\RR$上无穷次可微, 且$f^{(2n+1)}(0)=n$, $f^{(2n)}(0)=0$, 并说明满足条件的函数有任意多个.

5. 设$D=[0,1]\times[0,1]$, $f(x,y)$是$D$删连续函数, 证明

$$\iint_{D}f(x,y)\ud x\ud y=f(\xi,\eta),$$

这样的$\xi,\eta$有无穷多个.

6. 求

$$\iint_{S}\sin^{4}x\ud y\ud z+\ue^{-\left|y\right|}\ud z\ud x+z^{2}\ud x\ud y,$$

其中$S$是$x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$, $z>0$方向向上.

7. $f(x)$是$\RR^{2}$上连续函数, 试作一个无界区域$D$, 使$f(x)$在$D$上广义积分收敛.

8. $f(x)=\ln\left(1+\frac{\sin x}{x^{p}}\right)$, 讨论不同的$p$对$f(x)$在$(1,+\infty)$上积分的敛散性.

9. $F(x,y)=\sum ny\ue^{-n(x+y)}$, 是否存在$a$以及函数$h(x)$在$(1-a,1+a)$可导, 且$h(1)=0$, 使$F(x,h(x))=0$.

10. 设$f(x)$, $g(x)$在$[a,b]$上Riemann可积, 证明: $f(x)$, $g(x)$的Fourier展开式有相同的系数的充要条件是$\int_{a}^{b}\left|f(x)-g(x)\right|\ud x=0$.

2006 年

满分150分, 每小题15分, 考试时间3小时.

1. 确界存在原理是关于实数域完备性的一种描述, 试给出一个描述实数域完备性的其他定理, 并证明其与确界存在原理的等价性.

2. 设函数$f(x,y)=x^{3}+3xy-y^{2}-6x+2y+1$, 求$f(x,y)$在$(-2,2)$处二阶带Peano余项的Taylor展开. 问$f(x,y)$在$\RR^{2}$上有哪些关于极值的判别点, 这些点是否为极值点, 说明理由.

3. 设$F(x,y)=x^{2}y^{3}+\left|x\right|y+y-5$.
(1) 证明方程$F(x,y)=0$在$\RR$上确定唯一的隐函数$y=f(x)$;
(2) 求$f(x)$的极值点.

4. 计算第二型曲面积分$\iint_{\Sigma}x^{2}\ud y\ud z+y^{2}\ud z\ud x+z^{2}\ud x\ud y$, 其中曲面$\Sigma$是椭球面$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$的外侧.

5. 证明广义积分$\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin x}{x}\ud x$收敛, 并计算此积分.

6. 设$f(x,y)$定义在$D=(a,b)\times[c,d]$上, $x$固定时对$y$连续. 设$x_{0}\in(a,b)$取定, 对于任意的$y\in[c,d]$, 极限$\lim_{x\to x_{0}}f(x,y)=g(y)$收敛. 证明重极限

$$\lim_{x\to x_{0},\ y\to y_{0}}f(x,y)=g(y_{0})$$

对于任意的$y_{0}\in[c,d]$成立的充分必要条件是, 极限$\lim_{x\to x_{0}}f(x,y)=g(y)$在$[c,d]$上一致收敛.

7. 若函数$f(x)$在区间$[a,b]$上有界, 给出并证明$f(x)$在$[a,b]$上Riemann和的极限

$$\lim_{\lambda(\Delta)\to0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_{i})(x_{i}-x_{i-1})$$

收敛的Cauchy准则.

8. 设$\left\{ f_{n}(x)\right\} $是$\RR$上的一连续函数列, 满足存在常数$M$, 使得对于任意的$f_{n}(x)$和$x\in\RR$恒有$\left|f_{n}(x)\right|\le M$. 假定对于$\RR$中任意的区间$[a,b]$都有

$$\lim_{n\to\infty}\int_{a}^{b}f_{n}(x)\ud x=0.$$

证明: 对于任意的区间$[c,d]\subset\RR$以及$[c,d]$上绝对可积函数$h(x)$, 恒有

$$\lim_{n\to\infty}\int_{a}^{b}f_{n}(x)h(x)\ud x=0.$$

9. 设存在一区间$[a,b]$使得两个Fourier级数

$$\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx,\quad\frac{\alpha_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\alpha_{n}\cos nx+\beta_{n}\sin nx$$

都在$[a,b]$上收敛, 并且其和函数在$[a,b]$上连续且相等.

问对于任意的自然数$n$, $a_{n}=\alpha_{n}$, $b_{n}=\beta_{n}$是否成立? 如成立, 请证明; 如不成立, 加上什么条件后能保证成立, 说明理由.

10. 设$f(x)$在$[0,+\infty)$上内闭Riemann可积, 证明: 广义积分$\int_{0}^{+\infty}f(x)\ud x$绝对可积的充分必要条件是: 对于任意的满足$x_{0}=0$, $x_{n}\to+\infty$的单调递增序列$\left\{ x_{n}\right\} $, 级数$\sum_{n=0}^{\infty}\int_{x_{n}}^{x_{n+1}}f(x)\ud x$绝对收敛.

2006 年 - ?

试卷满分 150 分, 每小题 15 分, 考试时间: 3 小时

1. 证明: 确界存在原理与有界单调递增序列必有极限原理是等价的.

2. 设函数 $z=f(x,y)$ 由方程 $x^{2}-6xy+10y^{2}-2yz-z^{2}+18=0$ 所确定, 求 $z=f(x,y)$ 的极值点和极值, 并判断是极大值还是极小值. 说明理由.

3. 设 $x=y+\varphi(y)$, $\varphi$ 满足 $\varphi(0)=0$, $\varphi^{\prime}(y)$ 在 $(-a,a)$ 中连续, 且 $\left|\varphi^{\prime}(0)\right|\le k<1$, 证明: 存在 $\delta>0$, 使得当 $x\in(-\delta,\delta)$ 时有惟一连续, 可微的隐函数 $y=y(x)$ 满足方程 $x=y+\varphi(y)$ 且 $y(0)=0$.

4. 计算曲面积分 $I=\iint_{\Sigma}xyz\left(y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}+x^{2}y^{2}\right)\ud S$, 其中曲面 $\Sigma$ 为第一卦限椭球面 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$, ($x\ge0,y\ge0,z\ge0$).

5. 设 $f(x,y)$ 定义在 $D=(a,b)\times[c,d]$ 上, $x$ 固定时对 $y$ 连续. 设 $x_{0}\in(a,b)$ 取定, 对于任意 $y\in[c,d]$, 极限 $\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x,y)=g(y)$ 收敛. 证明重极限

$$\lim_{x\to x_{0}, y\to y_{0}}f(x,y)=g(y_{0})$$

对任意 $y_{0}\in[c,d]$ 成立的充分必要条件是, 极限 $\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x,y)=g(y)$ 在 $[c,d]$ 上一致收敛.

6. 证明广义积分 $ \int_{0}^{+\infty}\frac{\sin x}{x}\ud x $ 存在, 并计算此积分.

7. 若函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上有界, 满足 $\forall\varepsilon>0$, $\exists\delta>0$, 对 $[a,b]$ 的任意两个分割 $T_{1},T_{2}$, 只要其分割的小区间的最大长度 $\left\Vert T_{1}\right\Vert <\delta$, $\left\Vert T_{2}\right\Vert <\delta$, 就有相应的两种 Riemann 和之差满足 $\left|\sum_{T_{1}}f\left(\xi_{i}\right)\Delta x_{i}-\sum_{T_{2}}f\left(\eta_{j}\right)\Delta x_{j}\right|<\varepsilon$, 则称其满足 Cauchy 准则. 证明: Cauchy 准则与 Riemann 可积是等价的.

