抽象代数问题集

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问题: ^MSE4469237 设$A$为$\QQ$的任意子集, 函数$f(x)=\frac{1}{x(x-1)}$, 对于任意两个集合$A,B$,

$$A+B=\left\{ a+b:a\in A,\ b\in B\right\} .$$

按以下规则递归的定义$S_{n}[A]$:

1. $S_{0}[A]=A+\ZZ$;

2. $S_{n+1}[A]=S_{n}[A]\cup\left(f(S_{n}[A]\setminus\{0,1\})+\ZZ\right)$.

定义

$$S[A]\coloneqq\bigcup_{n=0}^{\infty}S_{n}[A];\qquad U=f(\QQ\setminus\{0,1\})+\ZZ.$$

证明或否定以下结论:

1. 对于任何素数$p>3$, $\frac{2}{p}\not\in U$; $\frac{2}{3}\in U$;

2. 对于任何素数$p$, $1<r<p-1$, $\frac{r}{p}\not\in U$;

3. $S[\{0\}]=U$; (hint: 取$x=\frac{2}{13}\not\in U$知$-\frac{15}{22}\in S[x]\subseteq U$,
   但是$-\frac{15}{22}\not\in S[\{0\}]$);

4. $S[U^{c}]=\QQ$.

hint: 任取$\frac{r}{s}\in\QQ$, 只需要考虑$\frac{r}{s}\in U$的情况, 此时存在$\frac{a}{b}\in\QQ$,
$k\in\ZZ$使得

$$f\left(\frac{a}{b}\right)=\frac{b^{2}}{a(a-b)}=\frac{r}{s}+k=\frac{r+ks}{s},$$

利用$(a,b)=1$, $(r,s)=1$, 得到$\left|a(a-b)\right|=\left|s\right|$.
所以

$$\left|b\right|=\left|b-a+a\right|\le\left|b-a\right|+\left|a\right|\le\left|(b-a)a\right|=\left|s\right|,\quad\left|a\right|\le\left|s\right|.$$

因此对于任意的$\frac{r}{s}\in U$, 有有限多个可能的$\frac{a}{b}$生成$\frac{r}{s}$.
事实上, 上面的不等式在大多数情形是严格不等式, 所以$\frac{r}{s}$最终由某个整数生成, 要么由某一个$\frac{a}{b}\in U^{c}$,
使得$\frac{r}{s}\in S[U^{c}]$.

^MSE4469237. https://math.stackexchange.com/questions/4469237. ↩