最近刷题目卡在最后一题了, 题目是这样的:

问题:{an},{bn} 为满足 ean+1=an+ebn,n1 的两个实数列, 已知 an>0(n1), 且 n=1an 收敛。证明: n=1bnan 也收敛。

从题目中容易解出来

bn=ln(ean+1an),

所以要证明n=1bnan的收敛性, 最先想到的是证明级数的各项能被an的某固定常数倍控制, 于是

bnan=ln(ean+1an)anean+11ananan+1+o(an+1)anan.

但右边似乎没有办法被很好的控制, 因为我最后构造了一个反例, 反例大概是这样的

an={1n2,nm2,(1+1m)1n2,n=m2+1,

使用1n2是因为众所周知的ζ(2)=π26, 来确保级数an的收敛性. 1+1m项是为了能让项an+1anann=m2时得到1m, 这可以取遍调和级数的所有项, 从而使an+1anan形成的部分和含有发散子列1m.

这是我怀疑上面的不等式在放大的过程中放的太过了, 所以有必要直接考虑bnann很大时的变化趋势, 根据上面的构造, 选取n=m2是合适的. 所以可以计算

bm2am2=m4ln(eam2+1am2)=m4ln(e(1+1m)1(m2+1)21m4)m4(e(1+1m)1(m2+1)21m41)m4((1+1m)1(m2+1)21m4)1m

这说明上面的不等式并没有放的过大, bnan有发散的子列bm2am2. (我在这里并没有验证bn的正负, 事实上其后的的一项刚好是1m, 但这已经给出了一个构造反例的思想. 比如选择am2+1=2(m2+1)2并结合Cauchy收敛准则.)

于是上网搜索正确的问题应当是怎么样的. 得到正确的问题表述其实是

问题:{an},{bn} 为满足 ean=an+ebn,n1 的两个实数列, 已知 an>0(n1), 且 n=1an 收敛。证明: n=1bnan 也收敛。

现在问题就简单了, 直接考虑|an|1时的情况, 有以下控制

|bnan|ean1anan1+an+an22+o(an2)1ananan.

然后用比较判别法即可.

比较判别法是判断无穷级数收敛, 条件收敛, 绝对收敛, 区间收敛或发散的方法. 也叫作比较审敛法, 比较审敛原理.

比较判别法: 设bn是收敛的正项无穷级数, 复无穷级数an若满足对于任意的n|an|cbn, 其中c是与n无关的正常数, 则

(1) 若bn收敛, 则an收敛.

(2) 若|an|=+, 则bn=+.