导数极限定理

导数极限定理和Darboux介值定理之间还是有区别的, 如果承认下面的定理中函数$f(x)$在$x=x_0$处的可导性, 用Darboux介值定理很容证明极限式子

$$f'(x_{0})=\lim_{x\to x_{0}}f'(x).$$

但如果不提$f(x)$在$x=x_0$处的可导性, 则只能从拉格朗日中值定理来证明.

graph TD;
  A[拉格朗日中值定理]-->B[导数极限定理];
  D[达布介值定理]-->B;

定理: 设函数$f$在点$x_{0}$的某领域$U(x_{0})$内连续, 在$U^{\circ}(x_{0})$内可导, 且极限$\lim_{x\to x_{0}}f’(x)$存在,
则$f$在点$x_{0}$可导, 且

$$f'(x_{0})=\lim_{x\to x_{0}}f'(x).$$

证明:

分别按左右导数给出证明.

(1) 任取$x\in U_{+}^{\circ}(x_{0})$, $f(x)$在$[x_{0},x]$上满足拉格朗日定理的条件, 则存在$\xi\in(x_{0},x)$, 使得

$$\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=f'(\xi).$$

由于$x_{0}<\xi<x$, 所以当$x\to x_{0}^{+}$时, 有$\xi\to x_{0}^{+}$, 对上式两边取极限, 便得

$$\lim_{x\to x_{0}^{+}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=\lim_{x\to x_{0}^{+}}f'(\xi)=f'(x_{0}+0).$$

(2) 同理可得

$$f'_{-}(x_{0})=f'(x_{0}-0).$$

因为$\lim_{x\to x_{0}}f’(x)=k$存在, 所以$f’(x_{0}+0)=f’(x_{0}-0)=k$, 从而$f’_{+}(x_{0})=f’_{-}(x_{0})=k$, 即$f’(x_{0})=k$.