有理根判别法

定理: 若$f(x)=f_nx^n+\cdots+f_0$是整系数多项式, $f_i\in\ZZ$且$f(x)$有有理根$x=a/b$, 其中$\mathrm{gcd}(a,b)=1$, 则$a\mid f_0$且$b\mid f_n$.

证明

根据条件

$$0=f(a/b)\Longrightarrow 0=b^{n}f(a/b)=f_{n}a^{n}+f_{n-1}a^{n-1}b+\cdots+f_{1}ab^{n-1}+f_{0}b^{n},$$

因此

$$(\overbrace{f_{n}a^{n-1}+f_{n-1}a^{n-2}b+\cdots+f_{1}b^{n-1}}^{\text{an integer}})a=-f_{0}b^{n},$$

所以由$\mathrm{gcd}(a,b)=1$, 有 $a\left|b^{n}f_{0}\Longrightarrow a\right|f_{0}$. 同理, $b\mid a^{n}f_{n}\Longrightarrow b\mid f_{n}$.