线性代数中的定义

这里放一些定义的收集, 以免以后用的时候有细节上的疏漏. 同时也会放上参考文献

欧式空间中的定义

定义: ¹ 设 $V$ 是实数域 $R$ 上的一个线性空间. 如果有一个法则，它对于 $V$ 中任二向量 $\alpha$ 与 $\beta$, 都有唯一确定的实数, 用 $(\alpha, \beta)$ 表示, 与它们对应, 且满足

$(\alpha, \beta)=(\beta, \alpha)$,
$(k \alpha, \beta)=k(\alpha, \beta),(k \in R)$,
$\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}, \beta\right)=\left(\alpha_{1}, \beta\right)+\left(\alpha_{2}, \beta\right)$,
当 $\alpha \neq \theta$ 时, $(\alpha, \alpha)>0$,

则称在 $V$ 中定义了一个内积, 并把 $V$ 叫做一个欧式空间. 在欧氏空间中, 常把实数 $(\alpha, \beta)$ 叫做向量 $\alpha$ 与 $\beta$ 的内积.

定义: ¹ 设 $\alpha, \beta$ 为两个非零向量, 称实数

$\varphi=\arccos \frac{(\alpha, \beta)}{|\alpha||\beta|}$

为向量 $\alpha$ 与 $\beta$ 的夹角, 亦即

$\cos \varphi=\frac{(\alpha, \beta)}{|\alpha||\beta|}$

定义: ¹ 称非负实数 $\sqrt{(\alpha, \alpha)}$ 为向量 $\alpha$ 的长或模, 并用 $|\alpha|$ 表示, 即

$|\alpha|=\sqrt{(\alpha, \alpha)} \text {. }$

定义: ¹ 如果欧氏空间中两个向量 $\alpha$ 与 $\beta$ 的内积等于零, 即

$(\alpha, \beta)=0,$

则称 $\alpha$ 与 $\beta$ 正交.

定义: ¹ 设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间. 如果 $V$ 的基 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 中每两个向量都正交, 则称此基为正交基.

如果正交基中每个向量的长都是 1, 则称该基为标准正交基.

定义: ¹ 设 $V$ 和 $V^{\prime}$ 是两个欧氏空间, 如果 $\varphi$ 是线性空间 $V$ 到 $V^{\prime}$ 的一个同构映射,而且对 $V$ 中任意向量 $\alpha, \beta$ 都有

$(\alpha, \beta)=(\varphi(\alpha), \varphi(\beta)),$

则称 $\varphi$ 是欧氏空间 $V$ 到 $V^{\prime}$ 的一个同构映射.
如果欧氏空间 $V$ 到 $V^{\prime}$ 存在同构映射,则称欧氏空间 $V$ 与 $V^{\prime}$ 同构.

定义: ¹ 设 $W$ 是欧氏空间 $V$ 的一个子空间. 如果 $V$ 中向量 $\alpha$ 与 $W$ 中的每个向量都正交, 则称 $\alpha$ 与 $W$ 正交, 记为

$(\alpha, W)=0 \text { 或 } \alpha \perp W.$

如果子空间 $V_{1}$ 中每个向量与子空间 $V_{2}$ 中每个向量都正交, 则称子空间 $V_{1}$ 与 $V_{2}$ 正交, 记为

$\left(V_{1}, V_{2}\right)=0 \text { 或 } V_{1} \perp V_{2}$

定义: ¹ 设 $W$ 和 $W^{\prime}$ 是欧式空间 $V$ (不一定是有限维)的两个子空间. 如果

$V=W+W^{\prime} \text { 且 } W \perp W^{\prime},$

则称 $W^{\prime}$ 为子空间 $W$ 的正交补.

定义: ¹ 设 $T$ 是欧氏空间 $V$ 的一个线性变换, 如果 $T$ 保持 $V$ 中任何向量的长都不变, 亦即对 $V$ 中任意向量 $\alpha$ 都有

$(T \alpha, T \alpha)=(\alpha, \alpha),$

则称 $T$ 是 $V$ 的一个正交变换.

定义: ¹ 设 $A$ 是一个实 $n$ 阶方阵. 如果

$A A^{\prime}=E,$

即 $A^{\prime}=A^{-1}$, 则称 $A$ 为正交方阵.

定义: ¹ 设 $T$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的一个正交变换, 且在某标准正交基下的方阵是 $A$. 若 $|A|=1$, 则称为旋转或第一类的; 若 $|A|=-1$, 则称 $T$ 为第二类的.

定义: ¹ 设 $T$ 是欧氏空间 $V$ 的一个线性变换, 如果对 $V$ 中任意向量 $\alpha, \beta$ 都有

$(T \alpha, \beta)=(\alpha, T \beta),$

则称 $T$ 是 $V$ 的一个对称变换.

设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间, $V_{1}, V_{2}$ 是 $V$ 的子空间, 且 $\operatorname{dim} V_{1}<\operatorname{dim} V_{2}$. 证明: $V_{2}$ 中存在一个非零向量, 它与 $V_{1}$ 中任一个向量正交.

$\operatorname{det} A \geq \operatorname{det} A^{2} \geq \operatorname{det} A^{3} \geq \operatorname{det} A^{4} \geq \cdots.$

而秩 $\mathrm{A}$ 是有限数, 上面的不等式不可能无限不等下去, 必然存在一个正整数$m$, 使 $\operatorname{det} A^{m}=\operatorname{det} A^{m+1}$.

¹. 高等代数, 杨子胥. ↩