连续函数概念中的反例

仅在一点连续的函数

仅在一点连续的函数: 设函数$f:\RR\to\RR$定义为

$$f(x)=\begin{cases} x, & x\in\QQ,\\ -x, & x\notin\QQ, \end{cases}$$

则$f$在$x=0$处连续, 在$x\in\RR\setminus\left\{ 0\right\} $处不连续.

证明

证明: 使用如下关于连续函数的刻画: $f$在点$a\in\RR$处连续, 当且仅当, 对于任意满足$\lim_{k\to\infty}x_{k}=a$的实数列$\left(x_{k}\right)\subseteq\RR$,
总有

$$\lim_{k\to\infty}f(x_{k})=f(a).$$

$f$在$x=0$处连续: 若$x_{k}$收敛于$0$, 则

$$\lim_{k\to\infty}\left|f(x_{k})\right|=\lim_{k\to\infty}\left|f(x_{k})\right|=\lim_{k\to\infty}\left|x_{k}\right|=0.$$

假设$a\ne0$. 则存在无理数$x_{1},x_{2},\cdots$收敛于$a$. 比如这样的序列$\left(x_{n}\right)_{n}$可以按如下方式构造:

1. 当$a\notin\QQ$时, 取$x_{k}=a+1/k$.

2. 当$a\in\QQ$时, 取$x_{k}=a+\sqrt{2}/k$.

对于这样的序列$\left(x_{n}\right)$, 我们有

$$\lim_{k\to\infty}f(x_{k})=-\lim_{k\to\infty}x_{k}=-a.$$

另一方面, 可以构造有理数$y_{1},y_{2},\cdots$收敛于$a$. 因为当$a\notin\QQ$时, 用$\QQ$在$\RR$中的稠密性;
当$a\in\QQ$时, 取$y_{k}=x_{k}+1/k$. 这时有

$$\lim_{k\to\infty}f(y_{k})=\lim_{k\to\infty}y_{k}=a.$$

由于$a\ne0$时, $a\ne-a$. 所以$f$在$a$处不连续.