记浙江省首届高等数学竞赛非数学类最后一题

最近刷题目卡在最后一题了, 题目是这样的:

问题: 设 ${a_{n}}, {b_{n}}$ 为满足 $e^{a_{n + 1}} = a_{n} + e^{b_{n}}, n \geq 1$ 的两个实数列, 已知 $a_{n} > 0 (n \geq 1)$ , 且 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 收敛。证明: $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{b_{n}}{a_{n}}$ 也收敛。

从题目中容易解出来

b_{n} = \ln (e^{a_{n + 1}} - a_{n}),

所以要证明 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{b_{n}}{a_{n}}$ 的收敛性, 最先想到的是证明级数的各项能被 $a_{n}$ 的某固定常数倍控制, 于是

\frac{b_{n}}{a_{n}} = \frac{\ln (e^{a_{n + 1}} - a_{n})}{a_{n}} \leq \frac{e^{a_{n + 1}} - 1 - a_{n}}{a_{n}} \leq \frac{a_{n + 1} + o (a_{n + 1}) - a_{n}}{a_{n}} .

但右边似乎没有办法被很好的控制, 因为我最后构造了一个反例, 反例大概是这样的

a_{n} = {\begin{cases} \frac{1}{n^{2}}, & n \neq m^{2}, \\ (1 + \frac{1}{m}) \frac{1}{n^{2}}, & n = m^{2} + 1, \end{cases}

使用 $\frac{1}{n^{2}}$ 是因为众所周知的 $ζ (2) = \frac{π^{2}}{6}$ , 来确保级数 $\sum a_{n}$ 的收敛性. $1 + \frac{1}{m}$ 项是为了能让项 $\frac{a_{n + 1} - a_{n}}{a_{n}}$ 在 $n = m^{2}$ 时得到 $\frac{1}{m}$ , 这可以取遍调和级数的所有项, 从而使 $\frac{a_{n + 1} - a_{n}}{a_{n}}$ 形成的部分和含有发散子列 $\frac{1}{m}$ .

这是我怀疑上面的不等式在放大的过程中放的太过了, 所以有必要直接考虑 $\frac{b_{n}}{a_{n}}$ 在 $n$ 很大时的变化趋势, 根据上面的构造, 选取 $n = m^{2}$ 是合适的. 所以可以计算

\begin{aligned} \frac{b_{m^{2}}}{a_{m^{2}}} & = m^{4} \ln (e^{a_{m^{2} + 1}} - a_{m^{2}}) \\ = m^{4} \ln (e^{(1 + \frac{1}{m}) \frac{1}{(m^{2} + 1)^{2}}} - \frac{1}{m^{4}}) \\ \sim m^{4} (e^{(1 + \frac{1}{m}) \frac{1}{(m^{2} + 1)^{2}}} - \frac{1}{m^{4}} - 1) \\ \sim m^{4} ((1 + \frac{1}{m}) \frac{1}{(m^{2} + 1)^{2}} - \frac{1}{m^{4}}) \sim \frac{1}{m} \end{aligned}

这说明上面的不等式并没有放的过大, $\sum \frac{b_{n}}{a_{n}}$ 有发散的子列 $\sum \frac{b_{m^{2}}}{a_{m^{2}}}$ . (我在这里并没有验证 $b_{n}$ 的正负, 事实上其后的的一项刚好是 $- \frac{1}{m}$ , 但这已经给出了一个构造反例的思想. 比如选择 $a_{m^{2} + 1} = \frac{2}{(m^{2} + 1)^{2}}$ 并结合Cauchy收敛准则.)

于是上网搜索正确的问题应当是怎么样的. 得到正确的问题表述其实是

问题: 设 ${a_{n}}, {b_{n}}$ 为满足 $e^{a_{n}} = a_{n} + e^{b_{n}}, n \geq 1$ 的两个实数列, 已知 $a_{n} > 0 (n \geq 1)$ , 且 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 收敛。证明: $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{b_{n}}{a_{n}}$ 也收敛。