这是一个长期建设文章, 目的是展示可以用于学习的数学问题. 对于整个问题的构建, 依循序渐进的方式提出, 通常位于前面的小问题比较简单, 并能够对后面的初见可能难解的问题提供思路. 基于这些原因, 这里将不会提供每一个问题的证明.
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数学分析

一致连续性

问题:^UASA 证明:

(1) 设 $g$ 定义在开区间 $(a,c)$ 上, 在 $(a,b]$ 和 $[b,c)$ 上一致连续, 其中 $a<b<c$. 则 $g$ 在 $(a,c)$ 上一致连续.

(2) 设 $f:[0,\infty)\to\RR$ 连续. 如果存在 $b>0$ 使得 $f$ 在 $[b,\infty)$ 上一致连续, 则 $f$ 在 $[0,\infty)$ 上一致连续.

(3) 证明 $f(x)=\sqrt{x}$ 在 $[0,\infty)$ 上一致连续.

(4) 设 $f:A\to\RR$ 是 Lipschitz 函数, 则 $f$ 在 $A$ 上一致连续.

(5) 一致连续函数是否一定是 Lipschitz 函数.

问题:^UASA 回顾一致连续的定义, 以及Cantor定理, 即连续函数在紧集上是一致连续函数. 则

(1) 试给出一个 $f:A\to\RR$ 在 $A$ 上一致可微的定义.

(2) 判断 $x^{2}$, $x^{2}\sin\frac{1}{x}$ 在 $[0,1]$ 上的一致可微性.

(3) 如果函数在闭区间 $[a,b]$ 上可微, 能否推出此函数的一致可微性?

不连续点集

问题:^UASA参考这里设 $f:\RR\to\RR$ 为任意给定的函数,

(1) 设 $\alpha>0$, $x\in\RR$. 如果存在 $\delta>0$, 使得对于任意的 $y,z\in(x-\delta,x+\delta)$ 有 $|f(y)-f(z)|<\alpha$, 则称 $f$ 在点 $x\in\RR$ 处是 $\alpha$ 连续的. 记 $D_{\alpha}$ 是 $f$ 的所有 $\alpha$ 连续点集的补集, 也即

$D_{\alpha}=\{x\in\mathbb{R}:f\text{ 在 }x\text{ 处不是 }\alpha\text{ 连续的}\}.$

如果 $\alpha_{1}<\alpha_{2}$, 证明 $D_{\alpha_{2}}\subseteq D_{\alpha_{1}}$.

(2) 设 $\alpha>0$ 给定. 证明, 如果 $f$ 在 $x$ 处连续, 则 $f$ 在 $x$ 处是 $\alpha$ 连续的.

(3) 设 $f$ 的所有不连续点集记为 $D_{f}$, 证明 $D_{\alpha}\subseteq D_{f}$.

(4) 证明, 如果 $f$ 不在 $x$ 处连续, 则存在某个 $\alpha>0$, 使得 $f$ 在 $x$ 处不是 $\alpha$ 连续的.

(5) 对于任意固定的 $\alpha>0$, 证明 $D_{\alpha}$ 是闭集.

(6) 证明:

$D_{f}=\bigcup_{n=1}^{\infty}D_{\frac{1}{n}}.$

(7) $f$ 的不连续点集是一个 $F_{\sigma}$ 集.

问题:^UASA 对任意的自然数$m,n$定义

$A_{m,n}=\left\{ f\in C[0,1]:\text{ 存在 }x\in[0,1]\text{ 只要 }0<|x-t|<\frac{1}{m},\ \text{就有 }\left|\frac{f(x)-f(t)}{x-t}\right|\le n\right\} .$

证明:

(1) 如果$f\in C[0,1]$在某点$x\in[0,1]$处可微, 则存在$m,n\in\NN$使得$f\in A_{m,n}$.

(2) 设$\left\{ f_{k}\right\} \subseteq A_{m,n}$, 满足$f_{k}\to f$ in $C[0,1]$, 则$f\in A_{m,n}$.

(3) 对于任意的$f\in A_{m,n}$, 设$\epsilon>0$, 则存在分段线性函数$g(x)\in V_{\epsilon}(f)$使得$g(x)\not\in A_{m,n}$.

(4) $\left\{ A_{m,n}\right\} $是可数闭的无处稠密集族, 且如果

$D=\left\{ f(x)\in C[0,1]:\text{ 存在 }x_{0}\in[0,1],\text{ 使得 }f(x)\text{ 在 }x=x_{0}\text{ 处可微}\right\} ,$

则$D\subseteq\bigcup_{m,n}A_{m,n}\subsetneqq C[0,1]$. 即$C[0,1]$中无处可微函数集是第二纲集.