8. 设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上 Riemann 可积且满足 $\int_{0}^{1}f(x)dx=1$, 函数 $g(x)=\sum_{k=1}^{m}a_{k}[kx]$, 满足 $g(1)=0$, 记 $b_{n}=\int_{0}^{1}f(x)g(nx)\ud x$, 证明 $\lim_{n\rightarrow\infty}b_{n}$ 存在, 并求出此极限. (其中 $\left[x\right]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数)

9. 如果区间 $[-\pi,\pi]$ 上 Riemann 可积的函数 $f(x)$ 能在这个区间上展开成如下三角级数

$$f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx,$$

证明: 这个级数必为 $f(x)$ 的傅立叶级数.

10. 设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上内闭 Riemann 可积, 证明: 广义积分 $\int_{0}^{+\infty}f(x)dx$ 绝对可积的充分必要条件是: 对于任意满足 $x_{0}=0$, $x_{n}\rightarrow+\infty$ 的单调递增序列 $\left\{ x_{n}\right\} $, 级数 $\sum_{n=0}^{\infty}\int_{x_{n}}^{x_{n+1}}f(x)dx$ 绝对收敛.

2005 年

1. 设$f(x)=\frac{x^{2}\sin x-1}{x^{2}-\sin x}\cdot\sin x$, 试求$\limsup_{x\to+\infty}f(x)$和$\liminf_{x\to+\infty}f(x)$.

2. (1) 设$f(x)$在开区间$(a,b)$可微, 且$f’(x)$在$(a,b)$有界. 证明$f(x)$在$(a,b)$一致连续.
(2) 设$f(x)$在开区间$(a,b)$, ($-\infty<a<b<+\infty$), 可微且一致连续, 试问$f’(x)$在$(a,b)$是否一定有界.
(若肯定回到, 请证明; 若否定回答, 举例说明)

3. 设$f(x)=\sin^{2}\left(x^{2}+1\right)$.
(1) 求$f(x)$的麦克劳林展开式.
(2) 求$f^{(n)}(0)$. ($n=1,2,3,\cdots$)

4. 试做出定义在$\RR^{2}$中的一个函数$f(x,y)$, 使得它在原点处同时满足以下三个条件:
(1) $f(x,y)$的两个偏导数都存在; (2) 任何方向极限都存在; (3) 原点不连续.

5. 计算$\int_{L}x^{2}\ud s$. 其中$L$是球面$x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$与平面$x+y+z=0$的交线.

6. 设函数列$\left\{ f_{n}(x)\right\} $满足下列条件:
(1) 对于任意的$n$, $f_{n}(x)$在$[a,b]$连续且有$f_{n}(x)\le f_{n+1}(x)$, ($x\in[a,b]$);
(2) $\left\{ f_{n}(x)\right\} $点点收敛于$[a,b]$上的连续函数$s(x)$.
证明: $\left\{ f_{n}(x)\right\} $在$[a,b]$上一致收敛于$s(x)$.

2002 年

1. (10分) 求极限$\lim\limits_{x\to0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{1-\cos x}}$.

提示

用带Lagrange余项的Taylor公式

$$\begin{align*} \lim_{x\to0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{1-\cos x}} & =\lim_{x\to0}\ue^{\frac{1}{1-\cos x}\ln\frac{\sin x}{x}}\\ & =\lim_{x\to0}\ue^{\frac{1}{1-\left(1-\frac{x^{2}}{2!}+o(x^{2})\right)}\ln\frac{x-\frac{x^{3}}{3!}+o(x^{3})}{x}}\\ & =\exp\left(\lim_{x\to0}\frac{\ln\left(1-\frac{x^{2}}{6}+o(x^{2})\right)}{\frac{x^{2}}{2}+o(x^{2})}\right)\\ & =\exp\left(\lim_{x\to0}\frac{-\frac{x^{2}}{6}+o(x^{2})}{\frac{x^{2}}{2}+o(x^{2})}\right)=\ue^{-1/3}. \end{align*}$$

2. (10分) 设$a\ge 0$, $x_1=\sqrt{2+a}$, $x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}$, $n=1,2,\cdots$, 证明极限$\lim\limits_{n\to \infty}x_n$存在并求极限值.

提示

• 方法 1
• 方法 2

由于

$$\left|x_{n+1}-x_{n}\right|=\left|\frac{x_{n}-x_{n-1}}{\sqrt{2+x_{n}}+\sqrt{2+x_{n-1}}}\right|\le\left|\frac{x_{n}-x_{n-1}}{2\sqrt{2}}\right|\le\cdots\le\frac{1}{\left(2\sqrt{2}\right)^{n-1}}\left|x_{2}-x_{1}\right|,$$

从而数列收敛, 设$ \lim\limits_{n\to\infty}x_{n}=x^{\star} $, 对$x_{n+1}=\sqrt{2+x_{n}}$两边取极限得$ x^{\star}=\sqrt{2+x^{\star}} $, 解的$ x^{\star} = 2 $.

容易证明数列$\left\{ x_{n}\right\} $是单调有界的, 所以有极限, 对递推公式两边同时取极限算得极限为$2$.

3. (10分) 设$f(x)$在$[a,a+2\alpha]$上连续, 证明存在$x\in[a,a+\alpha]$, 使得$f(x+\alpha)-f(x)=\frac12(f(a+2\alpha)-f(a))$.

提示

构造函数$g(x)=f(x+\alpha)-f(x)-\frac{1}{2}f(a+2\alpha)+\frac{1}{2}f(a)$, 则有

$$\begin{align*} g(a) & =f(a+\alpha)-\frac{1}{2}f(a+2\alpha)-\frac{1}{2}f(a),\\ g(a+\alpha) & =\frac{1}{2}f(a+2\alpha)+\frac{1}{2}f(a)-f(a+\alpha), \end{align*}$$

所以$g(a)=-g(a+\alpha)$, 由函数$y=g(x)$的连续性和介值定理, 存在$x\in[a,a+\alpha]$, 使得$g(x)=0$, 即存在$x\in[a,a+\alpha]$, 使得

$$f(x+a)-f(x)=\frac{1}{2}\left[f(a+2\alpha)-f(a)\right].$$

4. (10分) 设

$$f(x)=x\sqrt{1-x^2}+\arcsin x.$$

求$f’(x)$.

