抽象代数问题集

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问题: ^MSE4469237 设$A$为$\mathbb{Q}$的任意子集, 函数$f(x)=\frac{1}{x(x-1)}$, 对于任意两个集合$A,B$,

$$A+B=\{a+b:a\in A,b\in B\}.$$

按以下规则递归的定义$S_n[A]$:

1. $S_0[A]=A+\mathbb{Z}$;

2. $S_{n+1}[A]=S_n[A]\cup (f(S_n[A]\setminus \{0,1\})+\mathbb{Z})$.

定义

$$S[A]:=\bigcup _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{S}_n[A];U=f(\mathbb{Q}\setminus \{0,1\})+\mathbb{Z}.$$

证明或否定以下结论:

1. 对于任何素数$p>3$, $\frac{2}{p}\notin U$; $\frac{2}{3}\in U$;

2. 对于任何素数$p$, $1<r<p-1$, $\frac{r}{p}\notin U$;

3. $S[\{0\}]=U$; (hint: 取$x=\frac{2}{13}\notin U$知$-\frac{15}{22}\in S[x]\subseteq U$,
   但是$-\frac{15}{22}\notin S[\{0\}]$);

4. $S[U^c]=\mathbb{Q}$.

hint: 任取$\frac{r}{s}\in \mathbb{Q}$, 只需要考虑$\frac{r}{s}\in U$的情况, 此时存在$\frac{a}{b}\in \mathbb{Q}$,
$k\in \mathbb{Z}$使得

$$f\left(\frac{a}{b}\right)=\frac{b^2}{a(a-b)}=\frac{r}{s}+k=\frac{r+ks}{s},$$

利用$(a,b)=1$, $(r,s)=1$, 得到$|a(a-b)|=\left|s\right|$.
所以

$$\left|b\right|=|b-a+a|\le |b-a|+\left|a\right|\le |(b-a)a|=\left|s\right|,\left|a\right|\le \left|s\right|.$$

因此对于任意的$\frac{r}{s}\in U$, 有有限多个可能的$\frac{a}{b}$生成$\frac{r}{s}$.
事实上, 上面的不等式在大多数情形是严格不等式, 所以$\frac{r}{s}$最终由某个整数生成, 要么由某一个$\frac{a}{b}\in U^c$,
使得$\frac{r}{s}\in S[U^c]$.

^MSE4469237. https://math.stackexchange.com/questions/4469237. ↩