Darboux定理

问题:^UASA 判断以下命题是否正确, 如果正确给出证明, 如果不正确, 给出反例.

(1) 若 $f’$ 在某个开区间上存在, 并且存在 $c$ 使得 $f’(c)>0$, 则存在 $c$ 的 $\delta$ 领域 $V_{\delta}(c)$ 使得对于任意的 $x\in V_{\delta}(c)$, 有 $f’(x)>0$.

(2) 若 $f(x)$ 在 $x_0$ 附近可导, 且 $f’(x_0)>0$, 则存在 $\delta>0$, 使得 $f(x)$ 在 $(x_0-\delta,x_0+\delta)$ 上单调递增.

(3) 若 $f$ 在包含零的某区间上可微, 且 $\lim_{x\to0}f’(x)=L$, 则必有 $L=f’(0)$.

(4) 类似上一论断, 若 $f’(x)$ 对所有 $x\ne0$ 均存在, 且 $\lim_{x\to0}f’(x)=L$, 则 $f’(0)$ 存在且等于 $L$.

幂级数

问题:^20220914 (1) 设 $a_{1}=2$, 且 $a_{n+1}=a_{n}^{2}-a_{n}+1$. 则

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{a_{n}}=1,\qquad a_{n+1}=1+\prod_{m=1}^{n}a_{m}.$

(2) 证明: 如果 $a_{1},a_{2},\cdots$ 都是正整数, 且对于充分大的 $n$ 满足 $a_{n+1}=a_{n}^{2}-a_{n}+1$, 则

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{a_{n}}\in\QQ,$

并且 $n$ 充分大时有

$a_{n+1}\ge\prod_{k=1}^{n}a_{k}.$

(3) 设 $x_{0}=x\in\RR$, $a_{k}$ 是满足 $\frac{1}{a_{k}} < x$ 的最小正整数, 且 $x_{k+1}=x_{k}-\frac{1}{a_{k}}$. 则

$x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{a_{k}},\qquad a_{k+1}>a_{k}(a_{k}-1).$

当 $x_{k}=\frac{m}{n}\in\QQ$ 时, 证明 $x_{k+1}$ 的最简分式表示 $\frac{r}{s}$ 满足 $r<m$;
特别地, 当 $x\in\QQ$ 时, 存在充分大的 $K$, 使得对于任意 $k\ge K$, $a_{k+1}=a_{k}^{2}-a_{k}+1$ 并且 $x_{k+1}=\frac{1}{a_{k}(a_{k}-1)}$.

实变函数论

问题:^UASA 考虑 $[0,1]$ 挖去中间 $1/3$ 的开区间后剩下的点集记为 $C_{1}$; 把 $C_{n-1}$ 的各部分挖去中间 $1/3$ 的开区间后剩下的点集记为 $C_{n}$, 则 $C=\cap C_{n}$ 就是所谓的 Cantor 三分集. 证明 $C+C=\left\{ x+y:x,y\in C\right\} $ 等于闭区间 $[0,2]$.

(1) 对于任意的 $s\in[0,2]$, 证明存在 $x_{1},y_{1}\in C_{1}$, 使得 $x_{1}+y_{1}=s$.

(2) 对于任意的 $s\in[0,2]$, 证明存在 $x_{n},y_{n}\in C_{n}$, 使得 $x_{n}+y_{n}=s$.

(3) 注意到, 上面构造的 $\left\{ x_{n}\right\} $, $\left\{ y_{n}\right\} $ 不必收敛, 但不管怎样可以由此证明对于任意的 $s\in[0,2]$, 存在 $x,y\in C$, 使得 $x+y=s$.

问题:^UASA ^20220922 若 $\left\{ G_{1},G_{2},G_{3},\cdots\right\} $ 为可数稠开集族, 则

(1) 从 $n=1$ 开始递归地构造闭区间套 $I_{1}\supseteq I_{2}\supseteq I_{3}\supseteq\cdots$, 满足 $I_{n}\subseteq G_{n}$.

(2) 证明 $\cap G_{n}\ne\varnothing$.

(3) 证明, $\QQ$ 不可能是 $G_{\delta}$ 集, 所有的无理点集 $I$ 不可能是 $F_{\sigma}$ 集.

(4) 设 $\left\{ r_{1},r_{2},r_{3},\cdots\right\} $ 是所有的有理数, 则

$G_{m}=\bigcup_{n\ge1}\left(r_{n}-\frac{1}{2^{m+n}},r_{n}+\frac{1}{2^{m+n}}\right)$

是 $\RR$ 中的稠开子集, 证明

$\QQ\ne\bigcap_{m\ge1}G_{m}.$

(5) 试给出 $\left\{ r_{1},r_{2},r_{3},\cdots\right\} $ 的一种有理数的排列, 使得上式中的 $G_{m}$ 满足