提示

直接求导,

$$f^{\prime}(x)=2\sqrt{1-x^{2}},\ x\in\left(-1,1\right).$$

5. (10分) 设$u(x,y)$有二阶连续偏导数. 证明$u$满足偏微分方程

$$\frac{\partial^2u}{\partial x^2}-2\frac{\partial^2u}{\partial x\partial y}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0$$

当且仅当: 存在二阶连续可微函数$\varphi(t)$, $\psi(t)$, 使得

$$u(x,y)=x\varphi(x+y)+y\psi(x+y).$$

提示

• 解法 1
• 解法 2

充分性: 由 $u(x,y)=x\varphi(x+y)+y\psi(x+y)$ 可知,

$$\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial x}=\varphi(x+y)+x\varphi^{\prime}(x+y)+y\psi^{\prime}(x+y)=\varphi+x\varphi^{\prime}+y\psi^{\prime}\\ \frac{\partial u}{\partial y}=x\varphi^{\prime}(x+y)+\psi(x+y)+y\psi^{\prime}(x+y)=x\varphi^{\prime}+\psi+y\psi^{\prime} \end{cases}$$

和

$$\begin{cases} \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}=2\varphi^{\prime}+x\varphi^{\prime\prime}+y\psi^{\prime\prime}\\ \frac{\partial^{2}u}{\partial x\partial y}=\varphi^{\prime}+x\varphi^{\prime\prime}+\psi^{\prime}+y\psi^{\prime\prime}\\ \frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=x\varphi^{\prime\prime}+2\psi^{\prime}+y\psi^{\prime\prime} \end{cases}$$

所以

$$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}-2\frac{\partial^{2}u}{\partial x\partial y}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=2\varphi^{\prime}+x\varphi^{\prime\prime}+y\psi^{\prime\prime}-2\varphi^{\prime}-2x\varphi^{\prime\prime}-2\psi^{\prime}-2y\psi^{\prime\prime}+2x\varphi^{\prime\prime}+2\psi^{\prime}+y\psi^{\prime\prime}=0.$$

必要性: 设 $\left\{ \begin{array}{l}
w=x+y\\
v=x-y
\end{array}\right.$, 所以 $\left\{ \begin{array}{l}
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial w}+\frac{\partial u}{\partial v}\\
\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial w}-\frac{\partial u}{\partial v}
\end{array}\right.$, 从而

$$\begin{cases} \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}=\frac{\partial^{2}u}{\partial w^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial v^{2}}+2\frac{\partial^{2}u}{\partial w\partial v}\\ \frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=\frac{\partial u^{2}}{\partial w^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial v^{2}}-2\frac{\partial^{2}u}{\partial w\partial v}\\ \frac{\partial^{2}u}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^{2}u}{\partial w^{2}}-\frac{\partial^{2}u}{\partial w\partial v}+\frac{\partial^{2}u}{\partial w\partial v}-\frac{\partial^{2}u}{\partial v^{2}}=\frac{\partial^{2}u}{\partial w^{2}}-\frac{\partial^{2}u}{\partial v^{2}} \end{cases}$$

直接代入计算

$$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}-2\frac{\partial^{2}u}{\partial x\partial y}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=\frac{\partial^{2}u}{\partial w^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial v^{2}}+2\frac{\partial^{2}u}{\partial w\partial v}-2\left(\frac{\partial^{2}u}{\partial w^{2}}-\frac{\partial^{2}u}{\partial v^{2}}\right)+\frac{\partial u^{2}}{\partial w^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial v^{2}}-2\frac{\partial^{2}u}{\partial w\partial v}=4\frac{\partial^{2}u}{\partial v^{2}}=0.$$

所以 $\frac{\partial^{2}u}{\partial v^{2}}=0$, 从而 $\frac{\partial u}{\partial v}=f(w)$,
所以

$$u=vf(w)+G(w),$$

其中$f$和$G$都是任意的连续函数. 注意到$u$是二阶可导的, 这使得$vf(w)$和$g(w)$都是二阶可导函数, 所以$G(w)$可以写成$wg(w)+C$的形式. 因此

$$u(x,y)=(x-y)f(x+y)+(x+y)g(x+y)+C=x(f(x+y)+g(x+y))+y(g(x+y)-f(x+y))+C,$$

取

$$\begin{cases} f(x+y)+g(x+y)=\varphi(x+y)\\ g(x+y)-f(x+y)=\psi(x+y), \end{cases}$$

所以有

$$u(x,y)=x\varphi(x+y)+y\psi(x+y)+C.$$

必要性: 考虑对应的特征方程

$$\left(\frac{\ud y}{\ud x}\right)^{2}+2\frac{\ud y}{\ud x}+1=0,$$

则有$\left(\frac{\ud y}{\ud x}+1\right)^{2}=0$, 解出特征线为$x+y=C$.

令$\xi=x+y$, $\eta=x$, 则$u_{x}=u_{\xi}+u_{\eta}$, $u_{y}=u_{\xi}$,

$$u_{xx}=u_{\xi\xi}+2u_{\xi\eta}+u_{\eta\eta},\ u_{xy}=u_{\xi\xi}+u_{\eta\xi},\ u_{yy}=u_{\xi\xi},$$

代入原方程, 化简得到$u_{\eta\eta}=0$. 解的$u_{\eta}=f(\xi)$, $u=\eta f(\xi)+g(\xi)$, 所以

$$u(x,y)=xf(x+y)+g(x+y)=xf(x+y)+(x+y)\frac{g(x+y)}{x+y}=x\varphi(x+y)+y\phi(x+y).$$

充分性部分同前一种证法.

6. (10分) 计算三重积分

$$\iiint_{\Omega}x^2\sqrt{x^2+y^2}\ud x\ud y\ud z,$$

其中$\Omega$是曲面$z=\sqrt{x^2+y^2}$与$z=x^2+y^2$围成的有界区域.

提示

• 解法 1
• 解法 2

直接做柱坐标变换, 有

$$\begin{aligned}I & =\iiint_{\Omega}x^{2}\sqrt{x^{2}+y^{2}}\ud x\ud y\ud z\\ & =\frac{1}{2}\iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}\right)\sqrt{x^{2}+y^{2}}\ud x\ud y\ud z\\ & =\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}dz\int_{z}^{\sqrt{z}}\rho^{3}\cdot\rho\ud\rho=\frac{\pi}{42} \end{aligned}$$

也可以先计算内层积分. 计算两曲面的交线为$z=1$, $x^{2}+y^{2}=1$. 记

$$D=\left\{ (x,y):x^{2}+y^{2}\le1\right\} ,$$

则

$$\begin{align*}\iiint_{\Omega}x^{2}\sqrt{x^{2}+y^{2}}\ud x\ud y\ud z & =\iint_{D}\ud x\ud y\int_{x^{2}+y^{2}}^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}x^{2}\sqrt{x^{2}+y^{2}}\ud z\\ & =\iint_{D}x^{2}\sqrt{x^{2}+y^{2}}\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}-\left(x^{2}+y^{2}\right)\right)\ud x\ud y \end{align*}$$

根据对称性

$$\begin{align*}\iint_{D}x^{2}\sqrt{x^{2}+y^{2}}\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}-\left(x^{2}+y^{2}\right)\right)\ud x\ud y & =\frac{1}{2}\iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right)\sqrt{x^{2}+y^{2}}\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}-\left(x^{2}+y^{2}\right)\right)\ud x\ud y\\ & =\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\ud\theta\int_{0}^{1}r^{2}r\left(r-r^{2}\right)r\ud r\\ & =\frac{1}{2}2\pi\int_{0}^{1}\left(r^{5}-r^{6}\right)\ud r=\pi\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{7}\right)=\frac{\pi}{42}. \end{align*}$$

7. (10分) 计算第二型曲面积分

$$I=\iint_{\Sigma}x^2\ud y\ud z+y^2\ud z\ud x+z^2\ud x\ud y,$$

其中$\Sigma$是球面 $x^2+y^2+z^2 = az$ ($a > 0$) 的外侧.

