问题: 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上具有二阶可导, 且 $f(a)=f(b)=0$, $M=\max_{x\in[a,b]}\left|f^{\prime\prime}(x)\right|$, 证明

瞎算

取$\lambda=\frac{f’(b)}{f’(a)+f’(b)}$,

提示

取$\lambda=\frac{b-x}{b-a}$

问题: 已知 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上一阶可导, $f(0)=f(2)=1$, $\left|f^{\prime}(x)\right|\leq1$, 证明

问题: 函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导, $f(0)=f(1)=0$, $f(x)\neq0$, ($x\in(0,1)$), 证明

提示

取$f(x_{0})=\max_{x\in[0,1]}f(x)$, 则

所以

推广: 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上具有连续的二阶导数, 且 $f(a)=f(b)=0$, 在 $x\in(a,b)$
内, $f(x)\neq0$, 证明: $\int_{a}^{b}\left|\frac{f^{\prime\prime}(x)}{f(x)}\right|\mathrm{d}x\geqslant\frac{4}{b-a}$.

提示

$\exists x_{0}\in(0,1)$ 使得 $f\left(x_{0}\right)=\max_{0\leqslant x\leqslant1}f(x)\Rightarrow\left|f\left(x_{0}\right)\right|>0$.

问题: 函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上一阶可导, $f(0)=f(1)=0$, 证明

提示

问题: 证明

提示

问题: 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续且单调增加, 证明

问题: 设 $f(x)\in[0,1]$, $f(0)=0$, $0\leq f^{\prime}(x)\leq1$, 证明

提示

问题: 证明

问题: 证明

提示

问题: 证明

提示

问题: 已知 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上一阶可导, 证明

提示

问题: 证明

提示

问题: 设 $(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续, 函数 $f(x)(f(x)>0)$ 单调减少, 证明

提示

问题: 已知 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续, $f(x)>0$, 证明

问题: 设$f:[0,1]\to\left(0,\infty\right)$为可积函数且满足

则

提示

由均值不等式

用Cauchy-Schwartz不等式, 由于$f>0$, 所以

故

问题: 设 $a>0,b>0,f(x)\geq0$ 在 $[-a,b]$ 上连续, $\int_{-a}^{b}xf(x)dx=0$, 证明

提示

问题: 已知 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, $0<m\leq f(x)\leq M$, 证明

提示