这是一个长期建设问题集, 其中引文格式MSE4469237表示的意思是math.stackexchange.com中的问题编号为4469237

问题: MSE4469237AQ的任意子集, 函数f(x)=1x(x1), 对于任意两个集合A,B,

A+B={a+b:aA, bB}.

按以下规则递归的定义Sn[A]:

  1. S0[A]=A+Z;

  2. Sn+1[A]=Sn[A](f(Sn[A]{0,1})+Z).

定义

S[A]:=n=0Sn[A];U=f(Q{0,1})+Z.

证明或否定以下结论:

  1. 对于任何素数p>3, 2pU; 23U;

  2. 对于任何素数p, 1<r<p1, rpU;

  3. S[{0}]=U; (hint: 取x=213U1522S[x]U,
    但是1522S[{0}]);

  4. S[Uc]=Q.

hint: 任取rsQ, 只需要考虑rsU的情况, 此时存在abQ,
kZ使得

f(ab)=b2a(ab)=rs+k=r+kss,

利用(a,b)=1, (r,s)=1, 得到|a(ab)|=|s|.
所以

|b|=|ba+a||ba|+|a||(ba)a|=|s|,|a||s|.

因此对于任意的rsU, 有有限多个可能的ab生成rs.
事实上, 上面的不等式在大多数情形是严格不等式, 所以rs最终由某个整数生成, 要么由某一个abUc,
使得rsS[Uc].

MSE4469237. https://math.stackexchange.com/questions/4469237.