提示

用高斯公式

$$I=\iiint_{V}\left(\frac{\partial x^{2}}{\partial x}+\frac{\partial y^{2}}{\partial y}+\frac{\partial z^{2}}{\partial z}\right)\ud x\ud y\ud z=\iiint_{V}(2x+2y+2z)\ud x\ud y\ud z$$

其中 $V=\left\{ (x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq az, a>0\right\} $, 根据对称性可知 $\iiint_{V}2xdxdydz=\iiint_{V}2ydxdydz=0$, 所以 $I=2\iiint_{V}zdxdydz$, 做球坐标代换, 有 $\rho\leq a\cos\varphi$, 则有

$$\begin{aligned}I & =2\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\varphi\int_{0}^{a\cos\varphi}\rho\cos\varphi\cdot\rho^{2}\sin\varphi d\rho=2\cdot2\pi\cdot\frac{1}{4}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos\varphi\cdot\sin\varphi\cdot\left(\left.\rho^{4}\right|_{0}^{a\cos\varphi}\right)d\varphi\\ & =a^{4}\pi\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{5}\varphi\cdot\sin\varphi d\varphi=a^{4}\pi\cdot\frac{1}{2}B\left(1,3\right)=a^{4}\pi\cdot\frac{\Gamma(1)\Gamma(3)}{2\Gamma(4)}=\frac{a^{4}\pi}{6}. \end{aligned}$$

也可以用$z$的对称性, 因为$\iiint_{V}z-\frac{a}{2}\ud x\ud y\ud z=0$, 所以

$$\begin{align*} \iiint_{V}(2x+2y+2z)\ud x\ud y\ud z & =2\iiint_{V}\left[\left(x+y+z-\frac{a}{2}\right)+\frac{a}{2}\right]\ud x\ud y\ud z\\ & =2\cdot\frac{a}{2}\iiint_{V}\ud x\ud y\ud z\\ & =a\cdot\frac{4}{3}\pi\left(\frac{a}{2}\right)^{3}=\frac{\pi a^{4}}{6}. \end{align*}$$

8. (10分) 判断级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\ln\cos\frac1n$的收敛性并给出证明.

提示

根据比较判别法可知:

$$\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\ln\cos\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^{2}}}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\ln\left(1-2\sin^{2}\frac{1}{2x}\right)}{-\frac{1}{x^{2}}}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{-2\sin^{2}\frac{1}{2x^{2}}}{-\frac{1}{x^{2}}}=\frac{1}{2},$$

所以, 当 $n\rightarrow+\infty$, $\ln\cos\frac{1}{n}\sim-\frac{1}{2n^{2}}$, 注意到 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}$ 收敛, 所以根据比较判别法, 级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\ln\cos\frac{1}{n}$收敛.

9. (10分) 证明: (1) 函数项级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}nx\ue^{-nx}$在区间$(0,\infty)$上不一致收敛;

(2) 函数项级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}nx\ue^{-nx}$在区间$(0,\infty)$上可逐项求导.

提示

(1). 设$u_{n}(x)=nx\ue^{-nx}$, 对于任意固定的$x>0$, 因为

$$\lim_{n\to\infty}\left|\frac{u_{n+1}(x)}{u_{n}(x)}\right|=\ue^{-x}<1,$$

所以$\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}(x)$在$(0,+\infty)$上收敛; 或者对于任意固定的$x>0$, 当$n$充分大时用

$$0\le u_{n}(x)\le nx\cdot\frac{1}{\frac{(nx)^{3}}{3!}}=\frac{6}{x^{2}}\cdot\frac{1}{n^{2}},$$

由$\sum\frac{1}{n^{2}}$的收敛性知$\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}(x)$在$(0,+\infty)$上收敛.

最后, 因为$\beta_{n}=\sup_{0<x<+\infty}\left|u_{n}(x)\right|\ge\left|u_{n}\left(\frac{1}{n}\right)\right|=\ue^{-1}$不趋向于零, 所以$\left\{ u_{n}(x)\right\} $不一致收敛于$0$, 从而$\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}(x)$在$(0,+\infty)$上也不一致收敛.

(2). 对于任何$x_{0}\in I=(0,+\infty)$, 存在$b>\delta>0$, 使得$0<\delta<x_{0}<b$. 于是$x\in[\delta,b]$时, 有

$$\left|u_{n}(x)\right|=nx\ue^{-nx}\le bn\ue^{-n\delta},$$

与

$$\left|u'_{n}(x)\right|=\left|n\ue^{-nx}-n^{2}x\ue^{-nx}\right|\le n\ue^{-n\delta}+bn^{2}\ue^{-n\delta}.$$

所以, $\sum u_{n}(x)$, $\sum u’_{n}(x)$在$[\delta,b]$上一致收敛, 于是$f(x)=\sum u_{n}(x)$在$[\delta,b]$上连续, 且有$f’(x)=\sum u_{n}’(x)$在$[\delta,b]$上连续, 所以$f(x)$在点$x_{0}\in I$处连续可微.

由于$x_{0}$的任意性, 函数$f$在$I$上连续可微, 且$f’(x)=\left[\sum u_{n}(x)\right]’=\sum u’_{n}(x)$.

10. (10分) 设$f(x)$连续, $g(x)=\int_0^xyf(x-y)\ud y$. 求$g’’(x)$.

提示

$g’’(x)=f(x)$.
注意, 本题是用$f(x)$的一重积分给出了$f(x)$的原函数的原函数, 可推广.

2001 年

1. (10分) 求极限

$$\lim_{n\to\infty}\frac{a^{2n}}{1+a^{2n}}.$$

提示

当$\left|a\right| < 1$时, 有$\lim\limits_{n\to\infty}a^{2n}=0$, 于是$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a^{2n}}{1+a^{2n}}=0$;
当$\left|a\right| = 1$时, 有$\lim\limits_{n\to\infty}a^{2n}=1$, 于是$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a^{2n}}{1+a^{2n}}=\frac{1}{2}$;
当$\left|a\right| > 1$时, 有$\lim\limits_{n\to\infty}a^{-2n}=0$, 于是$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a^{2n}}{1+a^{2n}}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{1+a^{-2n}}=1$.

2. (10分) 设 $f(x)$ 在点 $a$ 可导, $f(a) \ne 0$. 求极限

$$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{f\left(a+\frac{1}{n}\right)}{f(a)}\right)^{n}.$$

提示

$$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{f\left(a+\frac{1}{n}\right)}{f(a)}\right)^{n}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{f(a)}\cdot\frac{f\left(a+\frac{1}{n}\right)-f(a)}{\frac{1}{n}}\right)^{n}=\ue^{\frac{f'(a)}{f(a)}}.$$

3. (10分) 证明函数$f(x)=\sqrt{x}\ln x$在$[1,+\infty)$上一致连续.

提示

对$f(x)$求导,

$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\ln x+\frac{1}{\sqrt{x}},$$

显然$f’(x)$在$[1,+\infty)$上有界, 于是$f(x)$在$[1,+\infty)$上一致连续.

4. (10分) 设$D$是包含原点的平面凸区域, $f(x,y)$在$D$上可微,

$$x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}=0.$$

证明: $f(x,y)$在$D$上恒为常数.

提示

对于任意的$\left(x,y\right)\in D$, 设$g(t)=f(tx,ty)$, 由于$f$在$D$上可微, 且$D$是凸区域, 所以$g$的定义域是一个连通的区间. 所以有

$$g'(t)=x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{t}\left(tx\frac{\partial f}{\partial x}+ty\frac{\partial f}{\partial y}\right)=0,$$

所以$g(t)$在其定义域上为常数函数, 由中值定理,

$$f(x,y)=f(0,0)=g(1)-g(0)=g'(\xi)=0,$$

其中$\xi\in(0,1)$, 故有$f(x,y)$在$D$上恒为常数.

可微函数不一定Riemann可积, 所以应避免使用曲线积分证明.

5. (10分) 计算第一型曲面积分

$$\iint_{\Sigma}x\ud S,$$

其中$\Sigma$是锥面$z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$被柱面$x^{2}+y^{2}=ax$, ($a>0$)割下的部分.

提示

由于$z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$, $\Sigma$在$xoy$平面上的投影记为

$$D=\left\{ \left(x,y\right):x^{2}+y^{2}\le ax\right\} =\left\{ \left(x,y\right):\left(x-\frac{a}{2}\right)^{2}+y^{2}\le\left(\frac{a}{2}\right)^{2}\right\} ,$$

所以

$$\ud S=\sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^{2}}\ud x\ud y=\sqrt{2}\ud x\ud y;$$

再结合区域$D$的对称性, 有

$$\iint_{\Sigma}x\ud S=\iint_{D}\sqrt{2}x\ud x\ud y=\sqrt{2}\iint_{D}\left[\left(x-\frac{a}{2}\right)+\frac{a}{2}\right]\ud x\ud y=\frac{\sqrt{2}a}{2}\iint_{D}\ud x\ud y=\frac{\sqrt{2}}{8}\pi a^{3}.$$

也可以使用极坐标变换计算二重积分, 设$x=r\cos t$, $y=r\sin t$, 则区域$D$表示满足$r\le a\cos t$的区域, 其中$-\frac{\pi}{2}\le t\le\frac{\pi}{2}$, 由$\ud x\ud y=r\ud r\ud t$, 有

$$\begin{align*} \iint_{\Sigma}x\ud S & =\iint_{D}\sqrt{2}x\ud x\ud y\\ & =\sqrt{2}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\ud t\int_{0}^{a\cos t}r\cos t\cdot r\ud r\\ & =\frac{2\sqrt{2}}{3}a^{3}\int_{0}^{\pi/2}\cos^{4}t\ud t=\frac{\sqrt{2}}{8}\pi a^{3}. \end{align*}$$

6. (10分) 求极限

$$\lim_{t\to0+}\frac{1}{t^{4}}\iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}\le t^{2}}f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)\ud x\ud y\ud z,$$

其中$f$在$[0,1]$上连续, $f(0)=0$, $f’(0)=1$.

提示

问题: 设函数$f(r)$在$[0,+\infty)$上连续可导, 且$f(0)=0$. 试求

$$\lim_{t\to0+}\frac{1}{\pi t^{4}}\iiint_{V}f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)\ud x\ud y\ud z,$$

其中积分区域$V:x^{2}+y^{2}+z^{2}\le t^{2}$.

用球面坐标变换

$$T:\begin{cases} x=r\sin\varphi\cos\theta,\\ y=r\sin\varphi\sin\theta, & 0\le\theta\le2\pi,\ 0\le\varphi\le\pi,\ 0\le r\le t;\\ z=r\cos\varphi, \end{cases}$$

于是

$$\begin{align*} \lim_{t\to0+}\frac{1}{\pi t^{4}}\iiint_{V}f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)\ud x\ud y\ud z & =\lim_{t\to0+}\frac{1}{\pi t^{4}}\int_{0}^{2\pi}\ud\theta\int_{0}^{\pi}\ud\varphi\int_{0}^{t}f(r)r^{2}\sin\varphi\ud r\\ & =\lim_{t\to0+}\frac{4\int_{0}^{t}f(r)r^{2}\ud r}{t^{4}}\\ & =\lim_{t\to0+}\frac{f(t)}{t}=f_{+}'(0). \end{align*}$$

7. (10分) 求常数$\lambda$, 使得曲线积分

$$\int_{L}\frac{x}{y}r^{\lambda}\ud x-\frac{x^{2}}{y^{2}}r^{\lambda}\ud y=0,\qquad(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}})$$

对上半平面的任何光滑闭曲线$L$成立.

提示

设$P(x,y)=\frac{x}{y}r^{\lambda}$, $Q(x,y)=-\frac{x^{2}}{y^{2}}r^{\lambda}$, 则

$$\partial_{y}P(x,y)=-\frac{x}{y^{2}}r^{\lambda}+\lambda x\cdot r^{\lambda-2},\ \partial_{x}Q(x,y)=-\frac{2x}{y^{2}}r^{\lambda}-\frac{x^{3}}{y^{2}}\lambda r^{\lambda-2}.$$

由于曲线积分的值与闭曲线$L$的选取无关, 所以$\partial_{y}P(x,y)=\partial_{x}Q(x,y)$恒成立, 解得$\lambda=-1$.

8. (10分) 证明函数$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{x}}$在$(1,\infty)$上无穷次可微.

提示

令$u_{n}(x)=\frac{1}{n^{x}}$, 显然$u_{n}^{(k)}(x)=(-1)^{k}n^{-x}\ln^{k}n$, $k=1,2,3,\cdots$, 在$(1,+\infty)$上连续;

对于任何$\delta>1$, 当$x\ge\delta$时, $\left|u_{n}^{(k)}(x)\right|\le\frac{1}{n^{\delta}}\ln^{k}n$, 而$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln^{k}n}{n^{\delta}}$收敛, 所以$\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}(x)$, $\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}^{(k)}(x)$, $k=1,2,3,\cdots$, 都在$[\delta,+\infty)$上一致收敛, 故$\zeta(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{x}}$在$[\delta,+\infty)$内是连续的, 并在这区间内有任意阶连续导数. 由于$\delta>1$是任意的, 所以$\zeta(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{x}}$在$(1,+\infty)$内是连续的, 并在这区间内有任意阶连续导数.

由于$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$发散, 显然$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{x}}$在$(1,+\infty)$内非一致收敛, $\zeta(x)$在$(1,+\infty)$内也不一致连续. 若$\zeta(x)$在$(1,+\infty)$内一致连续, 则有$\lim_{x\to1+}\zeta(x)=A$存在且有限, 而在$\zeta(x)>\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n^{x}}$中令$x\to1+$, 取极限, 得$A>\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}$, $N=1,2,3,\cdots$, 矛盾.

9. (10分) 求广义积分

$$\int_{0}^{\infty}\frac{\arctan(bx^{2})-\arctan(ax^{2})}{x}\ud x,\quad b>a>0.$$

提示

• 解法 1
• 解法 2

$$\begin{aligned}\int_{0}^{+\infty}\frac{\arctan\left(bx^{2}\right)-\arctan\left(ax^{2}\right)}{x}\ud x & =\frac{1}{2}\int_{0}^{+\infty}\frac{\arctan\left(bx^{2}\right)-\arctan\left(ax^{2}\right)}{x^{2}}\ud x^{2}\\ & =\frac{1}{2}\int_{0}^{+\infty}\frac{\arctan(by)-\arctan(ay)}{y}\ud y\\ & =\frac{1}{2}\int_{0}^{+\infty}\int_{a}^{b}\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{1}{y}\arctan uy\right)\ud u\ud y\\ & =\frac{1}{2}\int_{0}^{+\infty}\int_{a}^{b}\frac{1}{1+u^{2}y^{2}}\ud u\ud y\\ & =\frac{1}{2}\int_{a}^{b}\ud u\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{1+u^{2}y^{2}}\ud y\\ & =\frac{1}{2}\int_{a}^{b}\left(\frac{1}{u}\arctan uy\right)\mid_{0}^{+\infty}\ud u\\ & =\frac{1}{2}\int_{a}^{b}\frac{1}{u}\frac{\pi}{2}\ud u=\frac{\pi}{4}\ln\frac{b}{a}. \end{aligned}$$

用Frullani积分公式, 设$f(x)=\arctan x^{2}$, 则$f$在$[0,+\infty)$上连续, 且$\lim_{x\to+\infty}f(x)=\frac{\pi}{2}$, $f(0)=0$, 所以

$$\int_{0}^{+\infty}\frac{\arctan(bx^{2})-\arctan(ax^{2})}{x}\ud x=\int_{0}^{+\infty}\frac{f\left(\sqrt{b}x\right)-f\left(\sqrt{a}x\right)}{x}\ud x=-f(+\infty)\ln\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\frac{\pi}{4}\ln\frac{b}{a}.$$

10. (10分) 设$f(x)$是以$2\pi$为周期的周期函数, 且$f(x)=x$, $-\pi\le x<\pi$.
求$f(x)$与$\left|f(x)\right|$的Fourier级数. 它们的Fourier级数是否一致收敛 (给出证明)?

2000 年

一. 计算: (每题8分)

1. 求极限

   $$\lim_{x\to0}\frac{\left(a+x\right)^{x}-a^{x}}{x^{2}},\quad a>0.$$

2. 求$\ue^{2x-x^{2}}$到含$x^{5}$项的Taylor展开式.

3. 求积分

   $$\int_{0}^{1}\frac{x^{b}-x^{a}}{\ln x}\ud x,$$

   其中$a>b>0$.

4. 求积分

   $$\iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\alpha}\ud x\ud y\ud z,$$

   其中$V$是实心球$x^{2}+y^{2}+z^{2}\le R^{2}$, $\alpha>0$.

5. 求积分

   $$\iint_{S}x^{3}\ud y\ud z+y^{3}\ud x\ud z+z^{3}\ud x\ud y,$$

   其中$S$是$x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$的外表面.

二. 叙述定义(每题5分)

1. $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty$.

2. 当$x\to a-0$时, $f(x)$不以$A$为极限.

三. (13分) 函数$f(x)$在$[a,b]$上一致连续, 又在$[b,c]$上一致连续, $a<b<c$, 用定义证明$f(x)$在$[a,c]$上一致连续.

四. (10分) 构造一个二元函数$f(x,y)$, 使得它在原点$(0,0)$两个偏导数都存在, 但在原点不可微.

五. (12分) 函数$f(x)$在$[a,b]$连续, 证明不等式

$$\left[\int_{a}^{b}f(x)\ud x\right]^{2}\le\left(b-a\right)\int_{a}^{b}f^{2}(x)\ud x.$$

六. (7分+8分)

1. 在区间$(0,2\pi)$内展开$f(x)$的Fourier级数:

   $$f(x)=\frac{\pi-x}{2}.$$

2. 证明它的Fourier级数在$(0,2\pi)$内每一点上收敛于$f(x)$.

1999 年

一. (15分) 判断下列命题的真伪:

1. 设$\left\{ a_{n}\right\} $是一个数列. 若在任一子列$\left\{ a_{n_{k}}\right\} $中均存在收敛子列$\left\{ a_{n_{k_{i}}}\right\} $, 则$\left\{ a_{n}\right\} $必为收敛列.

2. 设$f\in C\left((a,b)\right)$, 若存在

   $$\lim_{x\to a+}f(x)=A<0,\qquad\lim_{x\to b-}f(x)=B>0,$$

   则必存在$\xi\in(a,b)$, 使得$f(\xi)=0$.

3. 设$f(x)$在$[a,b]$上有界. 若对任意的$\delta>0$, $f(x)$在$[a+\delta,b]$上可积, 则$f(x)$在$[a,b]$上可积.

4. 设$f(x),g(x)$在$[0,1]$上的瑕积分均存在, 则乘积$f(x)\cdot g(x)$在$[0,1]$上的瑕积分必存在.

5. 设级数$\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}$收敛, 若有$a_{n}\le b_{n}$, ($n=1,2,\cdots$), 则级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$必收敛.

二. (40分) 求下列极限值. (写出计算过程)

1. $$\lim_{x\to0}\frac{a\tan x+b(1-\cos x)}{\alpha\log\left(1-x\right)+\beta(1-\ue^{-x^{2}})},\qquad\left(a^{2}+\alpha^{2}\ne0\right).$$
2. $$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sin\frac{\pi}{n}}{n+1}+\frac{\sin\frac{2\pi}{n}}{n+\frac{1}{2}}+\cdots+\frac{\sin\pi}{n+\frac{1}{n}}\right).$$
3. $$\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{n}\ud x.$$
4. $$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1+a^{n}},\quad a>0.$$

三. (45分) 求解下列命题:

1. 求级数$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n}{3^{n}}2^{n}$之和.

2. 设$f\in C\left([0,1]\right)$, 且在$(0,1)$上可微. 若有$8\int_{7/8}^{1}f(x)\ud x=f(0)$, 证明: 存在$\xi\in(0,1)$, 使得$f’(\xi)=0$.

3. 证明: 级数$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{\arctan n}{\sqrt{n}}$收敛.

4. 证明: 积分$\int_{0}^{+\infty}x\ue^{-xy}\ud y$在$(0,+\infty)$上不一致收敛.

5. 设$u=f(x,y,z)$, $g(x^{2},\ue^{y},z)=0$, $y=\sin x$, 且已知$f$与$g$都有一阶连续偏导数, $\frac{\partial g}{\partial z}\ne0$. 求$\frac{\ud u}{\ud x}$.

6. 设$f(x)$在$[-1,1]$上二次连续可微, 且有

   $$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=0.$$

   证明: 级数$\sum_{n=1}^{\infty}f\left(\frac{1}{n}\right)$绝对收敛.

1998 年

一. (26分) 选一个最确切的答案, 填入括号中.

1. 设$f(x)$定义在$[a,b]$上. 若对任意的$g\in R\left([a,b]\right)$, 有$f\cdot g\in R\left([a,b]\right)$, 则( ).

(A) $f\in R\left([a,b]\right)$, (B) $f\in C\left([a,b]\right)$, (C) $f$可微, (D) $f$可导.

1. 设$f\in C\left((a,b)\right)$. 若存在 $$\lim_{x\to a+}f(x)=1,\quad\lim_{x\to b-}f(x)=2$$ 则( )

(A) $f(x)$在$[a,b]$一致连续, (B) $f(x)$在$[a,b]$连续, (C) $f(x)$在$(a,b)$一致连续, (D) $f(x)$在$(a,b)$可微.

1. 若反常(广义)积分$\int_{0}^{1}f(x)\ud x$, $\int_{0}^{1}g(x)\ud x$都存在, 则反常积分 $$\int_{0}^{1}f(x)g(x)\ud x.$$

(A) 收敛, (B) 发散, (C) 不一定收敛, (D) 一定不收敛.

1. 若$\lim_{n\to\infty}na_{n}=1$, 则$\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$?

(A) 发散, (B) 收敛, (C) 不一定收敛, (D) 绝对收敛.

1. 设$f(x,y)$在区域$\left\{ (x,y):x^{2}+y^{2}<1\right\} $上有定义. 若存在偏导数 $$f'_{x}(0,0)=0=f'_{y}(0,0),$$ 则$f(x,y)$?

(A) 在点$(0,0)$处连续, (B) 在点$(0,0)$处可微, (C) 在点$(0,0)$处不一定连续, (D) 在点$(0,0)$处不可微.

提示

1. A 2. C 3. C 4. A 5. C

二. (24分) 计算下列极限 (写出演算过程)

1. $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1+a^{n}}$, ($a>0$).

2. $\lim_{x\to0}\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{\cot x}{x}\right)$.

3. $\lim_{x\to0+}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}n^{x}}$.

三. (10分) 求下列积分值.

1. $\iint_{S}x^{3}\ud y\ud z+x^{2}y\ud z\ud x+x^{2}z\ud x\ud y$, 其中$S:z=0$, $z=b$, $x^{2}+y^{2}=a^{2}$.

2. $\int_{C}\frac{1}{y}\ud x+\frac{1}{x}\ud y$, 其中$C:y=1$, $x=4$, $y=\sqrt{x}$逆时针一周.

四. (16分) 解答下列问题:

1. 求幂级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!}\left(\frac{n}{\ue}\right)^{n}x^{n}$的收敛半径.

2. 求级数$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n}(n+1)}{n!}$的和.

五. (24分) 试证明下列命题:

1. 反常积分$\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin x^{2}}{1+x^{p}}\ud x$, ($p\ge0$) 是收敛的.

2. 设$f(x,y)$在$G=\left\{ (x,y):x^{2}+y^{2}<1\right\} $上有定义. 若$f(x,0)$在$x=0$处连续, 且$f_{y}’(x,y)$在$G$上有界, 则$f(x,y)$在$(0,0)$处连续.

1997 年

一. (10 分) 将函数 $f(x)=\arctan\frac{2x}{1-x^{2}}$ 在 $x=0$ 点展开为幂级数, 并指出收敛区间.

二. (10 分) 判别广义积分的收敛性: $\int_{0}^{+\infty}\frac{\ln(1+x)}{x^{p}}\ud x$.

三. (15 分) 设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有任意阶导数 $f^{(n)}(x)$, 且对任意有限闭区间 $[a,b]$, $f^{(n)}(x)$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $\phi(x)$ ($n\rightarrow+\infty$), 求证: $\phi(x)=ce^{x}$, $c$ 为常数.

四. (15 分) 设 $x_{n}>0$, ($n=1,2\cdots$) 及 $\lim_{n\rightarrow+\infty}x_{n}=a$, 用 $\varepsilon-N$ 语言证明: $\lim_{n\rightarrow+\infty}\sqrt{x_{n}}=\sqrt{a}$.

五. (15 分) 求第二型曲面积分 $\oiint_{S}(x\ud y\ud z+\cos y\ud z\ud x+\ud x\ud y)$, 其中 $S$ 为 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 的外侧.

六. (20 分) 设 $x=f(u,v)$, $y=g(u,v)$, $w=w(x,y)$ 有二阶连续偏导数, 满足 $\frac{\partial f}{\partial u}=\frac{\partial g}{\partial v}$, $\frac{\partial f}{\partial v}=-\frac{\partial g}{\partial u}$, $\frac{\partial^{2}w}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}w}{\partial y^{2}}=0$, 证明:
(1) $\frac{\partial^{2}(fg)}{\partial u^{2}}+\frac{\partial^{2}(fg)}{\partial v^{2}}=0$,
(2) $w(u,v)=w(f(u,v),g(u,v))$ 满足 $\frac{\partial^{2}w}{\partial u^{2}}+\frac{\partial^{2}w}{\partial v^{2}}=0$.

七. (15 分) 计算三重积分 $\iiint_{\Omega:x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq2z}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{5/2}\ud x\ud y\ud z$.

1996 年

一. (共 25 分) 判断下列命题的真伪, 不必说明理由.

1. 对数列 $\left\{ a_{n}\right\} $ 作和 $S_{n}=\sum_{k=1}^{n}a_{k}$, 若 $\left\{ S_{n}\right\} $ 是有界数列, 则 $\left\{ a_{n}\right\} $ 是有界列.
2. 数列 $\left\{ a_{n}\right\} $ 存在极限 $\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a$ 的充分必要条件是: 对任一自然数 $p$, 都有
   \[
   \lim_{n\rightarrow\infty}\left|a_{n+p}-a_{n}\right|=0.
   \]
3. 设 $f(x)$ 是 $[a,+\infty)$ 上的递增连续函数, 若 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上有界, 则 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续.
4. 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, 且在 $(a,b)$ 上可微, 若存在极限 $\lim_{x\rightarrow a+0}f^{\prime}(x)=l$, 则右导数 $f_{+}^{\prime}(a)$ 存在且等于 $l$.
5. 若 $f(x)$ 是 $[a,+\infty)$ 上的非负连续函数, 且积分 $\int_{a}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$ 收敛, 则 $\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=0$.

二. (13 分) 设 $f(x)$ 在 $x=a$ 处可微, $f(a)\neq0$, 求极限: $\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{f\left(a+\frac{1}{n}\right)}{f(a)}\right)^{n}$.

三. (20 分)

1. 求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}$, ($|x|<1$) 的和.
2. 求级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n}{3^{n}}$ 的和.

四. (12 分) 求积分 $I=\iiint_{D}(x+y+z)\ud x\ud y\ud z$ 的值. 其中 $D$ 是由平面 $x+y+z=1$ 以及三个坐标平面所围成的区域.

五. (20 分) 设 $a_{n}\neq0$, ($n=1,2,\cdots$), 且 $\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=0$, 若存在极限 $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=l$, 证明: $|l|\leq1$.

六. (10 分) 设在 $[a,b]$ 上, $f_{n}(x)$ 一致收敛于 $f(x),g_{n}(x)$ 一致收敛于 $g(x)$, 若存在正数列 $\left\{ M_{n}\right\} $ 使得 $\left|f_{n}(x)\right|\leq M_{n}$, $\left|g_{n}(x)\right|\leq M_{n}$, ($x\in[a,b]$, $n=1,2,\cdots$), 证明: $f_{n}(x)g_{n}(x)$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $f(x)g(x)$.

研究生保送试题

2005 级

一. (10分) 用肯定语气叙述:

$$\lim_{x\to+\infty}f(x)\ne-\infty.$$

提示

解. 存在序列$\left\{ x_{n}\right\} $和实数$M$, 使得$x_{n}\to+\infty$时, 恒有$f(x_{n})>M$.

二. (10分) $a_{1}=1$, $a_{n+1}=\frac{1}{a_{n}+1}$, 求证: $a_{n}$有极限存在.

提示

$\left\{ a_{n}\right\} $中$\left\{ a_{2n-1}\right\} $与$\left\{ a_{2n}\right\} $均为单调有界数列, 故收敛, 且有相同的极限.

三. (10分) $f(x)$在区间$I=(a,b)$上任意点可以展开成幂级数, 且在$I$上存在一列$\left\{ x_{j}\right\} $, 使得$\lim_{j\to+\infty}x_{j}=x_{0}$, $x_{0}\in I$; 且对于任意的$j$有$f(x_{j})=0$. 求证: $f(x)\equiv0$, $x\in I$.

提示

由于$f(x)$在区间$I$上的任意一点可以展开成幂级数, 所以$f(x)$所展开的幂级数在$I$上内闭一致收敛. 由于幂级数的部分和均是$I$上的连续函数, 所以$f(x)$在$I$上也连续, (因为连续函数的一致收敛极限是连续函数). 由于$x_{0}\in I$是任意的, 而且存在序列$\left\{ x_{j}\right\} $满足$x_{j}\to x_{0}$且$f(x_{j})=0$, 取极限并利用$f$的连续性可得$f(x_{0})=0$. 所以$f(I)=\left\{ 0\right\} $.

四. (18分) 设$f(x),g(x)$在区间$I$一致连续. 问$f(x)g(x)$在$I$上是否一致连续? 并证明$\sqrt{x}\ln x$在$(0,+\infty)$上一致连续.

提示

不一定一致连续. 取$f(x)=g(x)=x$, $I=\RR$, 则$f(x)g(x)=x^{2}$在$I$上不一致连续. 因为存在$\varepsilon_{0}=1$, 对于任意的$0<\delta<1$, 存在$x’=\frac{1}{\delta}$, $x’’=\delta+\frac{1}{\delta}$, 使得

$$\left|\delta^{2}-\left(\delta+\frac{1}{\delta}\right)^{2}\right|\ge2-\frac{1}{\delta^{2}}>\varepsilon_{0}=1,$$

所以$f(x)g(x)$在$I$上不一致连续.

取$f(x)=\sqrt{x}\ln x$, $f’(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{2\sqrt{x}}\ln x$在$[1,+\infty)$上有界, 所以$f(x)$在$[1,+\infty)$上一致连续. 另一方面, $\lim_{x\to0}\sqrt{x}\ln x=0$, 所以$f(x)$在$(0,1]$上一致连续, 所以$f(x)$在$(0,+\infty)$上一致连续.

五. (12分) 将$\cos x$在$[0,\pi]$上分别展开成为正弦和余弦级数, 并说明其级数的和收敛到何种函数.

六. (10分) 求

$$\int_{0}^{+\infty}\frac{\ue^{-2x}-\ue^{-6x}}{x}\ud x.$$

提示

$$\int_{0}^{+\infty}\frac{e^{-2x}-e^{-6x}}{x}\ud x=\int_{0}^{\infty}\ud x\int_{2}^{6}e^{-yx}\ud y=\int_{2}^{6}\frac{1}{y}\ud y=\ln3.$$

七. (10分) 设$f(x)$在$(0,1)$严格单调上升, 且$f(0)=0$, $f(1)=1$. 求证:

$$\lim_{n\to+\infty}\int_{0}^{1}f^{n}(x)\ud x=0.$$

提示

$$\left|\int_{0}^{1}f^n(x)dx\right|\leq\left|\int_{0}^{1-\varepsilon}f^{n}(x)dx\right|+\left|\int_{1-\varepsilon}^{1}f^{n}(x)dx\right|\leq\int_{0}^{1-\varepsilon}f^{n}(1-\varepsilon)dx+f(1)\varepsilon\rightarrow0,\qquad n\to\infty.$$

八. (10分) 设$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调下降趋于零, $g(x)\in C(-\infty,+\infty)$为非常值的周期函数. 求证: $\int_{0}^{+\infty}f(x)\ud x$收敛等价于$\int_{0}^{+\infty}f(x)\left|g(x)\right|\ud x$收敛.

九. (10分) 求解二型曲线积分

$$\int_{\Delta}\left(\ue^{x}\sin y-y^{2}\right)\ud x+\ue^{x}\cos y\ud y,$$

其中$\Delta$为$\left(x-\frac{a}{2}\right)^{2}+y^{2}=\frac{a^{2}}{4}$从$(a,0)$经上半平面到$(0,0)$的部分.

提示

用Green公式, 对于封闭曲线$L$: $\Delta\cup\left((0,a)\times\left\{ 0\right\} \right)$,

$$\oint_{L}\left(\ue^{x}\sin y-y^{2}\right)\ud x+\ue^{x}\cos y\ud y=\iint_{D}2y\ud x\ud y=\int_{0}^{\pi/2}2r\sin\theta\ud\theta\int_{0}^{a\cos\theta}r\ud r=\frac{a^{3}}{6}.$$

而在$(0,a)\times\left\{ 0\right\} $上

$$\int_{(0,a)\times\left\{ 0\right\} }\left(\ue^{x}\sin y-y^{2}\right)\ud x+\ue^{x}\cos y\ud y=0,$$

所以

$$\int_{\Delta}\left(\ue^{x}\sin y-y^{2}\right)\ud x+\ue^{x}\cos y\ud y=\frac{a^{3}}{6}.$$

References

¹. https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzI2OTE2NzczNQ==&mid=2650060164&idx=1&sn=6819374267096850656515ce07008f73&chksm=f2e4689cc593e18adda4c16b9a9fc5a47528939eecd758ffa123a8f750126288f02759b084e7&scene=27 ↩

². https://zhuanlan.zhihu.com/p/458340430 ↩

³. https://baijiahao.baidu.com/s?id=1633482652167791589&wfr=spider&for=pc ↩

⁴. https://wenku.baidu.com/view/dc2a31e0777f5acfa1c7aa00b52acfc789eb9fba.html?_wkts_=1675994770732&bdQuery=%E5%8C%97%E4%BA%AC%E5%A4%A7%E5%AD%A62013%E5%B9%B4%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%88%86%E6%9E%90%E8%AF%95%E9%A2%98 ↩

⁵. https://wenku.baidu.com/view/769564e226d3240c844769eae009581b6ad9bd39.html?_wkts_=1675995958566&bdQuery=%E5%8C%97%E4%BA%AC%E5%A4%A7%E5%AD%A62014%E5%B9%B4%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%88%86%E6%9E%90%E8%AF%95%E9%A2%98 ↩

⁶. https://max.book118.com/html/2019/0505/7013145035002024.shtm ↩

⁷. https://wenku.baidu.com/view/53ada08a2379168884868762caaedd3382c4b559.html?_wkts_=1676013101055&bdQuery=%E5%8C%97%E4%BA%AC%E5%A4%A7%E5%AD%A62016%E5%B9%B4%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%88%86%E6%9E%90%E8%AF%95%E9%A2%98 ↩

⁸. https://wenku.baidu.com/view/2168c70ed0f34693daef5ef7ba0d4a7303766c7b.html?_wkts_=1676013636456&bdQuery=%E5%8C%97%E4%BA%AC%E5%A4%A7%E5%AD%A62017%E5%B9%B4%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%88%86%E6%9E%90%E8%AF%95%E9%A2%98 ↩

⁹. https://wenku.baidu.com/view/39f2e5bf54270722192e453610661ed9ac5155ce.html?_wkts_=1676014659277&bdQuery=%E5%8C%97%E4%BA%AC%E5%A4%A7%E5%AD%A62018%E5%B9%B4%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%88%86%E6%9E%90%E8%AF%95%E9%A2%98 ↩

¹⁰. https://wenku.baidu.com/view/ec952237b4360b4c2e3f5727a5e9856a561226d8.html?_wkts_=1676015610459&bdQuery=%E5%8C%97%E4%BA%AC%E5%A4%A7%E5%AD%A62019%E5%B9%B4%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%88%86%E6%9E%90%E8%AF%95%E9%A2%98 ↩